The mathematical model of transmission gear with eccentric-cycloid tooth system.pdf До настоящего времени расчет трансмиссионных систем проводился на базеинженерных формул, которые учитывали как геометрию зацепления, так и сило-вые и кинематические характеристики передачи. Для давно разработанных зацеп-лений эти формулы представляют собой сугубо эмпирические зависимости, по-скольку в них были внесены многочисленные уточнения из практики с цельюприменения этих зависимостей для оптимизации параметров зацепления. Методыкомпьютерного моделирования применялись лишь для визуализации предлагае-мых конструкций. Лишь в последнее время с появлением современных мощныхпакетов прикладных математических программ стало возможным математическоемоделирование систем передачи движения (СПД) в самом широком смысле.С другой стороны, развитие металлообработки привело к появлению четырехи пятикординатных станков с ЧПУ, обеспечивающих возможность создания СПДнового поколения с любой наперед заданной формой рабочей поверхности. Такимобразом, появилась возможность для конструирования принципиально новыхформ, обладающих уникальными свойствами. Однако динамическое взаимодей-ствие новых форм не укладывается в ранее разработанные инженерные теории.Все это привело к появлению новых универсальных математических моделей,опирающихся на базовые положения теоретической механики, аналитической идифференциальной геометрии.В 2007 г. группа томских конструкторов под руководством В.В. Становскогопредложила принципиально новую разработку зксцентриково-циклоидального(ЭЦ) зацепления. Ее большим достоинством является возможность получения водной ступени повышенного передаточного отношения.В настоящей работе проведено усовершенствование математической моделиредуктора с эксцентриково-циклоидальным зацеплением [1 - 3]. Проводится рас-чёт усилий с учётом силы трения, рассчитывается скоростное скольжение и опре-деляется КПД установки в усовершенствованном варианте силового расчета.1. Описание механизмаНа рис. 1 и 2 представлены сечения механизма, выполненные перпендикуляр-но осям вращения. В качестве профиля малого колеса используется эксцентричносмещённая окружность. Вращая эксцентрично смещённый центр вокруг непод-Математическая модель передаточного механизма 91вижной точки, а также саму окружность вокруг этого центр,а можно получить се-мейство окружностей, огибающей для которого будет эквидистанта эпитрохоиды.Эта огибающая и берётся в качестве профиля большого колеса. Если к малому ва-лу такого механизма приложить постоянный вращающий момент, то силовая на-грузка будет осуществляться только на половине оборота (рис. 1). На второй по-ловине силового контакта нет (рис. 2).МвхNОсь вращенияРис. 1. Плоское сечение рассматриваемого механизма в момент времени,когда осуществляется силовой контактNОсь вращенияМвхРис. 2. Плоское сечение рассматриваемого механизма в момент времени,когда силовой контакт не осуществляется92 Д.О. ДильЕсли работает механизм, состоящий из двух эксцентриков, один из которыхповернут на пол-оборота относительно другого, и двух, отвечающих этим эксцен-трикам эпитрохоид, то остаётся две точки, в которых нет передачи силового мо-мента. По этим причинам используется механизм, составленный из трёх деталей,смещённых на треть оборота. Полученные результаты можно легко обобщить набольшее число деталей и даже перейти к непрерывно закрученному по винту ме-ханизму.2. Математическая модель механизмаВозьмём неподвижную декартову систему координат. В ней параметрическизададим эквидистанту эпитрохоиды. Сначала определим параметрические урав-нения эпитрохоиды. Она образуется при качении подвижной окружности по не-подвижной. Совместим центр неподвижной окружности с началом координат. То-гда, согласно [1], с учётом вводимых обозначений уравнения растянутой эпицик-лоиды будут иметь следующий вид:x(t) e cos(t) h cos t , y(t) e sin(t) h sin t ,n n= − ⋅ + ⋅ ⎛ ⎞ = − ⋅ + ⋅ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠где t = 0…2ƒn - параметр, e - эксцентриситет e = a - b, a и b - радиусы большой ималой окружностей (с помощью которых образуется эпитрохоида) соответствен-но, h - межцентровое расстояние колес; (n - 1) - совпадает с числом циклов кри-вой.