The Lowner's and the Branges functions.pdf Сформулирована и доказана теорема о подстановке ряда обобщенной функцииКебе в произвольный ряд( )( )22( )021pppp kpk pxzQ u bz=⎛ ⎞= ⎜− ⎟ ⎜ ⎟⎜ − ⎟ ⎝ ⎠Σ ,то есть о представлении такой композиции в виде ряда по степеням z, z E ,E = {z C; z < 1} . Полученная теорема применяется для разложения целой поло-жительной степени решения ( ) p Q u уравнения Левнера( )( )ddζ μ τ + ζ= −ςτ μ τ − ζ, ζ(0, z ) = z , z E ,по степеням z в случае, когда управляющая функция z . Установлена связь междупроизводными по τ функций ( ) ,mζ τ z , ( ) 1,mz+ ζ τ . Как следствие получена систе-ма дифференциальных уравнений для коэффициентов разложений функций( )( )2,1m z d zz dζ τ− τпо степеням z.Показано совпадение этой системы с системой дифференциальных уравненийдля нахождения экспоненциальных многочленов Бранжа, используемых в доказа-тельстве справедливости гипотезы Бибербаха о коэффициентах. Это позволилопровести исследование указанных многочленов с позиции теории конформныхотображений.1. Теорема о композиции степенных рядов.Теорема 1. Пусть функция ( ) p Q u голоморфна в области D, 0D, и имеетразложение в ряд вида( ) ( )0p kpp kpkQ u b u== Σ , p 1, 2,... = (1)Тогда при фиксированном x(0,1) разложение функцииУравнения Левнера и функции Бранжа 101( )( )221 211ppp p ppxzz Qz z⎛ ⎞ƒ = ⎜− ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠(2)по степеням z имеет вид( ) ( )( )0p mpp mmz g x z=Φ =Σ ,где коэффициент( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )110 2111mp p k p k k kpm kpk k km mg x b x +=− += Σ−представляет собой многочлен степени m, если ( p) 0mpb Ѓ‚ .В частности, при p = 1 и фиксированном xЃё(0,1) разложение функции( )( )21 41 1xzz Qz z⎛ ⎞ѓі = ⎜⎜− ⎟⎟ − ⎝ − ⎠, где ( )0kkkQ u b uЃ‡== Σ ,по степеням z имеет вид( )( ) ( )( ) ( ) 10 0 211mk k k k mm k k km m bz xzЃ‡= =− +Φ =ΣΣ .Доказательство. Подставив разложение (1) функции ( ) p Q u в (2), будемиметь( ) ( )( ) ( )(2 1)01 4 1p kp k kp kp p kp kpmz b x z zЃ‡− +=Φ = Σ − − .Применим к ( )(2 1)1p kz− +− биномиальную формулу Ньютона( ) ( )( ) ( )0 02 11 4p kp j k kp k j pp kpk jkz b x zjЃ‡ Ѓ‡+ += =⎛− − ⎞ѓі = − ⎜ ⎟⎝ ⎠ΣΣи соберем в двойной сумме слагаемые, для которых k + j = m , m = 0,1,... , полу-чим( ) ( )( )0 02 11 4mp kp m k k kp pmp kpm kkz b x zm kЃ‡+ −= =⎡ ⎛− − ⎞ ⎤ѓі = ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ − ⎠ ⎦Σ Σ .Пользуясь символом Похгаммера, запишем( ) ( ) ( )( )( )12 1 2 11 4 1 41k p m k kp m k km kk km k− +−−⎛ − − ⎞ +− ⎜ ⎟ = − ⎝ − ⎠.Применим легко проверяемые формулы( ) ( ) ( ) 21 2 1 1k mk m kk− ++ = ,( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )21 12 21 141 1 2 1k k mkk k k m k kk+−= =+,102 Г.А. Юфероваи после выполнения простых операций будем иметь( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1122 1 1 11 41 1kpk p m k m kk k m kkm k− ++−⎛− − ⎞ −− ⎜ ⎟ = ⋅ ⎝ − ⎠.