Theorem on conversing the complex variable function to zero.pdf Интеграл вероятностей (функция erf комплексного переменного z = x + iy )широко используется во многих областях науки и техники [1, 2]. Потребность егоприменения в математическом аппарате статистической радиотехники и теориисвязи вызвала большой объём опубликованных формул, требующих для их опера-тивного использования в инженерных расчётах вычисления значений этой функ-ции посредством специальных компьютерных программ [2]. Разработка программдолжна сопровождаться тестовыми вычислениями значений этой функции в вы-бранных точках z-плоскости.Вариантом выбора таких точек является использование нулей функции erf(z).В настоящее время в общедоступных печатных изданиях, например в [1], приво-дятся приближённые значения компонентов лишь тех нулей, которые имеют но-мера 1 - 10. Впервые они были опубликованы в 1955 г. в [3]. Число их значащихцифр равно 9, что недостаточно для полноценного использования варианта. Пре-пятствием к использованию варианта является и отсутствие в общедоступных пе-чатных изданиях приближённых значений компонентов нулей, имеющих большиеномера.При вычислении значений компонентов нулей, приведённых в [3], не приме-нялись многозначные таблицы узлов и весов квадратурных формул Гаусса илиуточняющих квадратур [4, 5], в то время как использование их в расчётах потен-циально может способствовать получению многоразрядных значений компонен-тов нулей.В данной работе формулируется очевидное свойство функции комплексногопеременного, позволяющее решить обозначенные проблемы. Демонстрируютсярезультаты её применения на трёх примерах, один из которых посвящён вычисле-нию значений нулей функции erf(z).Свойство. Пусть обе части функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) определены в замк-нутом прямоугольнике с вершинами M1(a,c), M2(a,d), M3(b,d) и M4(b,c), располо-женными в z-плоскости. Пусть a < b и c < d, а функции u(x, y) и v(x, y) обладаютследующими свойствами:1. В прямоугольнике M1M2M3M4 уравнения u(x,y) = 0 и v(x,y) = 0 определяютна промежутке [a, b] однозначные непрерывные функции y = f1(x) и y = f2(x), при-нимающие значения из промежутка [c, d].36 Ю.А. Несмеев2. Кривые, имеющие уравнения y=f1(x) и y=f2(x), пересекаются один раз, а точ-ка их пересечения для прямоугольника M1M2M3M4 является внутренней.Тогда: а) прямоугольнику M1M2M3M4 принадлежит единственный нуль функ-ции f (z), являющийся точкой пересечения кривых u(x,y) = 0 и v(x,y) = 0; б) нульфункции f (z) может быть найден путём того последовательного деления проме-жутка [a,b] пополам, который вытекает из теоремы Коши об обращении действи-тельной функции действительного переменного в нуль применительно к функцииf0(x)= f1(x) - f2(x).Этим свойством можно пользоваться для вычисления действительной и мни-мой частей нуля функции f (z) с точностью, определяемой в значительной степениязыком программирования (в случае обращения к нему). Это обстоятельство яв-ляется следствием следующего факта: в результате деления промежутка [a,b]происходит вычисление с указанной точностью не только корня функции f0(x), нои координат той точки прямоугольника M1M2M3M4, соответствующие координа-ты которой обращают одновременно в нуль значения функций u(x,y) и v(x,y).Минимальные трудозатраты при использовании свойства на практике могутдостигаться, очевидно, в случае выражения функций f1(x) и f2(x) через элементар-ные функции. Такой случай имеет место в примерах 1 и 2. В примере 3 функцииf1(x) и f2(x) не выражаются через элементарные функции.Пример 1. Функция f (z) = (x - y) + i(1 - x - y) определена, в частности, в замк-нутом прямоугольнике с вершинами в точках M1(0,0), M2(0,1), M3(1,1) и M4(1,0).Притом справедливы равенства a = 0, b = 1, c = 0, d = 1, u(x, y) = x - y,v(x, y) = 1 - x - y и выполнены условия теоремы. Функции f0(x), f1(x) и f2(x) описы-ваются зависимостями f0(x) = -1 + 2x, f1(x) = x и f2(x) = 1 - x. Поэтому нуль функ-ции f (z) может быть найден путём последовательного деления промежутка [0;1]пополам применительно к функции -1 + 2x. Первый же шаг процесса деленияприводит к нулю 0,5 + i0,5 исходной функции f (z).Пример 2. Функция f (z) = (2x - y) + i(y - cos x) удовлетворяет в замкнутомпрямоугольнике с вершинами в точках M1(0,0), M2(0,1), M3(1,1) и M4(1,0) услови-ям теоремы. Нуль функции f (z) может быть найден путём последовательного де-ления промежутка [0; 1] пополам применительно к функции f0(x) = 2x - cosx. Ужена шаге № 28 процесса деления пополам устанавливаются приближённые значе-ния нулей функции f0(x) и f (z). Этими значениями являются числа 0,45018361 и0,45018361 + i0,90036722.