Numerical method of stable solution of S.-Venant problem of shaft torsionwith arbitrary unity-connected domain section.pdf Рассматривается классическая задача Сен-Венана о кручении прямого призматического или цилиндрического стержня с поперечным сечением произвольнойформы, скручиваемого моментами силы, приложенными к концам стержня [1-5].Пусть поперечное сечение однородного по всей длине стержня представляет собой односвязную область B. Влиянием собственного веса стержня пренебрегаем.Поперечные размеры стержня считаются малыми по сравнению с его протяжением в осевом направлении. За ось стержня принимается линия, соединяющая центры тяжести всех поперечных сечений.Решение задачи Сен-Венана сводится к определению функции крученияϕ = ϕ(x, y) - гармонической в области B функции, принимающей на границе Г области B значенияycos ( , x) xcos ( , y)…•ϕ= ¯ − ¯ •¯. (1)Здесь••¯означает производную в направлении внешней нормали к границе области сечения, cos (¯, x), cos(¯, y) - направляющие косинусы нормали.Жёсткость при кручении стержня выражается произведением С = ®D модулясдвига ® на модуль кручения (геометрическую жёсткость): 2 2BD x y x y dxdyy x ⎛ •ϕ •ϕ ⎞ = ⎜ - - − ⎟ ⎝ • • ⎠ ´´ . (2)Функция ϕ определяется граничным условием (1) однозначно с точностью до произвольного аддитивного постоянного, от выбора которого, впрочем, не зависит величина интеграла в формуле (2).Численный метод устойчивого решения задачи Сен-Венана о кручении стержня 99Другая, равносильная форма представления модуля кручения через функцию¹ = ¹( x, y) , гармонически сопряжённую к функции ϕ , даётся равенством2 2BD x y x y dxdyx y ⎛ •¹ •¹ ⎞ = ⎜ - − − ⎟ ⎝ • • ⎠ ´´ . (3)Функция ¹ , связанная с ϕ известными условиями Коши - Римана, x y y x •ϕ •¹ •ϕ •¹= =−• • • •, должна быть решением краевой задачи Дирихле с граничным условием1 ( 2 2 )2… x y ¹ = - . (4)Из литературы известны точные и приближённые решения задачи о кручениистержня для самых разнообразных сечений в форме эллипса, правильного треугольника, прямоугольника, кругового сектора, тавра, различных многоугольников и других, сводимых к указанным случаям подходящим конформным отображением [1- 5]. Численные решения краевых задач Дирихле или Неймана, в частности задачи о кручении стержня, для произвольных областей, в том числе клиновидных, могут быть получены методом конформного отображения [2, 5], сведением к интегральным уравнениям [4-7], а также с использованием хорошо известных вариационных методов [7] или получивших своё развитие в последниедесятилетия новых методов решения дифференциальных уравнений в частныхпроизводных: сеточных, бессеточных, МКЭ, МГЭ, МКГЭ и др. [7-10]. Спецификанекоторых из этих методов (конформных отображений, сеточных, МКЭ, МКГЭ)требует учёта конкретного вида области сечения стержня и/или немалого объёмапредварительной «ручной» работы для подготовки модели к обсчёту. В другихметодах затруднены оценки погрешности и/или учёт неустойчивости решениякраевой задачи в дискретной постановке, когда граничные значения задаются в отдельных точках границы и притом, как это часто бывает в практических случаях, с некоторой погрешностью. Погрешности могут возникать по разным причинам. В одних случаях это инструментальные погрешности измерения, в других -погрешности интерполяции. Для рассматриваемой задачи кручения граничныезначения в (1), (4) не содержат инструментальных погрешностей, однако при интерполяции в межузловых точках границы погрешности возникают.Поясним сказанное. Для численного моделирования границы Г области B на практике приходится ограничиваться выбором конечного, обычно не слишкомбольшого (из-за ресурсных ограничений) числа m точек (узлов сети) ¨1, ..., ¨m , расположенных на Г или вблизи Г, достаточно -----полно и точно описывающих Г.При этом в точках границы Г, не совпадающих с узловыми, в качестве граничныхзначений краевой задачи по необходимости берутся так или иначе интерполированные, приближённые значения.В простейшем случае кусочно-постоянной интерполяции оценить такую погрешность можно следующим образом. Пусть ¦1 - положительное число, такое, что граница Г покрывается системой замкнутых кругов радиусом ¦1 с центрами в узловых точках ¨1, ..., ¨m , расположенных на Г. В случае выпуклой или полиго100 В.