О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп
Рассматриваются абелевы группы, в которых квадрат всякого коммутатора(по другому - скобки Ли) эндоморфизмов равен нулю. Описаны группы суказанным выше свойством в ряде классов групп.
On bracket Lie of endomorphisms of abelian groups.pdf Пусть A - абелева группа. Тогда E(A) обозначает кольцо ее эндоморфизмов,r(A) - ранг, если не оговорено противное, то Ap - ее p-компонента, а t(A) - перио-дическая часть. Если A - однородная группа без кручения, то t(A) - ее тип. ЗаписьH ≤ A означает, что H - подгруппа в A; H ≤ fi A, что H - вполне инвариантная под-группа в A, т.е. fH H для каждого f E(A). Если f: A B - гомоморфизм, тоf | H - ограничение f на H A. Если B, G - группы, то через Hom (B, G)B обозна-чим след группы B в группе G, т.е. подгруппу, порожденную всеми гомоморфны-ми образами B в G. N - множество всех натуральных чисел, Q - аддитивная груп-па всех рациональных чисел. Через 1A обозначим тождественный эндоморфизмгруппы A. A1 = n N nA.pZ - квазициклическая p-группа, pZ_- группа целыхp-адических чисел.Пусть [,] = - (скобка Ли, или коммутатор). П.А. Крылов поставилвопрос об изучении групп A со свойством [,]2 = 0 для любых , E(A). Обо-значим класс таких групп через BL2. Ясно, что прямое слагаемое группы из классаBL2 также принадлежит BL2. Кольцо E(A) коммутативно в точности тогда, когда[,] = 0 для любых , E(A) (т.е. A BL1). Класс BL2 можно рассматриватькак обобщение класса групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов.Отметим несколько простых свойств скобки Ли.1) -[,] = [ - ,] = [, - ] = [,];2) [, + ] = [,] + [,], [ + ,] = [,] + [,];3) n[,] = [,n], n[,] = [n,], [,]n = [,n], [,]n = [n,] длялюбого n N;4) [[,],] + [[,],] + [[,],] = 0, [,[,]] + [,[,]] + [,[,]] = 0;5) [[,],] = [,] - [,], [,[,]] = [,] - [,];6) [,] = [,] + [,], [,] = [,] + [,];7) [,] = [,] + [,], [,] = [,] + [,].Лемма 1. Пусть A = ⊕j I Aj, | I | > 1. Тогда:1) если Aj ≤ fi A для каждого j I, то A BL2 в том и только в том случае,когда все Aj BL2;2) если A BL2, то i (Hom (Aj, Ai) Aj) = 0 для любого i Hom (Ai, Ak), гдеj, k I \ {i}.О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп 79Доказательство. 1) Очевидно. 2) Пусть - проекция A на ⊕s I \ {i} As иa = g Ai, где a Aj, Hom (Aj, Ai). Пусть теперь f E(A) - такой, чтоf | Aj = , f | Ai = i и f | As = 0 при s j, i. Имеем [,f]g = ig = ia, [,f]a = -a = -g.Следовательно, [,f]2a = -ia = 0. Откуда i(Hom (Aj, Ai)Aj) = 0 в силу произволь-ности и a.Обозначим через A подгруппу группы A, порожденную всеми ее подгруппамивида [,]A, т.е.A = 〈[,]A | , E(A)〉(E-коммутант группы A). Ясно, что кольцо E(A) коммутативно в точности тогда,когда A = 0. Если a A, то через [,]a обозначим коммутатор элемента a.Если A = B⊕G, то, как можно видеть из следующей леммы, может случитьсятак, что B, G = 0, но A = A.Лемма 2. Если A = B⊕G, то A = 〈Hom (B,G)B, Hom (G,B)G, B, G〉.