The extreme function of a linear functional in the weighted Sobolev space.pdf Вопросы, рассматриваемые в данной работе, возникают из задач теории куба-тур о построении априорных оценок на классах функций погрешностей формулчисленного интегрирования функций нескольких переменных. Использование ап-парата функционального анализа для построения таких оценок начато С.Л. Собо-левым [1]. Согласно этому подходу, кубатурная сумма, приближающая данныйинтеграл, рассматривается как линейная комбинация дельта-функций. В прибли-жаемом интеграле обобщенной функцией выступает индикатор области интегри-рования. Погрешность кубатурной формулы представляет собой разность этихдвух линейных функционалов. Константой, оценивающей погрешность, выступа-ет произведение норм функционала в сопряженном и функции в основномпространствах. Поскольку норма функции предполагается заданной, основноевнимание уделяется выражению нормы функционала.Первым функциональным пространством, для которого была решена такая за-дача, было L2(m) с ограничением 2m > n. Ограничение обеспечивает непрерыв-ность основных функций, что необходимо для существования дельта-функцийнад ними. Благодаря показателю суммируемости p = 2 это пространство являетсягильбертовым, и задача нахождения нормы функционала здесь сводится к реше-нию линейного дифференциального уравнения в частных производных с посто-янными коэффициентами. На этом этапе возникает объект, называемый экстре-мальной функцией данного функционала и являющийся, по сути, точкой единич-ной сферы равномерно выпуклого пространства, на котором функционал достига-ет своей нормы. С точки зрения приближения это самая «плохая» функция класса,поскольку кубатурная формула дает на ней наибольшую погрешность. Эта функ-ция является решением указанного уравнения, и через нее можно выразить нормуфункционала.В данной работе рассматривается весовое пространство Соболева с произ-вольным показателем суммируемости 1 < p < , и уравнение, решением которогоявляется экстремальная функция, становится в общем случае нелинейным. По-этому построение экстремальной функции производится без решения этого урав-нения, на основе интегрального представления функционала и условии достижи-мости функционалом своей нормы.1. Исходные положенияПространством основных функций в работе выступает весовое пространствоСоболева Wp(m) (Rn, ƒ). Весом является положительная на Rn функцияƒ(x) = ƒ(x1, …, xn), имеющая обобщенные частные производные Dƒƒ(x) до поряд-ка m включительно, такая, что произведения ƒ1/p(x) |Dƒϕ(x)| суммируемы в p-йстепени, 1 < p < . Здесь ϕ(x) - функция из основного пространства Wp(m) (Rn, ƒ),ƒ = (ƒ1, …, ƒn) - мультииндекс, |ƒ| = ƒ1 + … + ƒn. Условие pm > n обеспечиваетнепрерывность основных функций. Норма в пространстве Wp(m) (Rn, ƒ) определя-ется выражением( ) ( ) ( )1/( )| |, | |! .!nppmp nmW xDƒ x dxƒ ≤ϕ ƒ =⎛⎜ ƒ ƒ ϕ ⎞⎟⎜⎝ ƒ ⎟⎠ ƒRR (1)Функционал l над пространством основных функций является линейным фи-нитным с ограниченным носителем supp(l)  ƒ, где ƒ - ограниченная в Rn об-ласть.