Для получения параметрических уравнений эквидистанты необходимо найтинормаль к эпитрохоиде в каждой её точке и перенести эту точку вдоль нормалина расстояние r, равное радиусу малой окружности.В итоге параметрические уравнения эквидистанты эпитрохоиды будут иметьследующий вид:X (t) = x(t) + r ⋅ nx1(t), Y(t) = y(t) + r ⋅ ny1(t),где nx1(t) , ny1(t) - координаты единичной нормали в точке эпитрохоиды, отве-чающей конкретному значению параметра t.Параметрическое задание эксцентрично смещённой окружности с центром вточке (h,0) будет иметь видxocr (t) = g(t) ⋅ cos(t) + h, yocr (t) = g(t) ⋅sin(t),где g(t) r2 e2 2 r e cos(t arcsin e sin(t) )r= + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⎛ ⋅ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠- расстояние от текущей точ-ки до эксцентрично смещённого центра.3. Моделирование усилий в точках контактаи определение потерь мощности на трениеВ рассматриваемой нами задаче к малому валу прикладывается постоянныйвращающий момент. Для расчёта контактного усилия - нормальной реакции вточке контакта - воспользуемся уравнением движения малого вала, предполагая,что движение равномерно. В этом случае сумма моментов всех сил относительнооси эксцентрика будет равна нулю. Предполагая, что в точке контакта осуществ-ляется небольшое проскальзывание (присутствует разница скоростей соприка-Математическая модель передаточного механизма 93сающихся точек эксцентрика и эпитрохоиды), модуль силы трения определим какпроизведение контактного усилия на коэффициент трения скольжения. Тогдаконтактное усилие можно моделировать по формуле( )21sin ( )( )( ) (sin ( ) sin ( ) cos ( ))вх ii ki i i iiMNfϕ=⋅ ¥ ϕϕ =³ ϕ ” ¥ ϕ + ⋅ ¥ ϕ ⋅ ¥ ϕ,где ¥i (ϕ) - угол между нормалью и радиус-вектором точки контакта ³i (ϕ) в сис-теме координат с центром, лежащим на оси эксцентрика, f - коэффициент тренияскольжения. Здесь ƒ - угол поворота сателлита (большого ведомого вала), а k(ƒ) -количество работающих элементов при текущем угле поворота ƒ. На рис. 3 пред-ставлена зависимость контактного усилия от угла поворота при входном моменте10 Н⋅м, найденная при двух различных значениях коэффициента трения.0,3 0,4 0,5 u, радf = 0,01f = 0,050255075100N1, НРис. 3. Зависимость контактного усилия N1от угла поворота сателлита uПрименяя к рассматриваемому механизму принцип Даламбера - Лагранжа,получим следующее выражение для определения выходного момента - Мвых :Мвх ⋅ƒ1 = Мвых ⋅ƒ2 −Qтр .Здесь ƒ1, ƒ2 - угловые скорости эксцентрика и сателлита соответственно. Приэтом ƒ1 = (n −1) ⋅ƒ2 , где (n - 1) - количество циклов эпитрохоиды; Qтр - потеривходной мощности на трение, определяемые следующим образом:( )тр1( ) ( ) ( )ki iiQ f N Vϕ=ϕ = ” ϕ ⋅† ϕ ,где †Vi (ϕ) - скоростное скольжение (разность скоростей соприкасающихся точекдеталей в проекции на касательное направление). На рис. 4 представлена динами-ка изменения скоростного скольжения с изменением угла поворота, по которомуможно судить о потерях на трение. Меняя входные параметры системы, можнооптимизировать их по потерям входной мощности на трение.94 Д.О. Диль0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 u, рад123456†V, м/сРис. 4. Зависимость скоростного проскальзывания †Vот угла поворота сателлита uДля определения мгновенных значений КПД используем следующую формулу:вх 1вх 1ƒƒМ QтрМ⋅ −© =⋅.На рис. 5 представлена динамика изменения мгновенных значений КПД с из-менением угла поворота при разных значениях коэффициента трения, исходя изкоторого становится очевидной важность учёта трения.f = 0,01f = 0,050 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 u, рад0,250,50,75©Рис. 5. Зависимость КПД от угла поворота сателлита uЗаключениеПостроена кинематическая схема механизма с эксцентриково-циклоидальнымзацеплением. Построена модель для расчёта контактных усилий с учётом силытрения и сделаны выводы о важности учёта трения при практических расчётах.

Скачать электронную версию публикации