Доказательство. Пусть : A B, : A G - проекции, Hom (B,G) и0 b _____B. Тогда если f E(A) - такой, что f | B = , f | G = 1G, то [,f]b = b. Это до-казывает, что Hom (B,G)B A. Если теперь , E(A), то[,]b = [( + ),( + )]b == [,]b + (b - b) + (b + b - b - b).Здесь [,]b B, второе слагаемое принадлежит Hom (G,B)G, а третье -Hom (B,G)B. Поскольку аналогичные рассуждения справедливы и для элементовподгруппы G, то A совпадает с указанной подгруппой.Лемма 3. Пусть A = B⊕G, где G ≤ fi A. Тогда условие A BL2 равносильнотому, что B, G BL2, [,](Hom (B,G)B) = 0 для любых , E(G) и (B) = 0 длялюбого Hom (B,G). В частности, если кольца E(B) и E(G) коммутативны, тоA BL2.Доказательство. Необходимость. Продолжим , E(G) до эндоморфизмовгруппы A, полагая | B = Hom (B,G), | B = 0. Тогда для b B имеем[,]b = b - b = - b. Откуда [,]2b = - [,]b. Следовательно,[,](Hom (B,G)B) = 0. Симметрично [,](Hom (B,G)B) = 0.Если продолжить , следующим образом: | B = 1B + , | B = 1B - , то[, ]b = 2b - b - b. В силу уже доказанного получаем 2[,]b = 0.Если же положить | B = 1B + 2, | B = 1B - , то получим 3[,]b = 0.Откуда следует, что [,]b = 0. Поэтому [,](Hom (B,G)B) = 0 в силу произ-вольности и b.Докажем, что (B) = 0. Зафиксируем Hom (B,G). Продолжим , E(B) до, ξ η E(A), полагая ξ | G = 1G, η| G = 0, ξ | B = + , η| B = . Тогда для b Bимеем [ξ,η]b = [,]b + b. Так как [,]2b = 0 и [ξ,η]βηb = 0 (последнее равенст-во следует из вполне инвариантности G), то 2[ξ,η] b = [,]b = 0. В силу произ-вольности элемента b получаем ([,]B) = 0 и, симметрично, ([,]B) = 0.80 А.Р. ЧехловЕсли продолжить , следующим образом: ξ | G = 1G, η| G = 1G, ξ | B = + ,η| B = - , то [ξ,η]b = [,]b + b + b - 2b. Откуда ввиду уже доказанного2[ξ,η] b = - 2[,]b = 0.Если же положить ξ | G = 1G, η| G = 1G, ξ | B = + 2, η| B = - , то[ξ,η]b = [,]b + 2b + b - 3b. Откуда 2[ξ,η] b = - 3[,]b = 0. Следовательно,([,]B) = 0. Поэтому (B) = 0 в силу произвольности и .Достаточность. Пусть : A B, : A G - проекции и , E(A). Имеем[,] = ( + )[,]( + ) = [,] + [,] + [,](учесть, что [,] = 0). Здесь можно считать, что [,] E(G). Поэтому оста-лось проверить действие [,] на B. Если b B, то [,]b = [,]b + (b) -(b) + [,]b. Последние три слагаемые принадлежат следу B в G, поэтомуони аннулируются при действии [,]. Следовательно,[,]2b = ([,]b) - ([,]b) + [,][,]b = 0поскольку, так как , E(B), все эти слагаемые принадлежат образу в G под-группы [,]B.Лемма 4. Если A = ⊕i I Ai, | I | > 1, то A BL2 в том и только в том случае,когда все Ai BL2, i (Hom (Aj, Ai) Aj) = 0, [i,i](Hom (Aj,Ai)Aj) = 0 и i(Ai) = 0 длялюбых i, i Hom (Ai, Ak) и i,i E(Ai), где j, k I \ {i}.Доказательство. Необходимость вытекает из лемм 1, 3.Достаточность. Пусть Bj = ⊕i I \ {j} Ai, : A Aj и : A Bj - проекции, а, E(A). Если a Aj, то[,]a = [( + ),( + )] = [,]a + [,]a + [,]a + [,]a == [,]a + a - a + a - a+ a - a .