TRANSIENT CONJUGATE HEAT-GRAVITATIONAL CONVECTION IN A HORIZONTAL CYLINDER..pdf Термогравитационная конвекция является одним из определяющих механизмов переноса тепла во многих технических приложениях, например в радиоэлектронной аппаратуре и электронной технике, при выращивании объемных монокристаллов, в системах охлаждения высокоэнергетического оборудования, при стерилизации пищевых продуктов [1 - 4]. Воздействие окружающей среды в таких задачах с учетом теплопроводных стенок конечной толщины может приводить к существенным перераспределениям как температуры, так и скорости в рабочей зоне анализируемого объекта [5, 6]. Однако большая часть работ, посвященных исследованию естественной конвекции в сложных технических системах [1, 2, 7 - 10], либо не учитывает влияние внешней среды, либо это воздействие учитывается опосредованно - за счет задания постоянной температуры на границе. Так, например, в результате численного и экспериментального анализа свободно-конвективного теплопереноса от горизонтального цилиндра [2] были установлены масштабы увеличения среднего числа Нуссельта с ростом числа Рэлея, а также корреляционные соотношения для среднего числа Нуссельта в диапазоне 74 < Ra < 3400. Численный анализ естественно-конвективного теплопереноса от наклонного горячего цилиндра в замкнутой области с бесконечно тонкими холодными стенками проведен в [7]. Установлено, что при малых числах Рэлея наблюдаются изменения обобщенного коэффициента теплопередачи, а при дальнейшем росте Ra эти изменения исчезают. Численные и экспериментальные исследования естественной конвекции от горизонтального цилиндра [8], находящегося в прямоугольной полости, показали существенное воздействие числа Рэлея и геометрических параметров полости на режимы течения и теплопереноса. Влияние вертикальной стенки на условия конвективного теплопереноса от нагретого горизонтального цилиндра проанализировано в [9]. Установлено, что при определенных значениях числа Рэлея возможно формирование колебательных режимов переноса массы, импульса и энергии.1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 08-08-00402-а) и Президента Российской Федерации (МК-396.2010.8).Нестационарная сопряженная задача термогравитационной конвекции103Целью настоящей работы является математическое моделирование нестационарной сопряженной естественной конвекции в горизонтальном цилиндре с теплопроводной оболочкой конечной толщины при наличии тепловыделяющего ядра постоянной температуры в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой.Постановка задачиРассматривается краевая задача нестационарного конвективного теплоперено-са в зазоре между двумя горизонтальными коаксиальными цилиндрами, представленном на рис 1. Температура внутреннего цилиндра постоянна в течение всего процесса. Внешний цилиндр имеет теплопроводную оболочку конечной толщины. Считается, что в начальный момент времени несжимаемая жидкость, находящаяся между цилиндрами, и оболочка внешнего цилиндра имеют постоянную и одинаковую во всех точках температуру, причем жидкость неподвижна. На границе г = г3 осуществляется конвективный теплообмен с окружающей средой. Газ,занимающий внутреннюю полость, считается вязкой, ньютоновской, несжимаемой жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссинеска.* гВ такой постановке процесс переноса массы, импульса и энергии в анализируемой области решения (рис. 1) описывается системой нестационарных двумерных уравнений конвекции в приближении Буссинеска в газовой полости [11] в полярных координатах. Для анализа поля температуры в твердой оболочке внешнего цилиндра используется нестационарное двумерное уравнение теплопроводности [12].