Arnolds duality and Malcevs matrices.pdf Одной из первых работ, полностью посвященных абелевым группам без кру-чения, является статья А.И. Мальцева [1]. В ней он установил взаимно однознач-ное соответствие между системами p-матриц и группами без кручения конечногоранга, при котором каждой совокупности изоморфных между собой групп соот-ветствует класс эквивалентных между собой систем совершенных p-матриц.В 2007 г. в [2] А. А. Фомин ввел категорию матриц специального вида и дока-зал, что она эквивалентна категории факторно делимых групп и двойственна кате-гории групп без кручения. А. А. Фомин матрицы данной категории называл реду-цированными. Заметим, что это фактически те матрицы, которые А.И. Мальцевназывал совершенными, а функторы двойственности категории матриц и катего-рии групп без кручения можно рассматривать как новую версию описанияА.И. Мальцева [1].Определение 1. Матрицы вида (1) мы будем называть p-матрицами Мальцевагруппы G:nppppppnnm m mnnnZZZZZZnn na a aa a aa a aAααα∈∈∈∈∈∈⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛=...ˆ... ...ˆˆ0 0 ... 0 0 0 ... 1... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 0 1 ...0 0 ... 0 1 ...ˆ...ˆ ˆ0 0 ... 1... ... ... ... ... ...ˆ...ˆ ˆ0 1 ... 0ˆ...ˆ ˆ1 0 ... 021212 11 221 22 211 12 1, (1)где ( ) pn=r G - p-ранг группы G, ( ) ( ), pm=rG −r GˆpZ - кольцо целых p-адиче-ских чисел.Рассмотрим совокупность p-матриц ( 1) ( 2), ,...,Ap Ap по всем простым p они оп-ределяют набор характеристик( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)1 1 1 2 2 2 ( , ,...), ( , ,...),..., ( , ,...), p p p p p pr r r χ = α α χ = α α χ = α αгде [ ] r χ и 1 [χ ] - соответственно внутренний и внешний типы группы G.Далее исследуем вопрос о том, как будут устроены матрицы Мальцева факторноделимой группы G ранга r. Найдется свободная подгруппа F группы G, такая, что/ppr rG F Z ∞−≅ ⊕ . Тогда p-матрица факторно делимой группы будет иметь видpppm m mnnnZZZa a aa a aa a aAˆ... ...ˆˆˆ...ˆ ˆ0 0 ... 1... ... ... ... ... ...ˆ...ˆ ˆ0 1 ... 0ˆ...ˆ ˆ1 0 ... 01 221 22 211 12 1∈∈∈⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛= . (2)Пусть G - факторно делимая группа с базисом 1 2 , ,...,r x x x , 1 2 / , ,..., rG〈x x x〉 -делимая и периодическая. Группа G относительно данного базиса определена на-бором p-матриц по всем простым числам p:12( ) ( ) ( )11 12 1( ) ( ) ( )( ) 21 22 2( ) ( ) ( )1 2......,... ... ... ... ... ......rp p prp p pp rp p pr r rrZZAZχχχ⎛α α α ⎞∈=⎜⎜α α α ⎟⎟∈⎜ ⎟⎝⎜α α α ⎠⎟∈где r=r(G) - ранг группы G.Для характеристик ( ) pχ = m положим / , p mp K =Z p Z если pm < ∞ , иˆp pK = Z , если pm = ∞, тогда кольцо ppZ Kχ=Π . Обозначим через ( ) pn=r G -p-ранг группы G. И пусть m = r − n. Тогда из определения факторно делимойгруппы следует, что 1 2 1 ( ) ( ) ... ( ) ,( ) ... ( ) 0 p p m p m+ p r p χ = χ = = χ =∞ χ = = χ = . Отсю-да следует, что последние n строк в матрице A(p) состоят из одних нулей, поэтомуих можно опустить.Теперь рассмотрим диаграмму1 2( ) ( ) ( )1 11 12 1( ) ( ) ( )2 21 22 2( ) ( ) ( )1 2* * *1 2攀...攀... 0攀... 0攀... ... ... ... ... ...攀... 0攀|| || ... ||攀...rp p prp p prp p pm m m mrrx x xyyyx x xα α α =α α α =α α α =.А.