В. Соболевнальной области сечения B за ¦1 можно взять 1 1 11 max 2 j m j j „ „¦ = ¨ − ¨ (считаем¨m-1 = ¨1 ). Тогда при замене в точке ¨¶… точного граничного значения¹(¨) = ¨ 2 / 2 на приближённое - ( ) 2 / 2 ¹ ¨ = ¨ j , где ¨ j - ближайшая к ¨ узловаяточка, возникает погрешность, не превосходящая величины §1 = ¦1 (Rmax - ¦1 / 2) .Здесь Rmax - наибольшее из расстояний точек ¨1, ..., ¨m от начала координат. Действительно, для ¨ ¶ … имеем( ) ( ) ( ) 1 ( max max 1 ) 11 1j 2 j j 2 R R ¹ ¨ − ¹ ¨ = ¨ − ¨ ¨ - ¨ „ ¦ - -¦ = §. (5)При практической реализации указанных выше методов за счёт погрешности в задании граничных значений, возникающей из-за дискретизации границы, а такжеза счёт накопления ошибок вычислительных схем могут возникнуть неконтролируемые погрешности конечных результатов вычислений. Всё это требует применения процедур, повышающих устойчивость результатов относительно малых погрешностей в исходных данных, и сопровождения полученного приближённо результата оценкой погрешности.В работе предложен новый численный метод решения задачи кручения, пригодный для случая односвязного сечения произвольной формы и удовлетворяющий двум указанным требованиям. Приведён подход к решению задачи на основеопределения функции кручения ϕ как решения задачи Неймана с граничным условием (1). Анализ численных экспериментов показал, что для широкого классаобластей сечений из двух возможных вариантов определения сопряжённых гармонических функций ϕ, ¹ - на основе решения краевой задачи Дирихле или задачи Неймана - предпочтительнее вариант с решением задачи Неймана. Именноон обеспечивает - в равных условиях - большую точность. Метод не требует использования конформных отображений. При этом затраты времени на подготовкумодели - минимальные. Например, если область сечения полигональная, то требуется задать только координаты вершин полигона. Всякая иная область B аппроксимируется полигоном. Определение в замыкании области B значений функций ϕ и ¹ , а также величины интеграла (2) для геометрической жёсткости при кручении стержня осуществляется компьютерными программами в автоматическом режиме.1. Постановка краевой задачиПусть B - ограниченная односвязная область с жордановой границей, представляющей собой кусочно-гладкую кривую Г. Пусть ϕ( x, y) - непрерывная в замыкании B = B¼… области B, гармоническая в B функция, удовлетворяющаяграничному условию (1). Известно, что всякую гармоническую в односвязной области B функцию можно рассматривать как действительную или мнимую частьнекоторой регулярной в B функции F(z), z = x - iy . Пусть ϕ = ReF. Тогда¹ = ImF.Согласно теореме Уолша [11], регулярную в B функцию F, непрерывную в B , можно аппроксимировать многочленом сколь угодно точно равномерно в B : для Численный метод устойчивого решения задачи Сен-Венана о кручении стержня 101любого числа § > 0 существует многочлен( )0( )nkn k k k P z a ib z = ” −с действительными коэффициентами ak , bk , такой, что max ( ) n ( ) z B F z P z ¶− < § .Отсюда имеем( )( ), max , Im n ( ) x y B x y P x iy ¶¹ − - 0 зададим с учётом требуемого уровняточности § 0 аппроксимации функции •ϕ/ •¯ на Г: 2¦0 = §0 .Обычным образом [12, с. 72, 73] доказывается, что ´n (­) - возрастающаяфункция и n ( ) ƒ( )´ ­ ¨ † при ­ ¨† , где ( ) 1 ( cos sin )2 .( )y γ x ds L †…´ = − ¥ … ´Следовательно, уравнение (15) имеет (и притом единственное) решение ­ тогда и только тогда, когда выполняются условия2 ( )n (0) 0´ < § < ´ † . (16)Если условие ( ) 2´n 0 < §0 не выполняется, следует увеличивать n и повторятьвсе вычисления до тех пор, пока не станет ( ) 2´n 0 < §0 .Решение уравнения (15) при выполнении условий (16) можно получить, применяя какой-либо численный итеративный метод, например известный методхорд.104 В.В. Соболев3. Определение функции ƒ При известных значениях коэффициентов a1, b1, ...., an , bn для определенияфункции ¹ достаточно определить величину b0 и воспользоваться формулой (8).Найдём b0 из условия минимума квадратичной невязки граничного условия (4): ( )220Г 1cos sin 1 min 2nkk k k b r b k a k r ds ⎛ ⎞⎜ - ª − ª - ⎟ ¨⎝ ⎠´ ” .Получаем( ) 20Г 11 cos sin 12 ( ) 2nkk k k b r b k a k r ds L ⎛ ⎞= − ⎜ ª − ª - ⎟ … ⎝ ⎠´ ” . (17)4. Определение геометрической жёсткости при кручении стержняПримем приближённо за величину D значение интеграла2 2 n n n BD x y x y dxdyx y ⎛ •ϕ •ϕ ⎞ = ⎜ - - − ⎟ ⎝ • • ⎠ ´´ .Применяя формулу Остроградского - Грина, получаем( 2 ) ( 2 )Dn x y x n dx y x y n dy … =

Скачать электронную версию публикации