Учитывая, что( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 211 1 11m k kk k km km k m m+−= − + = − − + ,получим( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )110 0 2111mp k p k k kp pmp kpm k k km mz b x zЃ‡+= =⎡ − + ⎤ѓі = ⎢ − ⎥⎢⎣ ⎥⎦Σ Σ .Терема доказана.В случае p = 1 эта теорема была доказана в [1].2. Применение теоремы 1 к решению уравнения Левнерас постоянным управлениемФункция( )( ( ) )( )21 1 4,4K z ezK z e−τ−τ− +ζ τ = , ( )( )21zK zz=−- функция Кебе,является решением уравнения Левнера11ddζ − ζ= −ςτ +ζ, 0 ≤ ѓС < +Ѓ‡, (3)с начальным условием ѓД(0, z ) = z , zЃё E , и осуществляет однолистное конформ-ное отображение круга E на единичный круг с разрезом вдоль вещественной осиот точки 1 − до точки ( )2e 1 1 eτ −τ− − − . Этому разрезу соответствует на окруж-ности E дуга с концами в точках21 2 e ieτ−−τ⎛ ⎞⎜ − Ѓ} ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠, содержащая точку z = −1 .Теорема 2. Решение ѓД = ѓД(ѓС, z ) уравнения Левнера (3) с начальным условиемѓД(0, z ) = z , возведенное в степень m, mЃё N , имеет разложение в ряд по степе-ням z следующего вида:( ) 2 11 ,, ;2 1 2 1m m ll ml m m l m lz e F e zm mЃ‡− ѓС −ѓС=⎛ + − ⎞ ⎡ + − ⎤ѓД ѓС = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ − ⎠ ⎣ + ⎦Σ .Доказательство. Возведем решение ζ уравнения Левнера (3) в степень m:( )( ( ) )( ( ))21 1 4,4mmme K zze K z−τ−τ− +ζ τ = .Пользуясь формулой бинома Ньютона и полагая u 4e K ( z )−τ= − , представим в видеУравнения Левнера и функции Бранжа 103( ) ( ) ( )22021 1 1m km m m kkmu uk−=⎛ ⎞ѓД = − − ⎜ ⎟ −⎝ ⎠Σ .Заменяя здесь (1 )2ku − разложением в ряд по степеням u и меняя порядок сумми-рования, будем иметь( ) ( )220 021 1m km m m k n nn kmu un nЃ‡− += =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ѓД = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ΣΣ .Применим к коэффициенту при un формулу [2, с. 619, 54]:( ) ( ) 2 202 2 1 2 2 11 1 21n kk mn m nkn n m n muk m n n−=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞⎤− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎝ − ⎠ ⎝ ⎠⎦Σ .Заменим индекс суммирования p на n по формулеp n m = − , получим( ) 22 1 2 11 21m m p pp mp pup m p mЃ‡−=⎡⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞⎤ѓД = − ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥ ⎣⎝ + − ⎠ ⎝ + ⎠⎦Σ .Преобразуем разность в скобках, вынося за скобки общий член( ) ( )( )111 1 21 !p mp mpp m+ −+ −− −+ −и складывая затем два оставшихся слагаемых. Получим( ) ( )( )12 11 1 22 2!pm p p m pp mpmup m−Ѓ‡− + −=− −ζ =+Σ .В силу теоремы 1, запишем(1 ) ( ) m lll mz g e zЃ‡−ѓС=ζ = − Σ ,где ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )111 2 121 1 1 21 2 !l kk k k m kl kk m k kl l m kg e ek m−−τ + − − τ−=− + − −=+Σ .