Определение (С.Л. Соболев). Экстремальной функцией данного функционаланазывается функция, для которой выполнено равенствоl,ƒl =lB* ƒlB,где B - банахово пространство основных функций и B* - сопряженное ему про-странство обобщенных функций [1].В качестве основного принято рассматривать пространство финитных беско-нечно дифференцируемых функций D(Rn) и пространство обобщенных функцийнад ним D*(Rn). Пространство Wp(m) (Rn, ƒ) - замыкание D (Rn) по норме (1), и дляэтих пространств выполнено включение D  Wp(m). Для пространств обобщенныхфункций над ними справедливо обратное включение Wp(m)*  D*, поэтому утвер-ждения, доказанные для элементов из D*, будут верными и для элементов изWp(m)*. Множество функционалов погрешности кубатурных формул является под-множеством всех линейных функционалов над весовым пространством Соболева,следовательно, доказанные здесь утверждения будут верны и для них.2. Фундаментальные решения эллиптических операторовПриведенные в этом пункте утверждения предваряют доказательство теоремыо представлении функционала в весовом пространстве Соболева.Рассмотрим два эллиптических оператора( ) ( ) ! ( )! !01 1mm m kkk m kk−=− ƒ = ƒ − ƒ; (2)!( ) 2 ( )!01 1mk km kD ƒ ƒ ƒƒƒ ≤ =ƒ − =ƒ− ƒ, (3)которые совпадают при m = 1. При m > 1 фундаментальное решение E(|x|) опера-тора (3) в явном виде не построено. Тем не менее, можно получить оценки егопроизводных в окрестности начала координат и на бесконечности, используяоценки производных фундаментального решения G2m(|x|) оператора (2), сведенияо котором приведены в [2]:2 1222 1, 1, , , ;1 ln , 1, 2 0, 2 , ;, 1, 2 0, 2 1,или 2 0;1, 1, 2 0.xn mn mexmxx nmx x n m kkD G C x n m k kn mx n m−− +− +ƒƒ⎧ >  ƒ⎪⎪≤ ⎪⎨ − ⎪⎩ < − +ƒ n, 1/p +1/q = 1, 1 < p < .Доказательство. Для доказательства требуется установить суммируемость встепени q частных производных всех порядков |ƒ| ≤ m функции G2m(|x|). На осно-вании приведенных оценок все частные производные убывают на бесконечностипо экспоненциальному типу, и несобственные интегралы вне единичного шара откаждой из производных сходятся. Несобственный интеграл от первой из функций,оценивающих производные внутри единичного шара, сходится, а интеграл отединицы является собственным. Интеграл от второй функции, оценивающей про-изводные DƒG2m(|x|), возведенной в степень q, сходится при условииp(2m − |ƒ|) > n. Таким образом, производные наивысшего порядка оцениваютсясходящимся несобственным интегралом при pm > n.