Пример 3. Применение к функции erf(z) алгоритма численного способа, осно-ванного на приведенном свойстве, приводит к вычислению приближённых значе-ний компонентов её нулей.Таким способом были найдены новые представления тех нулей этой функции,которые имеют номера 1 - 10, и нуля под номером 100. Они приведены в верхнихчастях блоков табл. 1, занумерованных числами 1-10, 100. (Номера блоков и ну-лей совпадают.) Притом число значащих цифр в приближённых значениях ком-понентов больше числа 9, а номер одного из нулей является большим - числом100. При нахождении применялись многозначные таблицы узлов и весов уточ-няющих квадратур.В нижних частях блоков табл. 1 даны представления нулей под номерами 1 -10, приведённые в [1]. Они участвовали при предварительном нахождении соот-ветствующих значений величин a, b, c и d перед непосредственным применениемсвойства.Вычисление комплексных нулей интеграла вероятностей 37Т а б л и ц а 11 1,450616163243676 + i1,880943000153311,45061616 + i1,880943002 2,244659273803247 + i2,6165751406894392,24465928 + i2,616575143 2,839 7410469080 + i3,1756280996431862,83974105 + i3,175628104 3,335460735441156 + i3,6461743763873613,33546074 + i3,646174385 3,769005567014 + i4,0606972339333,76900557 + i4,060697236 4,1589983997814 + i4,43557144423654,15899840 + i4,435571447 4,51631939958391 + i4,7804476441484284,51631940 + i4,780447648 4,847970309201 + i5,1015880434914,84797031 + i5,101588049 5,1587679075375 + i5,40333264280815,15876791 + i5,4033326410 5,4521922011098 + i5,68883743703645,45219220 + i5,68883744100 17,659970331721 + i17,767043069336При предварительном нахождении значений величин a, b, c и d перед вычис-лением с помощью свойства приближённых значений компонентов нуля под но-мером 100 была применена приближённая формула для компонентов нуля [1],дающая его приближённое значение17,6225405060908+i17,8043739109047.Принятые значения величин a, b, c и d при использовании свойства даны втабл. 2.Т а б л и ц а 2a b c d1 1,450300 1,450700 1,880300 1,8903002 2,240000 2,250000 2,600000 2,7000003 2,839500 2,840000 3,175000 3,1760004 3,335460 3,335462 3,646160 3,6461805 3,769000 3,769100 4,060000 4,0610006 4,158900 4,159000 4,435000 4,4360007 4,516300 4,516320 4,780100 4,7805008 4,847970 4,847980 5,101500 5,1016009 5,158750 5,158770 5,403300 5,40340010 5,452000 5,453000 5,682000 5,692000100 17,659800 17,660000 17,759800 17,769800Уравнениями u(x,y) = 0 и v(x,y) = 0 при использовании свойства являлись соот-ветственно соотношения( )2 20erf sin 2 0yx vx ke e xvdv−+  = , (1)2 20cos 2 0yke x ev xvdv − = . (2)38 Ю.А. НесмеевЗдесь и далее используются обозначения:2k =π,1mk= ,12n = ,4pπ= .Соотношения (1) и (2) позволили вычислять значения функций f1(x) и f2(x) пу-тём применения теоремы Коши об обращении функции в нуль на промежутке[c,d] применительно к двум действительным функциям действительного перемен-ного y. Этими функциями служили левые части зависимостей (1) и (2) при фикси-рованном значении величины x. Притом при определении значений этих функцийопределённые интегралы вычислялись с помощью квадратурных формул.Обработка результатов использования зависимостей (1) и (2) для вычисленияприближённых значений компонентов нуля под номером 1 отражена в табл. 3.Т а б л и ц а 31) a = 1,450300 b = 1,450700 c = 1,880300 d = 1,8903002) 1,450616163243676 + i1,8809430001533151,450616163243676 + i1,8809430001533143) 1,450616163243676 + i1,880943000153314) 1,45061616 + i1,880943005) -9,8699038694033910-9 - i1,1779200723431810-86) -9,8699039199272110-9 - i1,1779201322345010-87) 2,0070316936182710-14 - i1,5354525376848310-148) 2,0018925753206910-14 - i1,5953492867038010-14В табл. 3 представлены данные, состоящие из восьми строк. Притом втораястрока состоит из двух подстрок. Первая строка даёт значения величин a, b, c и d.Во второй строке содержатся два комплексных числа, каждое из которых являетсярезультатом последовательного деления промежутка [a,b] пополам. Эти числа по-лучены применением квадратурных формул на 41 и 81 узел. В третьей строкеприведено комплексное число, сформированное из комплексных чисел второйстроки. Правила формирования: формирование действительной (мнимой) частиначинается с большего разряда целой части; в очередной разряд действительной(мнимой) части включается цифра, общая для действительных (мнимых) частейкомплексных чисел; включение екращается при первом несовпадении однораз-рядных цифр. Комплексное число, которое в качестве своих компонентов имееттак сформированные действительные числа, было принято за такое приближённоезначение нуля под номером 1, все знаки которого являются верными. (Оно явля-ется верхним комплексным числом блока 1 из табл. 1.) В четвёртой строке данокомплексное число, полученное из комплексного числа третьей строки округле-нием его действительной и мнимой частей до восьми знаков после запятой. (Оносовпадает с нижним комплексным числом блока 1 из табл. 1.) В пятой и шестойстроках приведены значения левых частей равенств (1) и (2), вычисленные с по-мощью квадратурных формул на 41 и 81 узел в той точке z-плоскости, котораяопределена комплексным числом четвёртой строки. В седьмой и восьмой строкахуказаны данные, аналогичные данным пятой и шестой строк, но происходящие изприменения комплексного числа из третьей строки.