Здесь a Hom (Aj,Bj)Aj и | Bj Hom (Bj,Aj), поэтому a = 0. Аналогичноa = 0. Далееa, a, a, a Hom (Aj,Bj)Aj,а поскольку в скобках [,], [,] в качестве множителей входят гомоморфиз-мы из Hom (Bj,Aj), то перечисленные элементы аннулируются при действии этихскобок. С учетом того, что [,]2a = 0 и [,](Hom (Aj,Bj)Aj) = 0 окончательнополучаем [,]2a = 0.Из лемм 1, 3 следует, что делимая группа принадлежит BL2 тогда и только то-гда, когда все ее ненулевые p-компоненты имеют ранг 1, а часть без кручения ли-бо нулевая, либо также имеет ранг 1.Теорема 5. Если A BL2, то каждая ее ненулевая p-компонента Ap есть либоциклическая группа, либо прямая сумма циклической группы Bp и группыpZ ,причем в последнем случае A/Ap = p(A/Ap) при Bp 0.Доказательство. Вытекает из лемм 1 и 3.Следствие 6. Если A - периодическая группа, то A BL2 тогда и только то-гда, когда каждая ее ненулевая p-компонента есть либо ненулевая циклическаягруппа, либо прямая сумма некоторой (возможно, нулевой) циклической группы иО скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп 81группыpZ . В частности, если A редуцирована, то ее кольцо эндоморфизмовкоммутативно.Теорема 7. Если 0 D - делимая часть группы A, A = B⊕D, то A BL2 тогдаи только тогда, когда B,D BL2, E-коммутант B группы B периодичен, причемесли обе подгруппы Dp, Bp 0, то B/Bp = p(B/Bp) и, кроме того, условие0 t(D) D влечет периодичность B, в этом случае A имеет строениеA = (⊕ p Ap)⊕D0, где - некоторое множество простых чисел, каждая Apесть или циклическая группа, или прямая сумма некоторой (возможно, нулевой)циклической p-группы и группыpZ , а D0 _ Q.Доказательство. Необходимость. Если 0 b B - элемент бесконечного по-рядка, то ввиду инъективности группы D найдется гомоморфизм : B D сосвойством b 0, причем если часть без кручения D0 группы D отлична от нуля,то можно выбрать так, чтобы b D0 и b 0 для некоторого Hom (A,pZ ). Поэтому в силу леммы 1 условие 0 t(D) D влечет периодич-ность B. Наконец, если Bp 0, то по теореме 5 Bp - циклическая группа, поэтомуB = Bp⊕E(p) для некоторой подгруппы E(p) B. Если теперь pE(p) E(p), то при ус-ловии Dp 0 найдется ненулевая композиция гомоморфизмов E(p) Bp Dp, чтопротиворечит лемме 1.Достаточность. Пусть 0 t(D) D. Имеем A = B⊕t(D)⊕D0, где B⊕t(D) ≤ fi A,E(B) и E(t(D)) - коммутативные кольца. Согласно лемме 3, B⊕t(D) BL2. По-скольку след группы D0 в B⊕t(D) содержится в подгруппе t(D), а E(t(D)) и E(D0) -коммутативные кольца, то из леммы 3 следует, что A BL2. Если же D0 = 0, тоE(D) - коммутативное кольцо и D ≤ fi A. Далее, если B = Bp⊕E(p), то по условиюpE(p) = E(p) при Dp 0. В силу леммы 2 B = (E(p)) и, значит, (B)p = 0. Откуда ввидупериодичности B вытекает, что (B) = 0 для каждого Hom (B,D). Поэтому полемме 3 A BL2. Пусть, наконец, D - группа без кручения. Тогда r(D) = 1,D ≤ fi A, E(D) - коммутативное кольцо и, так как B - периодическая группа,(B) = 0 для каждого Hom (B,D), следовательно, по лемме 3 вновь A BL2.Следствие 8. Если 0 D - делимая часть группы A, A = B⊕D и 0 B - группабез кручения, то A BL2 в том и только в том случае, когда E(B), E(D) - комму-тативные кольца.