Лемма 2. Функция ( ) ( ) 2201mmxxx ƒƒ =+ƒ =ƒ, x  Rn , является мультипликаторомв Lp при 1 < p < .Доказательство. Функция n действительных переменных ƒ(|x|) является отно-шением полиномов равных степеней. Знаменатель ее не имеет действительных кор-ней, и потому ƒ(|x|) непрерывна на Rn. Так как lim ( ) 1xxƒ = , то ƒ(|x|) ограничена.Производные Dkƒ(|x|), где k = (k1, …, kn), (kj = 0, 1; j = 1, …, n) также непрерыв-ны и lim k k ( )x kxD x aƒ = , где ak - отношение коэффициентов при старших степе-нях числителя и знаменателя, откуда следует ограниченность произведения,стоящего под знаком предела.Таким образом, функция ƒ(|x|) удовлетворяет требованиям критерия, сформу-лированного в [2], и является мультипликатором, что доказывает утверждениелеммы.Лемма 3. Фундаментальное решение E(|x|) оператора (3) принадлежит про-странству Wq(m) (Rn, ƒ-1/(p-1)) при pm > n, 1/p +1/q = 1, 1 < p < .Доказательство. Функции E(|x|) и G2m(|x|) связаны выражением( ) 1 120 01 1( 1) 2m mk k kk kE x F FF z− −= == ⎡⎢⎢⎢⎣ ⎣⎡⎢ − ƒ ⎦⎤⎥⎦⎥⎤⎥⎥= ⎡⎢⎢⎢⎣ ƒ ⎤⎥⎥⎥⎦ =ƒ ƒ= ⎢⎢⎡ + ƒ ⋅ ⎥⎥⎤= ƒ ƒ⎢ ƒ + ƒ ⎥⎢⎣ ⎥⎦ƒ. (4)Здесь и далее F и F-1 - прямое и обратное преобразования Фурье. Согласно свой-ствам мультипликатора ƒ(|x|) [2],( ) 1 [ ] ( )E x =F− ƒ ∗G2m x ,и по правилу дифференцирования свертки при всех |ƒ| ≤ m( ) 1 [ ] ( )DƒE x =F− ƒ ∗DƒG2m x. (5)По определению [2] для мультипликатора ƒ(|x|) и любой функции f  Lq(Rn),1/p +1/q = 1, 1 < p < , выполняется неравенство1[ [ ]] ( ) ( )F− ƒF f LqRn ≤C fLqRn. (6)Это неравенство будет справедливым и для весовых норм. Следовательно, на ос-новании (4) - (6) при всех |ƒ| ≤ m справедлива оценка производных функции E(|x|)1 11 1,p 2 ,pD E Lq n − C D GmLq n − ƒ ⎛⎜ ƒ− ⎞⎟ ≤ ƒ ⎛⎜ ƒ− ⎞⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠R R ,что доказывает утверждение леммы.3. Представление функционалаТеорема 1. Для любого линейного финитного функционала l  Wp(m)* (Rn, ƒ),supp(l)  ƒ, при условии pm > n, 1/p +1/q = 1, 1 < p < , существует единственнаяфункция u  Wq(m) (Rn, ƒ-1/(p-1)), реализующая его представление в виде!! ,n ml Du D dx ƒ ƒ ƒƒƒ ≤ϕ =  ƒ ϕR. (7)Доказательство. Интегрирование по частям в (7) приводит к тому, что функ-ция u должна удовлетворять уравнению!( ) 2! 1 , ,mD u l ƒ ƒ ƒƒƒ ≤ƒ − ϕ = ϕ .Известно [3], что функция, удовлетворяющая уравнению с постоянными ко-эффициентами, равна свертке u = E∗l правой части с фундаментальным решениемуравнения. Эта функция единственна, так как свертка D* существует. Покажемдалее, что u принадлежит также и пространству Wq(m) (Rn, ƒ-1/(p-1)), иными слова-ми, является регулярной обобщенной функцией.