MOTIONS OF ULTRADISPERSED PARTICLES IN A TWISTED SECTION OF A RING CHANNEL..pdf Центробежные аппараты широко и успешно используются для разделения компонент полифракционных газовых смесей, а также для выделения из газовой фазы взвешенных в ней фракций редкоземельных элементов, в частности, газовое центрифугирование является основным способом выделения радиоактивных изотопов. Если речь идет о частицах, размер которых порядка микрона и выше, то для описания их движения в газе применимы методы механики сплошной среды, и в частности методы классической аэромеханики. В этом направлении активно работали и работают представители томской школы аэромехаников В.А. Шваб, А.В. Шваб, М.И. Шиляев, И.М. Васенин, А.А. Глазунов, А.Д. Рычков, В.А. Архипов, А.В. Старченко, О.В. Матвиенко и другие. Однако при описании движения мелкодисперсных частиц из-за нарушения гипотезы сплошности среды и наличия броуновского движения возникают проблемы при определении силы аэродинамического сопротивления частицы. При выполнении расчетов в настоящей работе принята технология вычисления сопротивления, широко используемая при газовом центрифугировании радиоактивных изотопов.Физическая постановка задачиБудем рассматривать стационарное осесимметричное изотермическое закрученное течение газа, содержащего незначительное по массе количество примеси в виде ультрадисперсных либо даже наночастиц. Движение газа осуществляется в кольцевом канале постоянного сечения, имеющем вращающуюся секцию.Пусть а и Ъ - внутренний и внешний радиусы кольцевого канала, а Ь=ЬХ+Ь2+ЬЪ - его длина, причем L » Ъ - а. Изначально прямоточное движение газа, поступающего на вход в кольцевой канал еще на участке L\ трансформируется в автомодельное распределение (см. ниже). В секции L2, где осуществляется вращение стенок канала, на это движение накладывается окружное пере-1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 08-01-00484-а).Движение ультрадисперсных частиц в занрученной секции кольцевого напала39мещение среды, в результате траекториями движения частиц на этом участке оказываются линии, схожие с винтовыми. В секции Ьъ окружное движение под действием сил вязкости постепенно затухает. Безусловно, в начале секции L2 существует участок перестройки движения. Его длина будет определяться отношением интенсивностей конвективного и диффузионного механизмов в переносе окружной скорости. Как только распределение компоненты W будет соответствовать закону вращения твердого тела, этот участок закончится. Имея в виду относительно небольшой поперечный размер области течения и модельный характер настоящих расчетов, ниже мы не будем рассматривать участок перестройки движения.Рис. 1. Физическая область движения газа и частиц: Ly - предвключенный участок, L2 - вращающаяся секция, L3 - участок последействияАвтомодельные распределения в газовой фазеu^+vdJL dz dr1 dp p dz+ vV2U ;иdV dzdrW2 r1 dp p drfvfvV-V 7иdzdW + ■ drтЧ9 W' V2W- - r2.)-dU 1 d(Vr)0Стационарные уравнения осесимметричного изотермического дозвукового течения воздуха в центробежном аппарате можно записать как осесимметричные уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости [1]:(1) (2) (3)dr(4)Здесь z, r - цилиндрические координаты; U,V,W - компоненты вектора скорости в выбранной системе координат; р, р - плотность и давление газа (жидкости);21 ddd2плоский оператор Лапласа.,2,.2 r QrdzL drLДля случая прямоточного течения несжимаемой жидкости в [1] приведено автомодельное распределение для продольной компоненты скорости в кольцевом канале:До-а,2■In (г/а)2 *И (Г):(5)-Г +-4цАЫ(Ь/а)где а,Ъ - внутренний и внешний радиусы кольцевого канала; Ар - перепад давления на длине L\,\x, - коэффициент динамической вязкости среды.40МЛ. БубенчиновСуществует простейшее автомодельное (все распределения которого зависят только от одной координаты) решение задачи о закрученном течении в кольцевом канале:U{r) = u{r), V{r) = Q, W{r) = ar,p(z,r) = pa(z)+^f(r2-a2).