Mathematical model of shock wave propagation through porous media.pdf Пусть в начальный момент времени t = 0 бесконечная пластина из пористогоматериала, движущаяся со скоростью u0, сталкивается с абсолютно жесткой по-верхностью. Предполагается, что поры являются каналами, параллельными плос-кости столкновения, и расположены в виде рядов так,как показано на рис. 1. При дополнительном предполо-жении об одинаковом расстоянии между рядами пор иравенстве сечений каналов в качестве области решенияможно рассматривать прямоугольник (рис. 1), боковыестороны которого являются границами симметрии ре-шения. Деформируемая среда рассматривается в рамкахмодели сжимаемой упругопластической среды. Течениеэтой среды является двумерным и рассматривается в пе-ременных Лагранжа. Так как заложенная в модели сим-метрия существенно используется в алгоритме расчета,рассматриваются только волны, распространяющиеся внаправлении оси z.Поставленная задача с математической точки зренияописывается уравнениями, выражающими законы со-хранения, кинематические и физические соотношениядля сжимаемой упругопластической вязкой среды в пло-ской системе координат [1].Уравнение состояния использовалось в форме Грюнайзена( ) 0( ) T ,yV Ep p VV¥ ³= +где ³0 - начальная плотность; V = ³0/³ - удельный объем; py(V) - упругая состав-ляющая давления; ET - тепловая энергия единицы массы вещества; ¥(V) - коэф-фициент Грюнайзена.Зависимость py(V) вычислялась с помощью ударной адиабаты сплошной средыпо методу [2]. Однако в отличие от упомянутой работы в выражении для py(V)учитывалась начальная энергия среды E0. Для случая ударной адиабаты веществав форме01 1 k p pV= ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠.z…3…1 …2…4r…kРис.1 Область решенияМатематическая модель прохождения ударных волн через пористые среды 65Было получено и в дальнейшем использовалось выражение( )( ) ( ) [ ( )]( )( )( )10( 1) ( 1)01 1 1( ) 2 21 2 1 112 .1 2nynn n n p V p V Vn n nn V EVn− − ¥+− + − ¥+⎧⎛ ¥ ⎞ ⎡ ⎛ ¥ ⎞ ⎤ ⎪⎜ + ⎟ − ⎢ ⎜ + ⎟ ⎥ = ⎪⎝ ⎠ + ⎢ − ⎝ ⎠ ⎥ ¥ − ⎨⎪ − ¥ + ⎢ − ¥ − ¥ + ¥ + ⎥⎩⎪ ⎣⎢ ⎦⎥⎛ ¥ ⎞ ⎫ ⎜ + ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ¥ ⎪ − − ⎬ − ¥¥ + − ¥ ⎪⎪⎭Метод вычисления тепловой энергии ET: вся область пористого тела разбива-лась на подобласти Gk, каждая из которых содержала в центре схлопывающуюсяпору (рис. 2). При схлопывании симметричных пор средняяскорость среды не изменяется, поэтому работа сил давле-ния при затекании поры переходит во внутреннюю энер-гию. Предполагалось, что возникающая при схлопываниипоры внутренняя энергия равномерно распределяется почастицам области Gk, так что на каждую лагранжеву части-цу этой области приходится поток внутренней энергии,равный01 k k ,kp dVN dt−³где dVk /dt - скорость изменения объема поры с номером k,pk - среднее интегральное давление по границе областиGk, Nk - число лагранжевых частиц в области. При этомскорость dVk/dt находилась в результате расчетов переме-щения лагранжевых координат границ поры. Таким образом, в предложенной мо-дели фактически решалось следующее уравнение энергии:_0 0 0k ,rr rr zz zz rz rzk kdE P dV p dV VD D Ddt dt N dt⋅ ⋅ ⋅´ ´ ´= − − + ⎡ ⋅ § + ⋅ § + ⋅ § ⎤ ³ ³ ³ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ”в котором начало затекания каждой поры автоматически учитывалось при дости-жении на границе каждой поры условия текучести Мизиса [1].Начальное состояние материала пластины, которая двигалась со скоростью¶z = −u0, предполагалось невозмущенным. Поэтому при t = 0 в области, занятойматериалом, задавались равенства¶z = −u0, ¶r = 0, §ij = 0, ´ij = 0, D´ij = 0, ³ = 0, ³ = ³0.