On br-rings.pdf На протяжении статьи все группы будут предполагаться абелевыми, кольца -ассоциативными с единицей, модули - унитарными (и по умолчанию правыми).Будем приписывать кольцу свойства его аддитивной группы; например, фраза«кольцо S-периодическое» означает, что аддитивная группа S + указанного кольцаявляется периодической. Через Hom(G, H ) обозначаем группу всех аддитивныхгомоморфизмов из G в H, через End V - кольцо эндоморфизмов модуля V.Данная работа является продолжением статьи [1], в которой был рассмотренвопрос о том, когда идемпотентный радикал категории правых S-модулей mod-Sпорождён или копорождён некоторым классом S-S-бимодулей. Напомним [1, 2],что идемпотентные радикалы категории правых S-модулей находятся во взаимнооднозначном соответствии как с радикальными (замкнутыми относительно гомо-морфных образов, прямых сумм и расширений), так и с полупростыми (замкну-тыми относительно подмодулей, прямых произведений и расширений) классамиправых S-модулей.Пусть … - некоторый непустой класс правых S-модулей. Среди радикальных(полупростых) классов категории mod-S, содержащих в себе …, всегда найдётсянаименьший. Идемпотентный радикал, соответствующий такому наименьшемурадикальному (полупростому) классу, обозначим через H… (соответственно K…).Будем говорить, что идемпотентный радикал H… порождён, а K… копорождёнклассом …. Всякий идемпотентный радикал порождён и копорождён некоторымиподходящими (отличными друг от друга) классами модулей. Если … состоит изединственного модуля V, то пишем просто HV и KV .Приведём ряд условий, равносильность которых была установлена в [1].Теорема 1. Пусть S - кольцо. Следующие условия эквивалентны:1) Для всякого модуля VS существует S-S-бимодуль U, такой, что HU = HV .2) Для всякого модуля VS существует S-S-бимодуль U, такой, что KU = KV .3) Всякий идемпотентный радикал категории mod-S порождается некоторымклассом S-S-бимодулей.4) Всякий идемпотентный радикал категории mod-S копорождён некоторымклассом S-S-бимодулей.5) Для всякого модуля VS ƒ 0 выполнено Hom(S, End VS) ƒ 0.1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационнойРоссии на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.2 Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по кон-тракту № 02.740.11.0238.О br-кольцах 33Всякое кольцо, удовлетворяющее эквивалентным условиям теоремы 1, будемназывать правым br-кольцом (от слов «бимодуль» и «радикал»). Основная цельстатьи - исследование свойств таких колец. Помимо прочего, выделим достаточ-но широкие классы колец, которые являются правыми (а также левыми) br-коль-цами. Ясно, что к таковым относятся, в частности, все коммутативные кольца (по-скольку все модули над ними можно считать бимодулями). Отметим, что для всехрезультатов будут справедливы и «левые» аналоги.Через Z(S ), как обычно, обозначим центр кольца S. Чтобы узнать, является лито или иное кольцо S правым br-кольцом, в дальнейшем будем либо использоватьпредложение 2, либо проверять, что для всякого модуля VS ƒ 0 выполненоHom(S, End VS) ƒ 0. (1)Предложение 2. Если существует гомоморфизм ¹ ¶ Hom(S, Z(S )), такой, что1 ¶ ¹(S ), то S является правым br-кольцом.Доказательство. Пусть VS ƒ 0. Гомоморфизм групп ϕ: S ¨ End VS зададимформулой (ϕ(s))(v) = v¹(s). Образ этого гомоморфизма содержит тождественныйэндоморфизм 1V модуля VS . Поэтому ϕ ƒ 0, так что условие (1) выполнено. Теорема 3. Пусть ²: R ¨ S - сюръективный кольцевой гомоморфизм, и пустьVS ƒ 0 - модуль, для которого (1) не выполнено. Если справедливо условиеHom(Ker ², End VS) = 0, (2)то R не является правым br-кольцом.Доказательство. Обозначим  = End VS . Полагая vr = v²(r), наделяем VSструктурой правого R-модуля; при этом End VR = . Точная последовательность0 ¨ Hom(S, ) ¨ Hom(R, ) ¨ Hom(Ker ², ) (3)приводит к равенству Hom(R, ) = 0, т.