(6)Здесь со - постоянная по величине угловая скорость, ра (z) - линейная функция z,dp так что - уже не зависит от z.dzНепосредственной проверкой убеждаемся, что эти распределения удовлетворяют уравнениям (1) - (3).Уравнение поперечного перемещения отдельной частицыПримем, что сила сопротивления FD движению частицы пропорциональна первой степени скорости поперечного смещения:FD = 2Mpr ,(7)где М - масса частицы, (3 - пока еще неопределенный коэффициент сопротивле-dr ния, г = -, r(t) - поперечная координата отдельной частицы. dtДалее в настоящей работе мы пренебрегаем скольжением частиц при их перемещении в продольном направлении, считая, что в этом направлении они двигаются со скоростью, равной скорости основного потока. Запишем основное уравнение динамики частицы, спроецированное на радиальное направление, в котором будут учтены лишь центробежная сила инерции и сила сопротивления среды:М-г=М--2Мрг.(8)гЗаменяя W с использованием (6) и сокращая на М, найдем:r = co2r-2pr.(9)Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое будем интегрировать численно. Однако в дальнейшем для проверки точности вычислений построим и аналитическое решение этого уравнения.Расчет силы сопротивленияВ дальнейшем будем использовать обозначения V = г, V = гёг, где ёг - ортоси 0г.Сила сопротивления через коэффициент сопротивления может быть определена следующим образом:FD=-^^VV.(10)оЗдесь d - диаметр частицы; V - ее относительная скорость; р - плотность окружающей среды.Движение ультрадисперсных частиц в занрученной секции кольцевого напала41Для CD будем использовать простейшую формулу Стокса24с коррекцией Каннингема [2, 3] на конечность числа Кнудсена для частицы нано-размера. Поэтому здесьRe = PF%.(12)\\.' = у^, C = l + Kn(A1+A2exp(-A3/Kn)), Кп = у,, ц' - величина скорректированного по Каннингему коэффициента динамической вязкости среды, / - длина свободного пробега молекул окружающей частицу среды, Кп - число Кнудсена, Ai (i = 1,3j - коэффициенты модели. Подставляя (11), (12) в (10), получимFD=3ndVn'.(13)С другой стороны, принимая для FD зависимостьFD =2MPF, из сопоставления этих формул найдемг, Злй? ,Р =Ц (14)2МЧисленное решение задачиУравнение второго порядка (9) запишем в виде системы двух уравнений первого порядка:^ = П&,(15)at- = co2r-2pF.(16)dtДобавляя к уравнениям (15), (16) кинематическое условие, определяющее продольную скорость частицы, получим замкнутую систему, полностью определяющую движение частицы в потоке:§ = £/(г).(17)atЧисленное интегрирование полученной системы будем проводить с использованием для уравнений (15), (17) схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности и неявной схемы для уравнения (16). Согласно подходу Рунге-Кутта, использующему идею пересчета для того, чтобы вычислить значение искомой величины нановом слое по времени (в момент tn+ ), необходимо предварительно вычислитьправые части указанных уравнений в четырех точках интервала t е /", tn+l :42МЛ. Бубенчиновrx=rn, Vx=Vn, Ul=U{rl);(18)r7=rn+-V„ V7 =±-'-, U7 =U(r7);(19)22 l 2(1 + р/г)2 У2'К '-3""V^ = (i+w У^з=^з);(20)r4=r"+AF3, ^4 = V(1 + 2p/;)^ ^4=^(^4)-(2DТогда значения искомых величин на новом слое по времени найдутся по формуламr"+1 =r"+-(yi+2V2+2V3+V4);(22)6z"+1 =z"+- (t/j + 2t/2 + 2U3+U4);(23)6, (Vn+ha2rn+l)yn+\ = V/(24)(1 + 2PA)Соотношения (22), (23) представляют собой формулы явного определения цилиндрических координат частицы по технологии Рунге-Кутта, а (24) - формула неявного вычисления скорости частицы на новом слое по времени.