Поскольку ( )1 2 ( )22 !2!kkkk−= ,то ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )11 1 2 1 1 2, 12 ! !l km k k k m k ll mk mm l l kz z e zk k m−Ѓ‡+ − − ѓС= =− − + −ζ τ = −+ΣΣ .Преобразуем правую часть с учетом формул( ) ( 1) ( 1) (2 )! mm mm m m − + = − ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 2 1k k k k k kl l l l k l l−− + − − + = − − + ,( ) ( ) ( ) ( )( )( )12 11 2 1 1 212 ! 2 !mm m mm m m mm m−−− − + −= ,получим104 Г.А. Юферова( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )111 2 2 1,2 ! !l km m m k m k k k ll m k mm k l lz e z e zk k mЃ‡− ѓС + − − ѓС= + =− − − +ζ τ = ++Σ Σ .Заменим k на p по формуле p k m = − . С учетом формул( ) ( ) ( ) p m m pl l l m+− = − + ,( ) ( ) ( ) 1 11 1m p m pl l l m− + −+ = + + ,( 2 )! (2 1) (2 )!pp + m = m+ mи равенств( ) ( )( )( ) 11 112 1 ! 2 1m m ml l l mm m−− + ⎛ + − ⎞= − ⎜ ⎟ − ⎝ − ⎠,( )( )( )( )2 12 !! !k mk mkk k m++− −=−,имеем( )( ) ( )( )( )11 01,2 1 ! 2 1lm m p p p m ll m p pl m l m l mz e e zm p mЃ‡ −− ѓС − + ѓС= + =⎛ + − ⎞ − + +ѓД ѓС = + ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ +Σ Σ .Теорема доказана.Следствие Решение ( ) ,ζ τ z уравнения Левнера11ddζ − ζ= −ζτ +ζ, 0 ≤ ѓС < +Ѓ‡,с начальным условием ѓД(0, z ) = z имеет разложение в ряд по степеням z вида( ) 2 111, 1, ;3mmm mz e l F e zЃ‡−ѓС −ѓС=⎡− + + ⎤ѓД ѓС = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦Σ .Ранее разложение функции ( ) ,ζ τ z по степеням z было получено Г.Д. Садрит-диновой [3]. Связь этих коэффициентов с гипергеометрической функцией Гауссаранее не отмечалась.3. Соотношение между ( ) ,mζ τ z и ( ) 1,mz+ ζ τРассмотрим последовательность( )0,mmd zdЃ‡=⎧⎪ ѓД ѓС ⎪⎫⎨ ⎬⎩⎪ ѓС ⎪⎭. Представим разложение об-щего элемента этой последовательности по степеням z в виде( ) ( )( ) ,mm jjj md zm zdЃ‡=ζ τ= Γ ττΣ , zЃё E , m = 1, 2,... (4)Ранее такое разложение встречалось и использовалось в работе [4].Коэффициенты ( )( ) mjΓ τ принимают при τ = 0 значения( )( )( ) 11, ,01 2, , 1,...mj m jj mj m j m+ +⎧ − =ѓЎ =⎨⎩ − Ѓ‚ = +Уравнения Левнера и функции Бранжа 105Следующая теорема устанавливает связь между элементами последовательно-сти( )0,mmd zdЃ‡=⎧⎪ ѓД ѓС ⎪⎫⎨ ⎬⎩⎪ ѓС ⎪⎭.Теорема 3 При m = 1, 2,... имеет место равенство( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 , 1 , , ,1m m m m d d z d z d z d zd m d m d d d+ + ⎡ ѓД ѓС ѓД ѓС ⎤ ѓД ѓС ѓД ѓС⎢ + ⎥ = −ѓС ⎣ + ѓС ѓС ⎦ ѓС ѓС. (5)Доказательство. Умножая уравнение Левнера (3) на m 1m− ζ и на ( )1 mm+ ζ ,получим1 11mmdm dζ −ζ= −ζτ +ζ,11 1 11 1mmdm d++ ζ −ζ= −ζ+ τ +ζ.Складывая почленно, будем иметь( ) ( )( )11 1 , 1 , 111 1m mm m md z d zm d m d++ ζ τ ζ τ −ζ+ =−ζ + ζ = ζ − ζ+ τ τ + ζ.Дифференцируя обе части этого уравнения по τ, получим (5). Теорема доказана.Следствие При m = 1, 2,...имеет место равенство( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 11 m m m mj j j jd dm md d+ +Γ τ + Γ τ = + Γ τ − Γ ττ τ.