е. R не является правым br-кольцом. Теорема 4. 1) Конечное прямое произведение правых br-колец само являетсяправым br-кольцом.2) Пусть n - натуральное число. Кольцо S является правым br-кольцом тогда итолько тогда, когда таковым является кольцо S n.Доказательство. 1) Достаточно проверить требуемое утверждение для произ-ведения двух колец. Пусть задано разложение R = S ⊕S ' кольца R в прямую суммудвух его идеалов, каждый из которых является правым br-кольцом. Если R не яв-ляется правым br-кольцом, то для некоторого UR ƒ 0 выполняется равенствоHom(R, End UR) = 0.Имеет место R-модульное разложение U = Ue ⊕Ue', где e и e' - единицы колецS и S ' ; можно считать, что выполнено V = Ue ƒ 0. Модуль VR , очевидно, являетсяправым S-модулем. Несложно видеть, что аддитивная группа кольца End VS изо-морфна прямому слагаемому группы (End UR)+. Тогда из Hom(R, End UR) = 0 по-лучаем, что для модуля VS условие (1) не выполнено - противоречие.2) Одна из импликаций очевидна в силу пункта 1). Предположим, что R = S n -правое br-кольцо; покажем, что тем же свойством обладает S.Допустим противное: пусть для некоторого VS ƒ 0 условие (1) не выполнено.Очевидно, что существует сюръективный гомоморфизм ²: S n ¨ S, ядро которогоесть прямая сумма копий S. Применяя теорему 3, получаем, что S n не являетсяправым br-кольцом - противоречие. Замечание. Пусть S не является правым br-кольцом (ряд таких примеров при-ведён в конце статьи). Из предложения 2 получаем, что Z  S (где Z - это кольцоцелых чисел) будет правым br-кольцом. Итак, ни факторкольцо, ни даже прямоеслагаемое правого br-кольца не обязано само быть таковым.34 Е.А. ТимошенкоТеорема 5. Свойство «быть правым br-кольцом» является инвариантным всмысле Мориты.Доказательство. Пусть кольца S и R эквивалентны в смысле Мориты и S -правое br-кольцо. Можем считать, что R = End PS , где P - это прообразующий ка-тегории mod-S. Убедимся сначала, что для всякой группы  из Hom(S, ) ƒ 0 сле-дует Hom(R, ) ƒ 0.Пусть существует ненулевой гомоморфизм ¹ ¶ Hom(S, ). Поскольку PS естьпрообразующий категории mod-S, получаем, что SS - гомоморфный образ прямойсуммы копий P. Тогда существует аддитивный гомоморфизм £: P ¨ S, такой, чтовыполняется ¹£ ƒ 0. Зафиксируем некоторый элемент p ¶ P, удовлетворяющийнеравенству (¹£)( p) ƒ 0. Для гомоморфизма ϕ ¶ Hom(R, ), заданного формулойϕ(r) = (¹£r)( p), имеем ϕ(1P) ƒ 0. Итак, Hom(R, ) ƒ 0.Далее, возьмём произвольный ненулевой модуль UR . Пусть h: mod-R ¨ mod-Sесть эквивалентность категорий, тогда End UR ≅ End VS , где V = h(U ) ƒ 0. В этомслучае из неравенства (1) следует Hom(R, End UR) ƒ 0. Таким образом, R являетсяправым br-кольцом. Периодическую часть и p-компоненту абелевой группы G будем обозначатьt(G) и Gp соответственно.Лемма 6. Если ненулевой модуль VS не удовлетворяет условию (1), то End VSесть кольцо без кручения.Доказательство. Обозначим  = End VS и предположим, что для некоторогопростого числа p выполнено p ƒ 0. Это означает, что в V есть элемент порядка p.Последнее возможно только при условии, что 1 ∉ pS. Тогда циклическая группаZ( p) порядка p служит гомоморфным образом группы S +, т.е. Hom(S, ) ƒ 0, чтодаёт нам противоречие. Теорема 7. Пусть R - непериодическое правое br-кольцо. Тогда факторкольцоS = R/t(R) также является правым br-кольцом.Доказательство. Пусть S не является правым br-кольцом, т.