Применение неравенства Гельдера к (7) приводит к необходимости существо-вания нормы функции u в пространстве Wq(m) (Rn, ƒ-1/(p-1))1 11! 1 !! ! ,q ppn nq pm ml −Du dx D dx ƒ − ƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ≤ ƒ ≤⎛ ⎞⎛ ⎞ϕ =⎜ ƒ ⎟⎜ ƒ ϕ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ƒ  ƒR R. (8)Рассмотрим пространство Wq(m) (Rn, ƒ-1/(p-1)) как основное и норму функции u вu W − D u L − − ƒ ƒ −ƒƒ ≤⎛⎜⎝ ƒ ⎞⎟⎠ =⎛⎜⎜⎝ ⎛⎜⎝ ƒ ⎞⎟⎠ ⎞⎟⎟⎠R ƒ R .Тогда на основании ограниченности всякого линейного функционала в Lq [4] име-ем для всех |ƒ| ≤ m1 1 1, p1 p1 p 1n nq q q qD u Lq n − − D E l dx M − D E dx ƒ − − ƒ − ƒƒ⎜⎛ ƒ ⎟⎞ = ƒ ∗ ≤ ƒ⎝ ⎠  R RR .На основании леммы 3 интеграл, стоящий в правой части неравенства, сходится,если pm > n. Отсюда следует принадлежность функции u пространствуWq(m) (Rn, ƒ-1/(p-1)).Теорема доказана.4. Неравенства Гельдера в различных пространствахВ дальнейшем нам потребуется неравенство Гельдера для интегралов в сле-дующей форме. Если f(x)  Lp (Rn), g(x)  Lq (Rn), 1/p + 1/q = 1, 1 < p < ,( ) ( ) 1/ 1/( ) | ( )| , ( ) | ( )| ,| ( )| | ( )|n np p q qx f x x g xf x dx g x dxƒ = ƒ = R Rгде знаменателями дробей выступают нормы заданных функций и||ƒ(x) |Lp (Rn)|| = 1, ||ƒ(x) |Lq (Rn)|| = 1, то выполняется неравенство( ) ( ) 1,n ƒxƒxdx≤R(9)которое превращается в равенство, если ƒp(x) = ƒq(x).Лемма 4. Если f  Lp (Rn,ƒ), g  Lq (Rn, ƒ-1/(p-1)), 1/p + 1/q = 1, 1 < p < , то су-ществуют такие функции ƒƒ и ƒƒ, что ||ƒƒ |Lp (Rn)|| = 1, ||ƒƒ |Lq (Rn)|| = 1 и выполня-ется неравенство1n ƒƒƒƒdx ≤R, (10)которое становится равенством при ƒƒp = ƒƒq.Доказательство. Из условия следует, что ƒ1/pf  Lp (Rn), ƒ-1/pg  Lq (Rn). То-гда согласно вышесказанному существуют функции1/1/ 1/1/| | | |( ) ( , )pp ppp n p nf ff L f L ƒƒƒ = = ƒ = ƒ ƒƒ R R ƒ;( )1/1/ 1/1/ 1/( 1)| | | |( ) ,pp pp pp n q ng gg L g L−− −− − − ƒƒƒ = = ƒ = ƒ ƒƒ R Rƒ,принадлежащие как невесовым ƒ  Lp (Rn), ƒ  Lq (Rn), так и весовымƒƒ  Lp (Rn, ƒ), ƒƒ  Lq (Rn, ƒ-1/(p-1)) пространствам. Отсюда следует, что еслиЛемма 5. Если f  Wp(m) (Rn, ƒ), g  Wq(m) (Rn, ƒ-1/(p-1)), 1/p + 1/q = 1, 1 < p < ,то существуют такие функции ƒƒ,m и ƒƒ,m, что ||ƒƒ,m |Lp (Rn)|| = 1, ||ƒƒ,m |Lq (Rn)|| = 1и выполняется неравенство, , 1n ƒƒmƒƒmdx ≤R, (11)которое становится равенством при ƒƒ,mp = ƒƒ,mq.Доказательство. Норма функции (1) в весовом пространстве Соболева можетбыть представлена в виде( ) ( )1/( )| |, | |! , .!pm pp n p nmf W Dƒ f Lƒ ≤⎛ ƒ ⎞ƒ =⎜⎜⎝ ƒ ƒ ⎟⎟⎠R ƒ RИз условия следует, что Dƒf  Lp (Rn, ƒ), Dƒg  Lq (Rn, ƒ-1/(p-1)) при всех |ƒ| ≤ m.