About Some Properties Of Mappings Of The Class n(E).pdf Через ( ) nC E_, n ≥ 0 , обозначим класс голоморфных в единичном круге E(т.е. в круге z при любом zE [1].При n = 0 получим класс Каратеодори [2, 4]. Если n =1, то имеем класс од-нолистных в E функций с ограниченным вращением [3, 4].В данной работе изучаются различные свойства функций вида (1) из класса( ) nC E_, где n ≥ 0 . Мы устанавливаем признаки принадлежности функций к клас-су ( ) nC E_, оцениваем модули коэффициентов разложения в степенной ряд, моду-ли и действительные части этих функций. Устанавливаем так называемую теоре-му покрытия, относящуюся к образу круга E при отображении этого круга любойфункцией из класса ( ) nC E_, n ≥ 0 . Кроме того, находим радиусы тех окружно-стей z = r , 0 ,..., nЃНz z ЃёE .Действительно, пользуясь условием леммы 1 и формулой (3), имеем[ ( ) ] 0Re ; ,...,nF z z z =( )( )1 1 110 0 0... Re ... 0nt tnnF dt dt−Ѓз Ѓз Ѓз ζ > .Лемма 2. Если ( ) ( ) nF z ЃёC E_, n ≥1, то [ ( ) ] ( ) ; , 1 1 nF z z z C E−Ѓё_при любом фик-сированном 1z ЃёE . В частности,( )( ) n 1F zC Ez−Ѓё_.В самом деле, если ( ) ( ) nF z ЃёC E_, то, согласно свойствам разделенных разно-стей и лемме 1, имеем [[ ( ) ] ] [ ( ) ] 1 2 1 1 2 1Re ; , ; ,..., Re ; , ,..., 0n nF z z z z z F z z z z+ += > прилюбом 1z ЃёE и любых 2 ,..., n 1z z E+Ѓё . Но тогда [ ( ) ] ( ) ; , 1 1 nF z z z C E−Ѓё_. Положив1z = 0 , получим [ ( ) ]( )( ) ; ,0 1 nF zF z z C Ez−= Ѓё_.Используя лемму 2, приходим к следующему утверждению.Теорема 1. Если ( ) ( ) nF z ЃёC E_, n ≥1, то( )( ) k n kF zC Ez−Ѓё_, 0 ≤ k ≤ n .Исходя из определения класса ( ) nC E_, легко установить также теорему.Теорема 2. Для того чтобы функция F ( z ) принадлежала классу ( ) nC E_, не-обходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие( ) ( )( )( ) ( )11 ... 1mn mF z C En n n m−Ѓё− − +_, где 1≤ m ≤ n .Теорема 3. Если n ≥1 и( ) ( ) 1,2n nkk n nkF z z a z C EЃ‡+ −== +Σ Ѓё _,то справедливы неравенства( )( ) ,1 ! !21 !k nk nan k−≤+ −, k = 2,3,... ; (4)( )( )1 1 11 ! 1nr rF zr n r− +≤ ≤+ −, ЃН z = r

Скачать электронную версию публикации