On a modification of the Streater-Phelps model and its numerical implementationby means of multiprocessor computer systems.pdf 1. Построение модифицированной модели Стритера -ФелпсаВажнейшей характеристикой качества воды является концентрация раство-ренного в ней кислорода, необходимого элемента жизнедеятельности водорослейи растений. Эта величина носит название биохимической потребности в кислоро-де (БПК) и численно выражается количеством кислорода в мл/л или г/м3. В моде-ли Стритера - Фелпса концентрация растворенного кислорода и органических от-ходов взаимосвязаны [1]. Разложение отходов происходит под воздействием бак-терий, вызывающих химическую реакцию с использованием растворенного в водекислорода.Скорость разложения органического вещества описывается уравнением1dL k Ldt= −, (1)где L(t) - концентрация органического вещества, t - время, k1 - коэффициентразложения органического вещества, 1/сут.Обозначим D - дефицит кислорода, т.е. D = q − q0 , где q - реальная концен-трация кислорода в воде, q0 - равновесная концентрация кислорода, которая име-ет место при отсутствии загрязнения.Динамика дефицита кислорода описывается обыкновенным дифференциаль-ным уравнением вида1 2dD k L k Ddt= − , (2)где k2 - коэффициент аэрации, 1/сут.В процесс самоочищения, описываемый с помощью уравнений (1) и (2), вклю-чается очистка с помощью биофильтра путем добавления слагаемого −kL в (1):40 М.Д. Михайлов1 dL k L kL,dt= − − (3)где k - константа скорости изъятия органических загрязнений, 1/сут, вычисляе-мая по формуле2020 1,047 . k = k ⋅ T − (4)Здесь k20 -константа скорости биохимических процессов в сточной воде при тем-пературе 20 °C, T - температура сточной воды, °C. Для определения коэффициен-та k1 используются формулыk1 = 10£ F2 + ¤, (5)2 ,x y cH Bуд ktFqz= (6)где ƒ, ƒ - постоянные коэффициенты, определяемые из табл. 25 [2, с. 80]. Такимобразом, модификация модели самоочищения Стритера-Фелпса с добавлениембиофильтра, описывается системой ОДУ (3), (2) с соответствующими начальнымиусловиями:11 2,,dL k L kLdtdD k L k Ddt= − −= −(7)L(0) = L0 ,D(0) = D0. (8)Модификация построенной модели (7), (8) на двумерный случай заключается вдобавлении в систему (7) оператора диффузии2 2x2 y2⎛ • • ⎞† = ­⎜ + ⎟⎝ • • ⎠и конвективногочлена U Vx y⎛ • • ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝ • • ⎠, в результате чего модель принимает вид системы диффе-ренциальных уравнений в частных производных2 22 2 12 22 2 1 2( ) ( ) ,( ) ( )LDL U L V L L L k L kLt x y x yD U D V D D D k L k Dt x y x y• • • • •+ + =­ + − −• • • • •• • • • •+ + =­ + + −• • • • •(9)с соответствующими начальнымиL(x, y,0) = Lн (x, y),D(x, y,0) = Dн (x, y) (10)и граничными условиями0 00, 0,x x Lx y y LyL L L Lx = x = y = y =• • • •= = = =• • • •(11)0 00, 0,x x Lx y y LyD D D Dx = x = y = y =• • • •= = = =• • • •(12)Об одной модификации модели Стритера - Фелпса и ее численной реализации 41где U > 0,V = 0 - компоненты вектора скорости течения реки, км/сут; ­L ,­D -коэффициенты диффузии. Решение задачи (9) - (12) ищется в областиQ = G[0,T], G = {(x, y) 0 „ x „ Lx ,0 „ y „ Ly}.2. Выбор явного численного метода.Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимостиПокроем область Q равномерной сеткой ºhµ = ºh ºµ , где( , ) , , , 0, 1;, ,1 1j k j x k yh x yx yx y x j h y k h j k NL Lh hN N⎧ = ⋅ = ⋅ = +º = ⎪⎨= = ⎪⎩+ +и запишем разностную аппроксимацию дифференциальной задачи (9) - (12):(h) (h) ,hW = F (13)где1, , , 1, , , 11, , 1, , 1 , , 12 20,( ) 1, 0,1, ,2 2,, 1, ; 0, 1;, , 0, 1,,, 0, 1; 1,n n n n n nj k j k j k j k j k j kx yn n n n n nj k j k j k j k j k j kWx yj kn nh k khxn nN k NkxW W W W W WUh hW W W W W Wh hj k N n MW jk NW W WhW Wk N nh+− −+ − + −+− ⎛ − − ⎞+ ⎜⎜ + ⎟⎟ − µ ⎝ ⎠⎛ − + − + ⎞−­ ⎜⎜ + ⎟⎟⎝ ⎠= = −= + — −−= + =,1 ,0, 1 ,;,, 0, 1, 1, ;n nj jyn nj N j NyMW WhW Wj N n Mh+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪− ⎪⎪⎪⎪−⎪ = + =⎪⎩(14),,( ), , 1, ; 0, ;, , 0, 1;0,0,0,0,nj kнj khf j k N n MW jk NF⎧ = =⎪= + ⎪⎪⎪—⎨⎪⎪⎪⎪⎩(15), ( 1 , , ; 1 , 2 , ) , , ( , , , ) , n n n n n T н н н Tf j k = −k Lj k − kLj k k Lj k − k Dj k Wj k = Lj k Dj k0,,, , 0,2;0, , 3, 1;н j kj kL jkLj k N⎧⎪ = = ⎨⎩⎪ = +н, 0, , 0, 1.Dj k = j k = N +42 М.Д. МихайловНетрудно показать, что погрешность аппроксимации разностной задачи с уче-том начальных и граничных условий имеет порядок O(µ + hx + hy ).С учетом условия монотонности разностной схемы (13)2 22 2 2 2 ,( 2 2 )x yx y y x W y W xh hU h h V h h h hµ

Скачать электронную версию публикации