е. для некоторогоVS ƒ 0 условие (1) не выполнено. Из леммы 6 мы знаем, что End VS - кольцо безкручения. Это означает, что канонический гомоморфизм ²: R ¨ S удовлетворяетравенству (2). Тогда R не является правым br-кольцом - противоречие. Для доказательства последующих теорем нам понадобитсяЛемма 8. Пусть S - кольцо, а S/t(S ) - p-делимая группа. Тогда:1) Существует целое k … 0, такое, что для всякого VS выполнено pkVp = 0.2) Всякий модуль VS разлагается в сумму V = V ' ⊕Vp своих подмодулей, где V 'есть множество всех элементов из V, имеющих бесконечную p-высоту.Доказательство. 1) S/t(S ) и t(S )/Sp - это p-делимые группы; следовательно,тем же свойством обладает аддитивная группа факторкольца S/Sp . Отсюда имеем1 + Sp = p(s + Sp) для подходящего s ¶ S. Тогда элемент 1 - ps ¶ S имеет порядок pkдля некоторого целого k … 0 и, значит, элемент pk⋅1 имеет в кольце S бесконечнуюp-высоту. Это даёт нам требуемое утверждение.2) Vp есть ограниченная сервантная подгруппа группы V, поэтому существуетподгруппа V ' из V, такая, что V = V ' ⊕Vp . Факторгруппа V ' ≅ V/Vp естественнымобразом превращается в правый модуль над p-делимым кольцом S/Sp ; значит, всееё элементы имеют бесконечную p-высоту. И наоборот, все элементы модуля V,имеющие бесконечную p-высоту, должны лежать в V '. Получили, что V ' являетсяподмодулем в VS , а V = V ' ⊕Vp - модульное разложение.Утверждения леммы остаются справедливыми, если выполнено S = Sp : в этомслучае V ' = 0, а в качестве pk можно взять характеристику кольца S. О br-кольцах 35Через Q обозначаем поле всех рациональных чисел, через Q(p) - кольцо всехрациональных чисел, знаменателями которых служат степени простого числа p.Теорема 9. Если ранг без кручения кольца S не превышает 1, то S есть правоеbr-кольцо.Доказательство. Разберём сначала случай, когда S - периодическое кольцо.Тогда для всякого модуля VS ƒ 0 кольцо End VS будет периодическим, посколькуего характеристика есть делитель характеристики кольца S. Из леммы 6 можносделать вывод, что для всех VS ƒ 0 выполнено условие (1).Пусть теперь ранг без кручения группы S + в точности равен 1. Предположим,что для ненулевого модуля VS неравенство (1) не имеет места. Обозначим через Rто подкольцо поля Q, которое изоморфно факторкольцу S/t(S ). Если бы V можнобыло наделить некоторой R-модульной структурой, то аддитивная группа кольцаEnd VS обладала бы аналогичным свойством, т.е. мы получили бы противоречиес условием Hom(S, End VS) = 0. Следовательно, найдётся простое число p, такое,что pR = R, но V не является Q(p)-модулем.Применяя к кольцу S лемму 8, приходим к модульному прямому разложениюV = V ' ⊕ Vp , где V ' - ещё и модуль над Q(p). При этом выполнено Vp ƒ 0 (иначе Vможно было бы наделить структурой Q(p)-модуля). Из той же леммы следует, чтоp-компонента кольца End VS содержит ненулевые элементы (примером служитпроекция V ¨ Vp). Заметим, что 1 ∉ pS (иначе было бы Vp = 0), так что группа S +имеет Z( p) своим гомоморфным образом. Итак, вновь приходим к противоречиюс условием Hom(S, End VS) = 0. Получили, что S - правое br-кольцо. Лемма 10. Если аддитивная группа S + кольца S является непериодической иделимой, то S - правое br-кольцо.Доказательство. Из условия следует, что в Z(S ) есть подкольцо, изоморфноеполю Q; аддитивная группа этого подкольца выделяется прямым слагаемым в S +.Применяя предложение 2, получаем, что S - правое br-кольцо. Теорема 11. Пусть R - такое кольцо, что аддитивная группа кольца S = R/t(R)делима. Тогда R является правым br-кольцом.Доказательство. Пусть кольцо R не является периодическим (в противномслучае достаточно воспользоваться теоремой 9). Допустим, что для ненулевогомодуля VR выполнено Hom(R, End VR) = 0; обозначим  = End VR .Пусть p - простое число, для которого Vp ƒ 0. Из леммы 8 нам известно, чтоподмодуль Vp служит прямым слагаемым R-модуля V и является ограниченнойгруппой. В этом случае проекция V ¨ Vp представляет собой ненулевой элементидеала p , что противоречит лемме 6.