Тогда по лемме 4 существуют функции, , 1/( 1)| | ; | |( , ) ( , p )p n p nD f D gD f L D g Lƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ − − ƒ = ƒ =Rƒ Rƒ.Для этих функций при любом |ƒ| ≤ m выполняется неравенство (10), из которогоследует( , ) ( , 1/( 1))np DƒfDƒgdx≤ Dƒf Lp n ƒ Dƒg Lp n ƒ− −RR R .Суммирование по всем |ƒ| ≤ m дает| || |!!n mDƒfDƒgdxƒ ≤ƒ≤ƒ  ƒR1/( 1)| || |! ( , ) ( , )!pp n p nmDƒf L Dƒg L − −ƒ ≤ƒ≤ ƒ ƒƒ ƒ R R . (12)После применения неравенства Гельдера для сумм к левой части (12) имеем1/ 1/| | | || |! | |!! !n np qp qm mDƒf dx Dƒg dxƒ ≤ ƒ ≤⎛⎜ ƒ ⎞⎟ ⎛⎜ ƒ ⎞⎟ ≤⎜⎝ ƒ ⎟⎠ ⎜⎝ ƒ ⎟⎠ ƒ  ƒR R(m)( ,) (m)( , 1/(p 1)) .≤ f Wp Rnƒ gWq Rnƒ− −Применение неравенства Гельдера для сумм к правой части (12) дает такую жеоценку. Поэтому искомые функции имеют вид( )1/ 1/,, ( )! !( , )! !;, ! ( , )!p p pp nm mm m pp n p nmD f D f Lf W D f Lƒ ƒƒ ƒƒ ≤ ƒ ≤ƒƒƒ ≤ƒ =⎛⎜⎜⎝ ƒƒ ƒ⎞⎟⎟⎠ =⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜ ƒƒƒƒƒ ƒƒ⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟ƒ ƒƒRR R111 1 1 11/ 1/,,( )! !( , )! !., ! ( , )!pp pq qqq nm mm m qq n q nmD g D g Lg W D f L−− −ƒ ƒ −ƒ ƒƒ ≤ ƒ ≤ƒ − ƒ −ƒ ≤⎛ ƒ ⎞ ⎛ ƒ ⎞ƒ = ⎝⎜⎜ ƒ⎛⎜⎝ ƒ ⎠⎟⎟ ⎞⎟⎠ =⎜⎜⎜⎝⎜⎜ ƒƒƒƒ ƒƒ ⎟⎟⎟⎠⎟⎟ƒ ƒƒRR RПроверка справедливости равенства и неравенства выполняется непосредствен-ной подстановкой найденных функций в (11).Лемма доказана.5. Экстремальная функция линейного функционалаТеорема 2. Для всякого линейного финитного функционала l  Wp(m)* (Rn, ƒ),supp(l)  ƒ, при условии pm > n, 1/p + 1/q = 1, 1 < p < , существует экстремаль-ная функция ƒl  Wp(m) (Rn, ƒ), которая имеет вид( ) ( ) 1/( 1) !sgn .!plmD E l D E lD Eƒ − ƒƒƒ ≤ƒ = ƒ ∗⎛⎜ ∗ ⎛⎜ ∗ ⎞⎟⎞⎟ƒ ⎝ ƒ ⎝ ƒ ⎠ ⎠ ƒДоказательство. Интегральное представление функционала (7) в весовомпространстве оценивалось неравенством Гельдера (8).Согласно лемме 5, можно ввести функции( )( )( )1/ 1/, ( ) , ( ) 1/( 1)! !! !; ,, ,pp qqm mm m m m pp n q nD DE lW E lWƒ ƒƒ ≤ ƒ ≤ƒ ƒ − −ƒ =⎛⎜⎝ ƒƒ ϕ⎞⎟⎠ ƒ = ⎛⎜⎝ ƒƒ ∗ ⎞⎟⎠ϕ ƒ ∗ ƒƒ ƒR Rтогда неравенство Гельдера становится равенством при выполнении условий( )( )( ) ( )( 1/( 1))! !! !., ,p qm mm p m p qp n q nD DE lW E lWƒ ƒƒ ≤ ƒ ≤− −ƒ ƒϕ ∗ƒ ƒ=ϕ ƒ ∗ ƒƒ ƒR RДля установления условий равенства знаменателей! !1/( 1) ( )! !n np p qm mDƒ dx − − Dƒ E l dxƒ ≤ ƒ ≤ƒ ƒƒ ϕ = ƒ ∗ƒ ƒ ƒ ƒR Rбудем рассматривать нормы функций в основных пространствах как нелинейныефункционалы, заданные на этих пространствах:( ) (m)( , ) , ( ) (m)( , 1/(p 1)).F f = f WpRnƒ G g = gWq Rnƒ− −Тогда после цепочки преобразований получим следующее:( ( )) ( )( , ) p m pFϕ = ϕWp Rnƒ =( ( )) ( )( , 1/( 1))q m p q= G E∗l = E∗lWq Rnƒ− − =! 