Действительно, после подстановки (4) в (5) имеем( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 11 m j m j m j m jj j j jj m j m j m j mdz z m z m zdЃ‡ Ѓ‡ Ѓ‡ Ѓ‡+ += = = =⎡ ⎤⎢ ѓЎ ѓС + ѓЎ ѓС ⎥ = + ѓЎ ѓС − ѓЎ ѓСѓС ⎢⎣ ⎥⎦Σ Σ Σ Σ .Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, в силу единственностиразложения функции в ряд, получим указанное соотношение. Следствие доказано.4. Производящая функция для многочленов БранжаОбразуем определенную в [0,+Ѓ‡)Ѓ~ E последовательность { ( )} m , m 0W zЃ‡=τ , по-лагая( )( )0ln ,, ( ) ...d zW z Kz zdζ ττ =− = +τ, ( )( ) ( , ),mmK z d zW zm dζ ττ =−τ, m = 1, 2,... .Легко видеть, что( ) ( ) ( ) , , 0 ,mmW τ z = ζ τ z W τ z , m = 1, 2,...и имеет место следующее соотношение:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m , m 1 , 1 m 1 , m ,W z W z m W z mW z+ +ЃЭ ЃЭѓС + ѓС = + ѓС − ѓСЃЭѓС ЃЭѓС. (6)Действительно, умножая (5) на функцию Кебе K(z) и дифференцируя (6) по τ,будем иметь2 1 2 12 2( ) ( )( ) ( )1m m m m K z d K z d d dK z K zm d m d d d+ + ζ ζ ζ ζ+ = −+ τ τ τ τ.106 Г.А. ЮфероваУчитывая, что ( )( ) ( , ),mmK z d zW zm dζ ττ =−τ, получим (6).Начальный элемент ( ) 0 ,W τ z этой последовательности представляет собойотображение круга E на плоскость с тремя разрезами, два из которых лежат намнимой оси, не проходят через нуль, симметричны и имеют концы в точках2eiτ± , а третий разрез лежит на вещественной оси и соединяет точку2 22 4(1 1 )1 (1 1 )e ee e− τ −ττ −τ− −−− − −с −Ѓ‡ . Функция ( , ) mW τ z голоморфна относительно z вкруге E и, согласно теореме Тейлора, раскладывается в степенной ряд( ) ( ) ,0,lm lmlW z Q zЃ‡=τ =Σ τ ,равномерно сходящийся внутри E. Подставляя его в (6), получим( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1 , 1 ,0 0 01l l ll m l m l m l ml l ld dQ Q z m Q z m Q zd dЃ‡ Ѓ‡ Ѓ‡+ += = =⎡ ѓС + ѓС ⎤ = + ѓС − ѓС ⎢⎣ ѓС ѓС ⎥⎦Σ Σ Σ .Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частяхравенства, получим( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1 , 1 ,1l m l m l m l md dQ Q m Q mQd d+ +τ + τ = + τ − ττ τ.Поскольку( ) ( )1 1, ...m mmW z e z − + τ +τ = + ,то при l = 0,1,...m коэффициенты ( ) ,l m Q τ равны нулю.Фиксируем nЃё N \ {1} . Полагая m = n − s , , 1,...,1s = n n − , получим диффе-ренциальные уравнения для коэффициентов разложения функции( ) ( ) ,1,lm lml mW z Q zЃ‡= +τ = Σ τ :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1 , 1 ,1n n s n n s n n s n n sd dQ Q n s Q n s Qd d− −+ − + −τ + τ = − + τ − − ττ τ,s = 2,..., n −1; (7)( ) ( ) ( ), 1 , 11n n n ndQ n Qd− −τ =− − ττ, s = 1 ,с начальными условиями( ),0,при и при 2, 4,...,01, при 1, 3,...,l ml m l m mQl m m⎧ < = + += ⎨⎩ = + +полученными с учетом разложения( )11 2 1 3200, ...1mm l m mmlzW z z z zz+ Ѓ‡+ + + +== = = + +−Σ .