Доказательство. Необходимость следует из теоремы 7, а достаточность излеммы 3.Отметим, что делимая группа D = t(D)⊕D0 имеет коммутативное кольцо эндо-морфизмов E(D) тогда и только тогда, когда либо t(D) = 0, а D0 _ Q, либо D0 = 0, аDp _pZ для каждого p с условием Dp 0.Следствие 9. Пусть A = t(A)⊕R - расщепляющаяся группа (t(A), R 0). Запи-шем A в виде A = T⊕B⊕t(D)⊕D0, где T⊕B - редуцированная, а D = t(D)⊕D0 - де-лимая часть A и t(A) = T⊕t(D). Группа A BL2 в том и только в том случае, ко-гда t(D) _ ⊕p pZ , r(D0) ≤ 1, T =p 1 pT⊕ , каждая Tp - ненулевая циклическая82 А.Р. Чехловp-группа, pB = B при p = 1, E(B) - коммутативное кольцо и, еслиB, D0 0, то t(D) = 0.Доказательство. Необходимость следует из теоремы 7. Достаточность.Имеем t(A) = T⊕t(D) ≤ fi A. Если D0 = 0, то обозначим через G - след группы Bв t(A). G можно записать в виде G = G1⊕G2, где G1 =p 1 \ pG ⊕ T,G2 = ⊕p Gp t(D) (pG = G при p , поэтому GpTp = 0 для таких p).Поскольку1 p \ pT ⊕ ≤ fi t(A) и кольца E(T), E(t(D)) коммутативны, то [,]G = 0для любых , E(t(A)). Поэтому A BL2 по лемме 3. Если же B 0 и D0 _ Q,то A = B⊕T⊕D0, где T⊕D0 ≤ fi A и E(B), E(T⊕D0) - коммутативные кольца. Вновьпо лемме 3 A BL2. Наконец, при B = 0 имеем A = T⊕D, где E(T), E(t(D)) - ком-мутативные кольца и D BL2. Поэтому и в этом случае A BL2.Теорема 10. 1) Пусть A - вполне разложимая группа без кручения, A = B⊕D,где D - делимая часть группы A. Тогда A BL2 в том и только в том случае, ко-гда:а) если D 0, то r(D) = 1, а B - прямая сумма групп ранга 1 несравнимых ме-жду собой типов;б) если D = 0, то A = ⊕i I Ai, где либо r(Ai) = 1, либо Ai = Bi⊕Ci, r(Bi) = 1, Ci -прямая сумма групп ранга 1 несравнимых между собой типов > t(Bi), причем ти-пы прямых слагаемых ранга 1 групп Ai и Aj не сравнимы при различных i и j.2) Пусть A - сепарабельная (векторная группа) без кручения, A = B⊕D, где D -делимая часть группы A. Тогда A BL2 в том и только в том случае, когда:а) если D 0, то r(D) = 1, а B - прямая сумма (прямое произведение) группранга 1 несравнимых между собой типов;б) если D = 0, то A = ⊕i I Ai (A = i I Ai), где либо r(Ai) = 1, либо Ai = Bi⊕Ci,r(Bi) = 1, Ci - сепарабельная (векторная) группа, типы прямых слагаемых ранга 1которых несравнимы между собой и > t(Bi), причем типы прямых слагаемых ран-га 1 групп Ai и Aj не сравнимы при различных i и j.Доказательство. 1) Необходимость следует из леммы 3, поскольку для пря-мого слагаемого N1⊕N2⊕N3 группы A, где r(Ni) = 1, невозможны следующие соот-ношения для типов: t(N1) = t(N2) или t(N1) ≤ t(N2) ≤ t(N3). Достаточность в случае а)вытекает из леммы 3, поскольку D ≤ fi A и E(B), E(D) - коммутативные кольца.В случае б) достаточность следует из того, что Ai ≤ fi A, где, согласно лемме 3,Ai BL2.2) Прямые слагаемые сепарабельных групп являются сепарабельными группа-ми. Далее, если (A) - множество типов всех прямых слагаемых ранга 1 группыA, то (A) можно разбить на классы эквивалентности (A) = _ i I i, где типыs, t (A) считаются эквивалентными, если существуют t1,,tn (A), такие, чтотипы ti и ti + 1 сравнимы для всех i = 1,,n (здесь t0 = s, tn + 1 = t). В этом случаеA = ⊕i I Ai, (Ai) = i и Ai ≤ fi A, т.