Algebraic structures on the space of continuous maps.pdf Пусть X и Y - тихоновские топологические пространства. На множестве C(X,Y)всех непрерывных функций рассмотрим множественно-открытую и слабо множе-ственно-открытую топологию. Если на топологическом пространстве Y задана не-которая алгебраическая структура, например Y - топологическая группа или то-пологическое векторное пространство (ТВП), то на множестве С(X,Y) можно оп-ределить (поточечные) операции, которые определены на Y.Основной вопрос исследования: при каких условиях на семейство ƒ простран-ство Сƒ(X,Y) будет паратопологической группой (топологической группой, ТВП),если пространство Y метризуемое ТВП?Напомним определение множественно-открытой и слабо множественно-открытой топологии на множестве C(X,Y). Пусть ƒ - семейство непустых под-множеств пространства X. Множественно-открытая (слабо множественно-открытая) топология на множестве C(X,Y) определяется предбазой, состоящей извсех множеств вида[F,U]={f C(X,Y): f(F)U}([F,U]*={f C(X,Y): f(F)U}),где Fƒ и U - открытое множество пространства Y. Множество C(X,Y), наделен-ное множественно-открытой топологией и слабо множественно-открытой тополо-гией, будем обозначать через Сƒ(X,Y) и Сƒ*(X,Y) соответственно.На семейство ƒ будем накладывать ограничение быть ƒ-сетью для пространст-ва X. Заметим, что это ограничение естественное, так как пространство Сƒ(X,Y)хаусдорфово тогда и только тогда, когда ƒ - ƒ-сеть.Подмножество A пространства X будем называть Y-компактным, если f(A)компакт для всех f  C(X,Y). Отметим, что если Y - числовая прямая R , то Y-компактное подмножество называют C-компактным (иногда R -компактным)подмножеством пространства X.Будем называть семейство ƒ - Y-компактным (ограниченным), если всякоеFƒ является Y-компактным (ограниченным). Через Sƒ(a) будем обозначать от-крытый шар с центром в точке а и радиусом ƒ.1. Множественно-открытая топология.В [1] М.О. Асановым были доказаны два утверждения при условии, что ƒ -сеть пространства X.Утверждение 1. Пусть Y - топологическая группа (ТВП) и ƒ - Y-компактно.Тогда Сƒ(X,Y) - топологическая группа (ТВП).Утверждение 2. Пусть Y - ТВП над полем D и Сƒ(X,Y) - ТВП над тем же по-лем D относительно естественных операций. Тогда для любых F ƒ и fСƒ(X,Y)множество f(F) замкнуто и ограничено в пространстве Y.Далее в работе пространство Y полагаем метризуемым ТВП и семейство ƒ - ƒ-сеть пространства X.Пусть дано семейство ƒ непустых подмножеств пространства X, тогдаƒ(С) = {Aƒ : для любого C-компактного подмножества B пространства X, такого,что BA, множество [B, U] открыто в Сƒ(X,Y) для любого открытого множества Uпространства Y }.Теорема 1. Пусть семейство ƒ - C-компактно и ƒ=ƒ(С). Тогда пространствоСƒ(X,Y) - ТВП.Доказательство. Отметим, что по теореме 4.4 из [3] следует, что множествен-но-открытая топология на C(X,Y) будет совпадать с топологией равномерной схо-димости на семействе ƒ.