Уравнения Левнера и функции Бранжа 107Запишем систему (7) в нормальной форме:( ) ( ) ( ), 1 , 11n n n ndQ n Qd− −τ =− − ττ, s = 1 ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }11, , ,12 1 ,2,..., 1, \ 1 .ss jn n s n n j n n sjdQ nj Q n s Qds n n−+ +− − −=ѓС = − − ѓС − − ѓСѓС= − ЃёΣN5. Связь функций Бранжа с функцией КебеРассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами( )( ) ( ) ( ) {}111111 ,2 1 , 2,..., 1, N \ 1 ,ss s jj sjdyn yddyn j y n s y s n nd−+ +== − −ѓС= − − − − = − ЃёѓСΣ(8)и начальными условиями ( ) 00s s y y = , s = 1,2,..., n −1 .Пусть( ) { ( )} 1, , 1,1, ,..., , ,..., , 11n n s n n nsY Y Y Y nn n s−ѓС = ⎛ ѓС ⎞ ⎛ ѓС ⎞ ѓС − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠и ( ) ( )( ) ( ) 1*1, , 1,1 1 1 1, 1 ,..., , ,..., ,2 2s nn n s n n nY Y Y Y+−⎧⎪ ⎛ + − ⎞ ⎛ + − ⎞⎪⎫ѓС = ⎨ ѓС − ⎜⎜ ѓС − ⎟⎟ ⎜⎜ ѓС − ⎟⎟⎬ ⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎭- решения системы (8) с начальными условиями(0)ssyn s=−и ( )( ) 1 1 102ss y+ + −= −соответственно.В [1, с. 179] показано, что s-й компонентой решения ( ) nY τ системы (8) являет-ся функция( )( )( )12, 43 122 2 , , , 1, ;1 ! , 2 1,k n ss ns m m k m k mY e F en s m k m m m− − τ −τ⎛ ⎞ ⎡ + − − − ⎤ ⎜ ѓС ⎟ = ⎢ ⎥⎝ − ⎠ − ⎣ + − ⎦.Функцию , , s nsYn s⎛ ѓС ⎞ ⎜ ⎟⎝ − ⎠называют ( ) ,s n -функцией Бранжа или экспоненци-альным многочленом Бранжа.Дифференцируя экспоненциальный многочлен Бранжа по τ, получим( )( )12, 32 122 , ,, 2 ;! , 2 1n ss n ks e m k k mY m F en s k m m− − τ−τ⎛ ⎞ ⎡ + − − ⎤ ЃЊ ⎜ ѓС ⎟ = − ⎢ ⎥⎝ − ⎠ ⎣ + − ⎦.Заметим, что( ) 1, ,1 10, 0,2ss n s nsY Yn s⎛ ⎞ ⎛ + − + ⎞ ЃЊ ⎜ ⎟ = − ⎜ − ⎟ ⎝ − ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠.108 Г.А. ЮфероваПоскольку функции, , s nsYn s− ЃЊ ⎛ ѓС ⎞ ⎜ ⎟⎝ − ⎠,( ) 1,1 1,2ss n Y⎛ + − + ⎞⎜⎜ ѓС − ⎟⎟⎝ ⎠удовлетворяют одной и той же системе дифференциальных уравнений (8) с оди-наковыми начальными условиями, то в силу теоремы единственности решенияполучим( ) 1, ,1 1, ,2ss n s nsY Yn s⎛ + − + ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ѓС − ⎟ = − ЃЊ ⎜ ѓС ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠, s = 1,2,..., n −1 .Вернемся теперь к системе (7) с начальными условиями ( )( ) 1,1 102sn n s Q+−+ −= .Заметим, что функции( ) n,n s Q − ѓС и( ) 1,1 1,2ss n Y⎛ + − + ⎞⎜⎜ ѓС − ⎟⎟⎝ ⎠удовлетворяют одной и той же системе дифференциальных уравнений и( )( ) 1, ,1 10 0,2sn n s s n Q Y+−⎛ + − ⎞= ⎜⎜ − ⎟⎟⎝ ⎠.Тогда по теореме единственности решения будем иметь( )( ) 1, ,1 1,2sn n s s n Q Y+−⎛ + − ⎞ѓС = ⎜⎜ ѓС − ⎟⎟⎝ ⎠.Получаем, таким образом, следующую теорему.„S„u„Ђ„‚„u„}„p 4. Производная функции Бранжа , , s nsYn s⎛ ѓС ⎞ ⎜ ⎟⎝ − ⎠и коэффициент( ) n,n s Q − ѓС разложения функции ( ) ( )12 ,1,1mlm lml meW z Q z−ѓС + Ѓ‡= +ζτ = = τ−ζΣ равны, то есть( )( ) 1, ,1 1,2sn n s s n Q Y+−⎛ + − ⎞ѓС = ⎜⎜ ѓС − ⎟⎟⎝ ⎠, 0 < ѓС < +Ѓ‡.

Скачать электронную версию публикации