Табл. 3 была получена с помощью специально разработанной компьютернойпрограммы на языке Турбо Паскаль [6]. В программе все величины, принимаю-щие дробные значения, в том числе и те, которые дают значения определённыхВычисление комплексных нулей интеграла вероятностей 39интегралов, имели тип extended, благодаря чему представления значений этих ве-личин в компьютере содержали 19 - 20 десятичных цифр.При вычислении определённых интегралов, входящих в равенства (1) и (2),промежуток интегрирования разбивался на такие части, из которых лишь однамогла иметь длину, меньшую 1, а все остальные (при их наличии) обязаны былииметь длину, равную 1. Если длина промежутка была меньше 1, то интеграл поней заменялся на разность таких двух интегралов, у одного из которых длинапромежутка интегрирования равнялась 1. Вычисление интеграла по каждой части(элементарный промежуток) осуществлялось по уточняющим квадратурам. При-том были задействованы все 16 знаков узлов и весов квадратур.При обращении к последовательному делению промежутка пополам выполня-лись следующие действия: a) процесс деления прекращался тогда, когда длинаочередного состоявшегося промежутка была не большей числа 10-15; b) за нульпринималась середина последнего промежутка, полученного делением.Контроль точности вычислений значений определённых интегралов происхо-дил только при получении данных, приведённых в строках под номерами 5 - 8табл. 3, в соответствии со следующим допущением: ошибка, даваемая каждой издвух квадратур, имеет такой же порядок, как и разность между результатами вы-числений по двум разным квадратурным формулам [4]. Поэтому в качестве отно-сительной погрешности результата вычисления значения определённого интегра-ла по конкретной квадратурной формуле принималась абсолютная величина тогорезультата деления, который дают разность (делимое) результатов вычисления поквадратурным формулам на 41 и 81 узел и результат (делитель) вычисления поконкретной квадратурной формуле.При получении данных, приведённых в пятых и шестых (седьмых и восьмых)строках, минимальный и максимальный порядок относительной погрешности ре-зультатов вычислений, относящихся к элементарным промежуткам, с помощьюкаждой из квадратур составили -17 и -16. Сравнение порядков компонентов ком-плексных чисел, приведённых в пятой и шестой строках табл. 3, с соответствую-щими данными из строк под номерами 7 и 8 позволяют сделать вывод: те при-ближённые значения действительных и мнимых частей нулей, которые приведеныв третьей строке, обеспечивают для функции erf(z) более высокую точность ре-зультатов вычислений её значений в нуле под номером 1.Обработка результатов использования зависимостей (1) и (2) для вычисленияприближённых значений компонентов нулей под номерами 2 - 10 привела к вы-водам, аналогичным тем, которые изложены выше в связи с нулём под номером 1.Поэтому был сделан следующий вывод: те приближённые значения действитель-ных и мнимых частей нулей под номерами 1 - 10, которые приведены в верхнихчастях блоков табл. 1, обеспечивают для функции erf(z) более высокую точностьрезультатов вычислений её значений в её нулях.Новые, приведённые в табл. 1 значения нулей были применены для отладкипрограммы, вычисляющей значения функции erf(z) с помощью квадратурныхформул, и программ, позволяющих оперативно проводить расчёты с помощьюформул, предложенных в [2]. Примером результативности таких программ явля-ется преобразование с их помощью зависимостей( ) ( )2021erf 1 erfzz e dz m n−− + = , (3)40 Ю.А. Несмеев( ) ( )202 2121erf 1 erf erf2zz e dz p n−−+ = ⎛ ⎛ ⎞ + ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠  , (4)( ) ( )2021erf 1 erfziiz i e dz im n in− + + = − + , (5)( ) ( )202 2121erf 1 erf erf2ziiiz i e dz ip n in−⎛ ⎛ + ⎞ ⎞ + + = − ⎜ ⎜ ⎟ + + ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠  (6)в соотношения( )2011erf 1 4,13039301207643 10zz e dz− −− + = ⋅ , (7)( )20112erf 1 3, 26568004341490 10zz e dz− −− + = ⋅ , (8)( )201 11erf 1 8,14574300511071 10 6,33348392157181 10zi怜iz i e dz i− −−Ѓз + + = ⋅ − ⋅ , (9)( )201 112erf 1 6,68051001730 10 4,0675738422487 10ziiz i e dz i − −−Ѓз + + = ⋅ − ⋅ . (10)

Скачать электронную версию публикации