1/( 1) ( )!np qm− − Dƒ E l dxƒ ≤ƒ= ƒ ∗ =ƒ  ƒR( )1 1 11 1 !!npp pmD E l dx− + −− ƒ −ƒ ≤ƒ= ƒ ∗ =ƒ  ƒR1 ( ) 1 !!np pp pmD E l dx−− ƒ −ƒ ≤ƒ= ƒƒ ∗ =ƒ  ƒR= ƒƒ ∗ =ƒ  ƒR( )1! 1!nppmD E ldxƒ −ƒ ≤⎛ ⎞= ƒƒƒ⎜⎜⎜ ƒ∗ ⎟⎟⎟ =⎝ ⎠ ƒR( ) ( ) 1/( 1) !sgn!np pmD E l D E ldxƒ − ƒƒ ≤= ƒƒ ƒ⎛⎜⎝⎜ ƒ∗ ⎛⎜⎜⎝ ƒ∗ ⎞⎟⎟⎠⎞⎟⎠⎟ = ƒR( ) ( ) 1/( 1) !sgn!np pmD E l D E ldxƒ − ƒƒ ≤= ƒƒ ƒ⎜⎝⎜⎛ ƒ∗ ⎜⎜⎝⎛ ƒ∗ ⎟⎟⎠⎞⎟⎠⎟⎞ =ƒ R( ) ( ) ( )1/( 1)! 1/sgn .!p ppp nmD E l D E lLƒ − ƒƒ ≤ƒ ∗ ⎛ ∗ ⎞= ƒ ƒ ƒ ⎜⎜⎝ ƒ ⎟⎟⎠ƒ RПредположим существование такой функции, что( ) ( ) 1/( 1)sgn , .p D E l D E lD mƒ − ƒƒ ∗ ⎛ ∗ ⎞ϕ = ƒ ⎜⎜⎝ ƒ ⎟⎟⎠ ƒ ≤Тогда последней записью в предыдущей выкладке будет норма такой функции впространстве Wp(m) (Rn, ƒ).Покажем, что для непрерывного ограниченного функционала существуетфункция, для которой выполняются последние соотношения при всех значенияхмультииндекса.Пусть ϕk - последовательность функций из пространства Wp(m) (Rn, ƒ), сходя-щаяся по норме к функции ϕ, т.е. || ϕk - ϕ ||  0, k  . Тогда из неравенстваМинковского в аксиомах нормы следует| f(ϕk) - f(ϕ) | = | || ϕk || - || ϕ || | ≤ || ϕk - ϕ ||  0, k  ,что означает непрерывность функционала. Его ограниченность следует из конеч-ности нормы. Из сказанного видно, что равенство функционалов равносильно ра-венству функций, на которых они определены.Далее установим вид функции, поскольку на текущий момент имеем лишьсистему дифференциальных уравнений с частными производными, но не самуфункцию ϕ. Это можно выполнить при помощи известной схемы построения ин-тегрального 265>представления функции через свертку с дельтаТаким образом, на функции ϕ достигается равенство в оценочном неравенстве, иполученная функция является для данного функционала экстремальной, т.е.ƒl = ϕ.Теорема доказана.Теорема 3. Экстремальная функция ƒl  Wp(m) (Rn, ƒ) линейного финитногофункционала l  Wp(m)* (Rn, ƒ), supp(l)  ƒ, при условии pm > n, 1/p + 1/q = 1,1 < p < , единственна.Доказательство. Пусть l - данный фиксированный функционал, ƒl - его экс-тремальная функция, s - произвольный функционал из того же пространства, чтои l. Произвольный функционал s на произвольной функции f из основного про-странства удовлетворяет неравенству, (m)*( ,) (m)( , ) .s f ≤ sWp Rnƒ f Wp RnƒНеравенство справедливо, если в качестве основной выступает экстремальнаяфункция другого функционала, в том числе и l:, (m)*( ,) (m)( , ) .sƒl ≤sWp Rn ƒ ƒlWp Rn ƒЕсли функционал нормировать, то правая часть не будет зависеть от s:( )( )( )( )* , , .,mm l l p np ns Ws Wƒ ≤ ƒ ƒƒRRЗаметим, что при s = l неравенство становится равенством( )( )( )( )* , , .,mm l l p np nl Wl Wƒ = ƒ ƒƒRRДалее, верным будет неравенство( ) ( )( )( )( )* ( )*,, sup , ., ,l mm l m lp np n s p ns s Ws W s Wƒƒ ≤ ≤ ƒ ƒƒ ƒRR RНо также и( )*( ) ( )*( ) , , ,, , m l m lp n p nl sl W sWƒ ≥ ƒRƒ Rƒ( )*( ) ( )*( ),, sup ., ,lm l mp n s p nl sl W sWƒƒ ≥Rƒ RƒПо определению норма экстремальной функции равна( )( )( )( )*0,, sup .,m ll p n ms p nsW s Wƒƒ ƒ =ƒRRОтсюда( )( )( )( )* , , .,mm l l p np nl Wl Wƒ ≥ ƒ ƒƒRRСледовательно,( )( )( )( )* , , ,,mm l l p np nl Wl Wƒ = ƒ ƒƒRRи экстремальная функция ƒl является единственной.Теорема доказана.Далее покажем, как экстремальная функция используется для построения нор-мы функционала и чему равна норма самой экстремальной функции.Произвольный функционал s на экстремальной функции функционала l равен( ) ( ) 1/( 1) !, sgn!nplmD E l D E ls s DE dxƒ − ƒƒƒ ≤ƒ = ƒƒ ∗⎜⎜⎝⎛ ƒ∗ ⎛⎜⎜⎝ ƒ∗ ⎞⎟⎟⎠⎟⎟⎠⎞ = ƒR( ) ( ) ( ) 1/( 1) !sgn .!npmD E l D E lD E s dxƒ − ƒƒƒ ≤= ƒƒ ∗ ⎜⎜⎝⎛ ƒ∗ ⎛⎜⎜⎝ ƒ∗ ⎞⎟⎟⎠⎟⎟⎠⎞ ƒRПосле применения неравенства Гельдера( )1/! 1/( 1),!nqp qlms − −Dƒ E s dxƒ ≤ƒ ≤⎛⎜ ƒ ƒ ∗ ⎞⎟ ⎜⎝ ƒ ⎟⎠ ƒR( ) ( )1/1/( 1) !sgn .!np p pmD E l D E ldxƒ − ƒƒ ≤⎜⎜⎝⎛⎜ ƒƒ ƒ ƒ∗ ⎜⎜⎝⎛ ƒ∗ ⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟⎠⎞⎟ ƒRРавенство достигается, когда функционал l воздействует на свою экстремальнуюфункцию:( )1/! 1/( 1),!nqp qlml − −Dƒ E l dxƒ ≤ƒ =⎛⎜ ƒ ƒ ∗ ⎞⎟ ⋅⎜⎝ ƒ ⎟⎠ ƒR( )/( 1) 1/ !,!np p pmD E ldxƒ −ƒ ≤⋅⎜⎛ ƒ ƒ ∗ ⎟⎞⎜⎝ ƒ ƒ ⎟⎠ ƒRотсюда( ) ( )1/( )* ! 1/( 1), ,!nqm p qp nml W − − Dƒ E l dxƒ ≤ƒ =⎛⎜ ƒ ƒ ∗ ⎞⎟⎜⎝ ƒ ⎟⎠ ƒRR( ) ( )1/( ) ! 1/( 1),!npm p ql p nmW − −Dƒ E l dxƒ ≤ƒ ƒ =⎛⎜ ƒ ƒ ∗ ⎞⎟⎜⎝ ƒ ⎟⎠ ƒRRили( ) ( )1/( )* !, ,!nq qmp nmD E ll W dxƒƒ ≤ƒ =⎛⎜ ƒ ƒ ∗ ⎞⎟⎜⎝ ƒ ƒ ⎟⎠ ƒRRƒ ƒ =⎛⎜ ƒ ƒ ∗ ⎞⎟⎜⎝ ƒ ƒ ⎟⎠ ƒRRВ заключение отметим, что нормы функционала и его экстремальной функции,находясь в произведении, оценивают функционал на любой функции из основно-го пространства, иными словами, обеспечивают оценку функционала на рассмат-риваемом классе функций. Произведение этих норм равно функционалу на своейэкстремальной функции и представляет, таким образом, константу, оценивающуюданный функционал на классе функций:! ( ) ( )( ), , , , .!nqml p nmD E ll f l dx f Wƒƒ ≤ƒ ∗≤ ƒ = ƒ  ƒƒ ƒ  ƒRRВ литературных источниках подобные выражения носят название «явного ви-да». Под этим подразумевается, что если известно выражение функционала и выра-жение фундаментального решения, то имеется возможность либо аналитически, ли-бо численно получить данную оценку в виде числа. Для функционала, представ-ляющего погрешность некоторого численного метода, такая константа указываеткак на конечность погрешности в теоретических выводах, так и на границы абсо-лютной погрешности этого метода в случае возможности численной реализации.

Скачать электронную версию публикации