Проводя последовательно расчеты по формулам (18) - (24), находим численное решение задачи о движении частицы в закрученном потоке, полученное с использованием явно-неявной схемы.Аналитическое решениеИсходное уравнение динамики одиночной частицыr=co2r-2pr(25)есть однородное линейное уравнение второго порядка. Решение ищем в виде(26)Подставляя в (25), находима2еш +2$аеш -ю2еш = 0.Сокращая на еш, получаем характеристическое уравнениеа2+2ра-со2 =0.(27)Движение у ль традисперсных частиц в занрученной секции нольцевого нанала43Его корнями будут действительные числаа12 =-р + -у/р2+со2 .(28)4,2Поэтому общим решением будет распределениеал . г^ ~алr(t) = Cxe^1 +C2e^\(a)где Сь С2 - константы интегрирования, которые найдутся из начальных условий:t = О, г = г0, г = 0,из которых при наличии (а) следуетОтсюда с учетом (28) получим{CjOt] + С2а2 = О, С1+С2=г0.r0 p+Vp2r-n |i + VP2+co22 Vp2+«2__r0 P-Vp2+cd2Vp2=~~' r^v(29)Принимая во внимание введенное ранее обозначение г = V, для поперечной скорости частицы найдем¥ = а1С1ещ' +а2С2еа2'.(30)Результаты расчетовНиже представлены результаты расчетов движения газа и частиц в кольцевом канале с поперечными размерами: а = 0,3 м, Ъ = 0,35 м, длиной вращающейся секции L2 = 1,4 м и угловой скоростью вращения барабанов со = 300 с-1. На рис. 2 показан профиль продольной скорости газа. Цифровка на всех графиках соответствует значениям в системе СИ. Как видим, уровень скоростей, представленный на этом рисунке, отвечает ламинарному режиму течения газа.В качестве частиц были выбраны углеродные шарики диаметром d= 10~7 м, М = 1,2-10~20 кг, а в качестве окружающей среды - атмосферный воздух, для которого / = 2 10 7 м. Поэтому число Кнудсена было равно Кп = 2. Поправка вязкости в этом случае определялась следующими значениями коэффициентов [2]: А\ = 0,99, А2 =А3 = 0 (см. соотношение (12)). При этом коэффициент р, входящий в (16), получился равным р = 2,44-106 с-1, а корни характеристического уравнения, входящие в решение (а), имели следующие значения: oil =2,2-10~2с~1, а2 = -4,09-106 с4. Как видим из рис. 3, скорость центрифугирования V оказалась в этом случае практически постоянной величиной и приближенно равной 8 мм/с.Кривые 1 - 5 на рис. 3-5 отвечают различным начальным положениям частиц в поперечном сечении канала. Эти положения отмечены цифрами на вертикальной оси рис. 3. В представленной математической модели процесса мы не рассматривали эффект отражения частиц от стенки канала. Попадая на нее, они останавливаются, что и следует из рис. 4, 5. Зона пребывания частиц в аппарате ограничена справа поверхностью вращения с образующей в виде траектории частицы, сошедшей с малого барабана (см. кривая 1 на рис. 5).44МЛ. Бубенчинов0,340,320,30Uz.tЛ0,2-I Uz = 1 1Uz(r) \ \0,1-0I 1 I ! i f\0,300,320,34 rРис. 2. Автомодельный профиль продольной скорости (5)Рис. 3. Изменение радиальной координатычастиц со временем. Кружки на прямой 3 -аналитическое решение (а)Zz = z(t)f~T1,2" 2//0,8-30,4-4-5036tРис. 4. Изменение продольной координаты частиц со временем0,340,320,30Рис. 5. Траектории движения частиц в плоскости (z, г)

Скачать электронную версию публикации