Итак, V есть группа без кручения. Тогда VR легко превратить в S-модуль так,чтобы выполнялось  = End VS . Точная последовательность (3), построенная дляканонического гомоморфизма ²: R ¨ S, приводит нас к равенству Hom(S, ) = 0.Поэтому S не является правым br-кольцом, что противоречит лемме 10. Теоремадоказана. Кольцо R называют слабо ²-регулярным справа (слева), если для всякого r ¶ Rнайдётся натуральное k, такое, что rk ¶ rkRrkR (соответственно rk ¶ RrkRrk ).Следствие 12. Класс всех правых br-колец строго содержит в себе следующиеклассы колец: простые, регулярные, артиновы (справа или слева), совершенные(справа или слева), ²-регулярные, слабо ²-регулярные (справа или слева).Доказательство. Нам достаточно показать, что включение справедливо длясамых широких из названных классов, т.е. для слабо ²-регулярных колец. Пустькольцо R (учитывая теорему 9, мы можем считать его непериодическим) является36 Е.А. Тимошенкослабо ²-регулярным справа или слева. Для r = p ⋅1 получаем, что при некоторомнатуральном k выполнено pk⋅1 ¶ p2kR. Следовательно, единица кольца R/t(R) естьэлемент бесконечной p-высоты; тогда аддитивная группа этого кольца p-делима.Приведённое рассуждение справедливо для любого простого числа p; применяятеорему 11, получаем, что R является правым br-кольцом.Для завершения доказательства остаётся убедиться, что включение являетсястрогим: кольцо целых чисел Z служит примером правого br-кольца, которое небудет слабо ²-регулярным ни справа, ни слева. Оставшаяся часть статьи целиком посвящена построению ряда любопытныхпримеров (точнее сказать, контрпримеров), связанных с br-кольцами. Для этогонам будут полезны матричные кольца. Пусть A, B и C - множества; обозначим{ , , }0 0A B a b a A b B c CC c⎛ ⎞ = ⎛ ⎞ ¶ ¶ ¶ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠.Если A и C - кольца, а B - A-C-бимодуль, то указанное множество треуголь-ных матриц является кольцом относительно обычных матричных операций.Описание модулей над таким кольцом и гомоморфизмов этих модулей можнонайти в [3, 4]. Аналогичное описание легко получить для модулей над кольцамиматриц большего порядка. Чисто технические выкладки, связанные с модуляминад матричными кольцами и с эндоморфизмами таких модулей, зачастую будутопускаться.Условие (1) проще всего проверять для циклического модуля VS = S/I, где I ƒ Sесть некоторый правый идеал кольца S. Хорошо известно, что для такого модулякольцо End VS изоморфно факторкольцу JI /I, где JI = {s ¶ S | sI º I }.Пример 1. Пусть p и q - различные простые числа, и пусть Qp - кольцо всехрациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с p. Положим0pqS⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠Q QQ,00qqI⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠QQ,0p q qqL⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠Q Q QQ,тогда S - кольцо, I - его правый идеал и JI = L. В этом случае для циклическогоправого модуля V = S/I имеем End VS ≅ L /I ≅ Qp Qq , так что V не удовлетворяетусловию (1). Следовательно, S не является правым br-кольцом.Замечания. 1) Аддитивная группа данного кольца без кручения имеет ранг 3.Ясно, что все кольца без кручения ранга 1 и 2 будут правыми br-кольцами в силусвоей коммутативности.2) Отметим, что S служит подкольцом полного кольца матриц порядка 2 надполем Q. Из леммы 10 мы знаем, что это полное кольцо матриц является правымbr-кольцом. Итак, подкольцо правого br-кольца не обязано само быть таковым.Пример 2. Примитивное кольцо может не быть правым br-кольцом.Пусть обозначения S и V имеют тот же смысл, что и в примере 1. Определимкольцо R как множество всех бесконечных матриц вида00Maa⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝

Скачать электронную версию публикации