Рис. 1. Область решения: 1 -теплопроводная оболочка цилиндра, 2 - газовая полость, 3 - источник тепловыделенияЕсли пренебрегать вязкой диссипацией энергии, то уравнения неразрывности, движения и энергии в газовой полости для рассматриваемой задачи будут иметь видf(rPr) + -^ = 0;(1)dVr 3Vr V^± = а2у2т.(9)dtдг г ЭфгНестационарная сопряженная задача термогравитационной нонвенции105в твердой оболочке^- = щУ2т.(10)otДля обезразмеривания представленной системы дифференциальных уравнений (7) - (10) были выбраны следующие масштабы расстояния, времени,скорости, температуры, функции тока и завихренности г3, \/гз/яР(^ит ~^о) >^ИТш~то)гз , {Тш~то)> 4ё${Тш-тоУъ , VgP^^^h". Безразмерные переменные примут следующий вид:R = г/гъ, х = t^(Тш -Т0)/г3 ,® = (Т-Т0)/(Тш -Т0), и=УгЦё${Тш-Т0)гъ, V = vJjgp(Tm-T0)r3,ч = уЦе№ш-т0)г1 , п = пШиъ-ТоУз, v2 = r32v2,где г3 - размер области решения по оси г (рис. 1); Тш - температура внутреннего цилиндра; R, ф - безразмерные координаты, соответствующие координатам г, ср; U, V - безразмерные скорости, соответствующие скоростям Vr, К,; т - безразмерное время; © - безразмерная температура; *F - безразмерный аналог функции тока; Q - безразмерный аналог вектора вихря; V2 - безразмерный оператор Лапласа.Безразмерные уравнения Буссинеска в переменных «вихрь скорости - функция тока - температура» для рассматриваемой задачи:в газовой полости (2 на рис. 1):dQ. d(UQ) IdiVQ.) TTdV ГРг(~2„ Q 2 дПЛ д® .S©-+-^'-+^'-+U- = А- V2Q+-+-sincp-Д-cosm; (11)дх dR R 5фdR VRalR2 RdRJ SepdRV2xF = -;(12)Rзе + д(ие)+±дуе) + и®= i ^2@.дх dR R SepR л/Ra-Prв твердой оболочке внешнего цилиндра (i на рис. 1):- = -=k2=V2©.(14)дх VRa-PrЗдесь Ra = gfi(Tm -T0)r33/va2 - число Рэлея; Pr = v/a2 - число Прандтля;Ъ2 1 д („ д") 1 д2V =\ R- + -;~- безразмерный оператор Лапласа; al2 = aJa2 - отно-RdR{ dR) R2 дц>2'сительный коэффициент температуропроводности.Начальные и граничные условия для сформулированной задачи (11) - (14) имеют вид:Начальное условие:Т(Л,ф,0) = Q.(R,q>,0) = в(Д,ср,0) = 0, за исключением внутреннего цилиндра, на котором в течение всего процесса © = 1.106МЛ. ШереметГраничные условия: на границе R=\ моделировался конвективный теплообмен с внешней средой^ = Bi(0e-@);(15)на поверхности внутреннего цилиндра R = г\1г¥ = 0, = 0, 0=1;(16)6Rна границе раздела твердого материала и газаR = г21гъ:¥ = 0, = 0, ©,=©,, -L = X9,-2-;(17)dRdR 2Л dRна оси симметрии ф = -л/2, л/2 реализуются условия вида [13]:(00= Q = Ґ = 0.(18)ЗсрЗдесь Bi = ar3/Xi - число Био материала твердой оболочки; a - коэффициент теплообмена между внешней средой и рассматриваемой областью решения; 0е - безразмерная температура окружающей среды; l2,i = W^i _ относительный коэффициент теплопроводности; X, - коэффициент теплопроводности материала твердой оболочки; Х2 - коэффициент теплопроводности газа.Краевая задача (11)-(18) решена методом конечных разностей [13, 14] на равномерной сетке. Разработанный метод решения был протестирован на модельных задачах [14, 15].Результаты численного моделированияЧисленные исследования краевой задачи (11) - (18) проведены при следующих значениях безразмерных комплексов: 1040,20,40,6© ■0,4 -6 X0,2 -'--'F■/*" /о - -0,2--0,4 --0.6--=:^-1 1 1 *■-я/2я/4-я/4Рис. 3. Профили температуры при т = 300, "кг,\ = 5,7-10 : ср = я/2 (a); R = 0,6 (б)108МЛ. ШереметNu 16>12-4Н^Nu; А.2,1 = 5,7-Ю" Nu2 Я.2,1 = 5,7-10" Nu; Х2Д = 4,3-1(Г Ш2 Я,2д = 4,3-10":Проведен анализ влияния числа Рэлея и l2,i на среднее число Нуссель-та на границе раздела твердого материала и газа5© 1 2Ж

Скачать электронную версию публикации