Поры в веществе полагались пустыми, поэтому в них задавалась ³ = 0.В силу периодичности постановки задачи в направлении оси r в качестве об-ласти решения рассматривался показанный на рис. 1 прямоугольник, ограничен-ный поверхностями …1, …2, …3, …4, …k. При этом поверхности …1, …2 являются по-верхностями симметрии, а поверхность …4 - свободна от напряжений. Граничны-ми условиями на поверхности контакта пластины с жесткой поверхностью …3 яв-ляются условия ¶z = 0 и ´zz = 0. На свободной поверхности …4 отсутствуют нор-мальное и касательное напряжения, что равносильно равенствам ´nn = 0 и ´sn = 0.GkРис. 2. Подобласть Gk66 А.Е. БаганинаРасчет в ячейках, граничащих с пустыми порами, проводится точно так же, как иво внутренних ячейках области. Поскольку в граничных ячейках пор все парамет-ры равны нулю, то на границах пор …k автоматически выполняются условия,справедливые для свободных поверхностей [1].Для решения поставленной задачи применялась разностная схема метода Уил-кинса. В начальный момент времени для аппроксимации в окрестностях пор при-менялись сетки с квадратными и восьмигранными порами рис. 3. При прохожде-нии ударной волны и затекании пор, разностная сетка в их окрестности приобре-тала вид, показанный на рис. 4. В процессе расчетов контролировалось расстояниемежду граничными узлами пор и их площадь. Как только эти величины станови-лись меньше наперед заданных малых значений, пора считалась закрытой, а сеткав ее окрестности перестраивалась в новую, близкую к прямоугольной (рис. 4).При перестроении сетки с учетом законов сохранения пересчитывались все пара-метры как в узлах, так и во внутренних ячейках.0.0660.0640.0620.060 0.002 0.0040.0780.0760.0740.0720 0.002 0.004 r, м r, мz, м z, мРис. 3. Участок сеткис восьмигранными порамиРис. 4. Участок расчетной сеткив момент затекания порыВ некоторых случаях для предотвращения нежелательных искажений ячеек впроцессе счета применялась в начальный момент времени неравномерная сетка,позволяющая уменьшить искажение ячеек в следующие моменты времени. Такаясетка показана на рис. 3. Однако в процессе расчетов во избежание дополнитель-ных ошибок интерполяции перестройка сетки проводилась только один раз в ок-рестности каждого схлопывающегося узла.Достоверность модели подтверждается сравнением ударных адиабат с экспе-риментальными данными, приведенными в [4]. На рис. 5 показана зависимостьдавления от плотности для свинца с пористостью § = 0.16, рассчитанная по приве-денной выше модели. Крестами отмечены экспериментальные точки. Пунктирнойлинией обозначена ударная адиабаты сплошного свинца.На рис. 6 приведены результаты расчета ударной адиабаты меди с пористо-стью § = 0.3 (сплошная кривая) и экспериментальные данные (кружки). Для срав-нения приведена также зависимость, рассчитанная по известной формулеЯ.Б. Зельдовича и Ю.П. Райзера [4] (штрихпунктир).Математическая модель прохождения ударных волн через пористые среды 6712 13 1401020308 9 10 11 ³, г/см30100200300³, г/см3Р, ГПа Р, ГПаРис. 5. Ударные адиабаты свинца: сплошнойлинией обозначены результаты расчета повышеуказанной модели; крестами - экспе-риментальные данные.Рис. 6. Ударные адиабаты меди: сплошнойлинией обозначены результаты расчета повышеуказанной модели; кружками - экспе-риментальные данные; штрихпунктирнойлинией - ударная адиабата Я.Б. Зельдовичаи Ю.П. Райзера [4]

Скачать электронную версию публикации