е. типы из (Ai) и (Aj) не сравнимы при i j[1; 19, упр. 7]. С учетом этих фактов оставшиеся утверждения доказываютсяаналогично 1).Теорема 11. Пусть A - копериодическая группа, D - ее делимая часть,A = B⊕D, D = t(D)⊕D0. Тогда A BL2 в том и только в том случае, когда A ал-О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп 83гебраически компактна, D = (⊕p pZ )⊕D0, где - некоторое множество про-стых чисел, r(D0) ≤ 1 и, кроме того:а) если 0 t(D) D, то B =p1⊕ Bp, каждая Bp - циклическая p-группа и 1 -некоторое конечное множество простых чисел;б) если t(D) = 0 или D0 = 0, то B = G⊕C, G =p1 Bp, каждая Bp - цикличе-ская p-группа, C _p 2 pZΠ_, 1 и 2 - такие множества простых чисел, что12 = ∅, причем если D 0, то множество 12 конечно.Доказательство. Необходимость. Имеем A1 = D⊕B1. Если Bp 0, B = Bp⊕E(p),то B1 = 1(p)E . Отсюда следует, что B1 - делимая подгруппа без кручения в B и, зна-чит, B1 = 0, A1 = D. Поэтому группа A алгебраически компактна [2, предложение54.2]. Если 0 t(D) D, то по теореме 7 B - периодическая группа. Всякая перио-дическая алгебраически компактная группа ограниченная [2, следствие 40.3], этодоказывает а).б) Замыкание G = (t(B))- в Z-адической топологии периодической части t(B)выделяется в B прямым слагаемым, B = G⊕C, (1 = {p P | Bp 0}). Если Dp,Bp 0, то pC = C, поэтому 12 = ∅. Если множество 12 бесконечно, тослед группы C в G является смешанной группой, а это при условии D 0 в силулеммы 2 противоречит теореме 7.Достаточность. В случае а) A BL2 по теореме 7. Если выполнены условияб), то G ≤ fi (G⊕C) и E(G), E(C) - коммутативные кольца. Поэтому по лемме 3G⊕C BL2. Пусть D 0. По лемме 2 (G⊕C) = Hom(C,G)C. Так как множество12 конечно, то (G⊕C) - периодическая группа и (G⊕C) = 0 для каждого Hom(G⊕C,D) в силу условия 12 = ∅. Следовательно, по лемме 3A BL2.Для каждого натурального n > 1 можно рассматривать класс BLn групп A, та-ких, что [,]n = 0 для любых , E(A). Ясно, что BLn BLn + 1. Для сравненияприведем один результат о группах из класса BLn (автор планирует подготовитьотдельную статью, посвященную группам из BLn при n > 2). Напомним, что дли-ной цепи a1
Скачать электронную версию публикации
Загружен, раз: 341
Ключевые слова
вполне инвариантная подгруппа, кольцо эндоморфизмов, скобка Ли эндоморфизмов, fully invariant subgroup, endomorphism ring, bracket Lie of endomorphismsАвторы
| ФИО | Организация | Дополнительно | |
| Чехлов Андрей Ростиславович | Томский государственный университет | доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета | cheklov@math.tsu.ru |
Ссылки
Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.
Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.
Вы можете добавить статью