Покажем непрерывность сдвигов. Пусть fСƒ(X,Y) и [F, U] - произвольнаяпредбазисная окрестность функции f. Отметим, что f(F) - C-компактное подмно-жество метризуемого пространства Y, значит, является компактом. Компакт f(F)содержится в открытом множестве U, следовательно, найдется конечный наборV1, … , Vn - окрестностей нуля пространства Y и точки y1, …, yn f(F), такие, что( ) 1( ) 1( )fF∪in= yi+Vi∪in= yi+Vi+V i U. Пусть 1ni i V = V = ∩ , тогда множе-ство [F, V] - окрестность нуля пространства Сƒ(X,Y). Эта окрестность искомая, тоесть f + [F, V]  [F, U]. Действительно, пусть g  [F, V] и x  F. Так как( ) 1( )f x ∪in= yi+Vi , то найдется i≤n, такое, что f(x)  yi +Vi. Так как g(x)  VVi,то получаем f(x) + g(x)  yi + Vi + Vi  U. Следовательно, f + g  [F,U].Докажем непрерывность умножения на скаляр. Пусть f, g  Сƒ(X,Y), ƒ - скаляри ƒf = g. Пусть [F, U] - произвольная предбазисная окрестность точки g в про-странстве Сƒ(X,Y). Для каждой точки xF зафиксируем окрестность Ox(ƒ) точки ƒи Vx - окрестность нуля в пространстве Y c условием: для всякого ƒ Ox(ƒ) и лю-бого z Vx выполняется ƒ(f(x)+z) U. Так подобрать окрестности Ox(ƒ) и Vx мож-но, так как Y является ТВП и g(x) U. Семейство ƒ = {f(x) + Vx : x  F } покрываетf(F); найдем конечное подсемейство {f(xi) + Vxi : i = 1, …, n } семейства ƒ, покры-вающее f(F). Множества 1 ( ) inOƒ i=Ox =∩ ƒ и ( ) [ , 1( ( ) )]O f F in f xi Vxi = ∪ = + будутискомыми окрестностями точек ƒ и f соответственно. Действительно, пустьƒ Oƒ , hO(f) и xF. Найдем i, такое, что h(x) f(xi)+Vxi . Пусть °¨èp=h(x) - f(xi).Так как p Vxi и O Oxi( ) ƒ  ƒ  ƒ , то по построению ƒ(p + f(xi)) U, то есть,ƒh(x) U для всех xF. Отсюда следует, что ƒh [F, U] и, таким образом, Сƒ(X,Y)является ТВП. Теорема доказана.Теорема 2. Пусть ƒ - ограниченно. Тогда Сƒ*(X,Y) является ТВП.Доказательство. Достаточно заметить, что множество f(A) является ком-пактным для любого A ƒ и fC(X, Y). Действительно, образ любого ограничен-ного множества A будет являться ограниченным множеством f(A). Замыкание лю-бого ограниченного множества в метризуемом (субметризуемом) пространствеявляется метризуемым компактом (теорема 1 в [4]). Далее применяем схему дока-зательства теоремы 1.Напомним, что топологическое пространство с непрерывной операцией сло-жения называется паратопологической группой. Ясно, что любая топологическаягруппа является паратопологической группой. Прямая Зоргенфрея - пример пара-топологической группы, которая не является топологической.Теорема 3. Пусть Сƒ(X,Y) - паратопологическая группа. Тогда семейство ƒ со-стоит из C-компактных подмножеств.Доказательство. Предположим противное. Пусть существует A ƒ, котороене является C-компактным.Тогда существует fC(X), такое, что f(A) - не компакт. Мы можем полагать,что f(A) не замкнуто. Действительно, если f(A) замкнутое и неограниченное в R ,то множество h(f(A)) не является замкнутым при h(t) = arctg(t).Пусть ƒ - изоморфное вложение R в Y, определяемое как ƒ(t) = t∗y0, где y0 -фиксированная точка из пространства Y. Заметим, что ϕ(f(A)) не замкнуто в Y.Пусть точка a  ϕ(f(A))\ϕ(f(A)) и [A, Y \{a}] - открытое множество пространст-ва Сƒ(X,Y), содержащее точку ϕ◦f Сƒ(X,Y). Пусть 0Y - функция, тождественно наX равная нулю пространства Y. Так как Сƒ(X,Y) топологическая группа, существу-ет окрестность [B, Sƒ(0)] точки 0Y, такая, что ϕ◦f+[B, Sƒ(0)] [A,Y\{a}]. Выберемточку x0 A, так чтобы ϕ◦f(x0) Sƒ(a). Пусть g = a - ϕ◦f(x0) - функция, тождествен-ная на X. Очевидно, что g C(X,Y) и g  [B, Sƒ(0)]. Однако ϕ

Скачать электронную версию публикации