The Generalization of "Aleksandrov's Dublicate" of Sorgenfrey Line andSet Rational Points .pdf Пусть X - хаусдорфово топологическое пространство. Символом X ® n будем обозначать множество Xx{0,1,..., n-1}, наделенное следующей топологией: объявим базой топологии одноточечные множества {(x,k)} для любого xeX ии-1k = 1,..., n-1 и множества Uх{0,1,...,n-1}\J {(x,k)} для любого открытогоk=1множества UcX и любого xe U.Пространство X ® n является обобщением хорошо известного примера «двойная окружность Александрова».В работе [1] доказано, что для несчетного метрического компакта X пространства X ® n и X ® m негомеоморфны, если n Ф m. Тем же способом, что и в [1] можно показать, что если пространство X содержит несчетный метрический компакт, то пространства X ® n и X ® m при n Ф m негомеоморфны. В данной работе мы рассматриваем пространство X ® n при X = K, где K - прямая Зоргенфрея и X = Q, где Q - множество рациональных точек интервала [0,1].Напомним, что прямая Зоргенфрея K - это множество вещественных чисел с базой окрестностей в точке xeK: B(x) = {[x, r), x, r e K, x < r, r e Q}. Отличительным свойством прямой Зоргенфрея от вещественной прямой является тот факт, что все компактные множества в K не более чем счётны [2]. Но как и для вещественной прямой, оказалось, что пространства K ® n и K ® m не являются гомеоморфными при n Ф m (теорема 3). Для множества рациональных точек Qe[0,1], в котором компакты также не более чем счётны, мы докажем гомеоморфность пространств Q ® n и Q ® m для любых n, meN.Теорема 1. Пусть [0,1) - отрезок прямой Зоргенфрея, X = [0,1)х{0,1,2},Y = [0,1) х {0,1}. Тогда пространстваX и Yнегомеоморфны.Доказательство. Доказательство проведем методом от противного: предположим, что существует гомеоморфизм tp:X -» Y. Каждой неизолированной точке (x,0)eX при отображении ф соответствует неизолированная точка (y,0)eY. Изолированные точки (x,1) и (x,2)e X переходят в изолированные точки пространства Y, то есть ф (x,1) = (y',1), а ф (x,2) = (y',1). Так как y'ф у" , то либо у' Ф y, либоy" Ф y . Определим множестваA = {x е [0,1) :|y'-y\ * 0}, B = {x e [0,1) :|yy\ Ф 0}.Так как AuB = [0;1), то хотя бы одно из множеств A или B является несчётным. Не нарушая общности, можно считать, что это множество А. Для любого натурального /eN положим Al = {x е A : \y'-y\ e ,- l} .Ясно, что Ц Al = A и, всилу несчетности множества А, найдется такое /0eN, что множество A0 несчётно.Покажем теперь, что существует точка x0 е A]0 , такая, что для любого s > 0 (x0, x0 +Е) ff A0 / 0 . Действительно, если это не так, то для любого x е A0 существует sx > 0, такое, что (x, x + sx) ff A0 = 0 .Рассмотрим точки x, хх е A0 , x < x\. Тогда xiЈ(x, x + sx) и, значит, x\> x + sx. Следовательно, [x, x + zx) ff [xt, xx +sxi) = 0 . Так как множество A„ несчётно, томы получаем несчётное семейство попарно непересекающихся полуинтервалов {[x, x + s)} A на отрезке [0,1). Но это противоречит сепарабельности отрезка[0,1).Итак, существует точка x0 е A0 , такая, что (x0, x0 + s) ff A0 / 0 для любого s > 0. Это означает, что мы можем найти последовательность xx,x2xn, xn е A0 , xn Ф x0 для всех neN, которая сходится справа к точке x0 е A0 . Это означает, что для каждого i = 0, 1, 2 последовательность {(xn, i)}"=1 сходится к точке(x0,0) в пространстве X.Пусть ф (хп ,0) = (уп ,0), ф(хп,1) = (у'п,1), ф(хп,2) = (уП,1). В силунепрерывности отображения lim (yn,0) = lim ф (xn ,0) = cp (x0,0) = (y0,0) иП - СОП - СОlim (уП ,1) = lim ф(xn,1) = ф (x0,0) = (y0,0). Рассмотрим окрестность точки(Уо,0)е Y V = уо, у + -1-]х(0}U(Уо, Jo + 7г)х{1}. Так как отображение ф непрерывно, найдется окрестность U(x0,0) с X, такая, что ф(Ц) с V. Поскольку последовательность (xn, i) сходится к точке (x0,0) для i = 0, 1, 2, то найдется n0eN, такое, что при n > n0 (xn, i)e U(x0,0). Следовательно, ф(х„, i)e V(y0,0) при i = 0, 1, 2, и n > no и, значит (y„,0)e V(yo,0), ( y„ ,1) eV (y0,0), (y"n,l) eV (y0,0) при n > no.Отсюда пш^та^ что -1 < \y'n-yn\ < \y'n-y0\ + |y0 -yn\ + jr = ^r. Полученное противоречие опровергает наше предположение о существовании гомеоморфизма ф.Теорема 2. Пусть [0,1) - отрезок прямой Зоргенфрея. Тогда пространства X = [0,1) n и Y = [0,1) m негомеоморфны при n Ф т. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.Теорема 3. Пусть K - прямая Зоргенфрея. Тогда пространства K ® n и K ® m при n Ф m негомеоморфны.Для доказательства достаточно заметить, что прямая Зоргенфрея гомеоморфна своему отрезку [0,1) с K, и воспользоваться теоремой 2.Теорема 4. Пусть Q - множество рациональных точек отрезка [0,1], X = Q х{0,1,2}, Y = Q х{0,1}. Тогда пространстваX и Y гомеоморфны.Доказательство. Занумеруем точки множества Q: Q = {rb r2,...,r„,...} и определим отображение /: X -» Y по индукцииf (ri ,0) = (h ,0) е Y,f (Л,1) = (1,1)е Y,f ,2) = (q2,11 е Y,где точка q2 выбрана таким образом, что 0 < \q2 - rx \

Скачать электронную версию публикации