А. Фомин в [2] доказал, что эта диаграмма однозначно определяет группу Gи двойственную ей группу*G вместе с их базисами 1, 2,..., rx x x ∈G и* * * *1, 2 ,..., rx x x G ∈ . Данная диаграмма одновременно определяет две системы ра-венств:* ( ) ( ) ( )1 11 1 21 2 1* ( ) ( ) ( )2 12 1 22 2 2* ( ) ( ) ( )1 1 2 2............p p pm mp p pm mp p pr r r mr mx y y yx y y yx y y y= α +α + +α= α +α + +α= α +α + +α(3)α +α + + α =α +α + + α =α +α + + α =(4)Из (3) следует, что * * *1, 2 ,..., rx x x принадлежат конечно-представимомуˆpZ -модулю1 21 2 ...mm M yZ y Z y Z χ χ χ= ⊕ ⊕ ⊕ . Тогда сервантная оболочка* * *1, 2 ,..., r *〈x x x〉 - группа, двойственная группе G, с базисом * * *1, 2 ,..., rx x x .Теперь мы можем сформулировать теорему, позволяющую перевести двойст-венность Арнольда на язык матриц Мальцева.Теорема 1. Пусть G - факторно делимая группа ранга r с базисом 1, 2,..., rx x x ,относительно которого она определена набором p-матриц Мальцева по всемпростым числам p:rmmmZZZZZZApmnpmpmpnp ppnp ppχχχχχχ∈∈∈∈∈∈⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛α α αα α αα α α=++... ...... ...0 0 ... 0 0 0 .. 0... ... ... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 0 0 ... 00 0 ... 0 0 0 ... 00 0 ... 1 ...... ... ... ... ... ... ... ...0 1 ... 0 ...1 0 ... 0 ...2121( ) ( )2( )1( )2( )22( )21( )1( )12( )11( )и набором подстановок ( ) ( ) ( )1 21 2 ...p p ... prri i i⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠. И пусть*G - группа двойствен-ная группе G в смысле Арнольда, тогда группа*G определяется следующим на-бором p-матриц Мальцева:mrmmZZZZZZApmnpnpnpmp ppmp ppκκκκκκ∈∈∈∈∈∈⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛α α αα α αα α α=++... ...... ...0 0 ... 0 0 0 .. 0... ... ... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 0 0 ... 00 0 ... 0 0 0 ... 00 0 ... 1 ...... ... ... ... ... ... ... ...0 1 ... 0 ...1 0 ... 0 ...2121( ) ( )2( )1( )2( )22( )12( )1( )21( )11*( )и набором подстановок( ) ( ) ( )1 21 2 ...p p ... prri i i⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠.Доказательство. Для того чтобы найти p-матрицу Мальцева группы двойст-венной факторно делимой группе G, зафиксируем простое число p и рассмотримp-матрицу группы G.11 12 121 22 21 21 0 ... 0 ...0 1 ... 0 ....... .... ... ... .... .... ... ...0 0 ... 1 ...nnm m mnA⎛ α α α⎞⎜ α α α⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ α α α⎟⎠,где ( ) ( ) pm=rG −r G . Заметим, что p-матрицы Мальцева - это квадратные матри-цы, но так как группа G - факторно делимая, то последние n строк матрицы нуле-вые и исключаем их из рассмотрения.Теперь рассмотрим диаграмму1 2 1 21 11 12 12 21 22 21 2* * * * * *1 2 1 2... ...1 0 ... 0 ... 00 1 ... 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ...0 0 ... 1 ... 0|| || ... || || || ... ||... ...m m m rnnm m m mnm m m rx x x x x xyyyx x x x x x+ ++ +α α α =α α α =α α α =Данная диаграмма одновременно определяет две системы равенств:1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 2... 0... 0... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... 0m m n rm m n rm m m m m mn rx x x xx x x xx x x x+ ++ ++ ++ α + α + + α =+ α + α + + α =+ α + α + + α =(5)и*1 1*2 2**1 11 1 21 2 1*2 12 1 22 2 2*1 1 2 2,,... ... ...,... ,... ,... ... ... ... ... ... ... ...... .m mm mmm mmr n n mn mx yx yx yx y y yx y y yx y y y++==== α + α + + α= α + α + + α= α + α + + α(6)Подставим в последние n уравнений системы (6) вместо yi элемент*ix(i=1,2,...,m), получим следующую систему равенств:* * * *11 1 21 2 1 1* * * *12 1 22 2 2 1* * * *1 1 2 2... 0,... 0,... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... 0.m m mm m mn n mn m rx x x xx x x xx x x x++α + α + + α − =α + α + + α − =α + α + + α − =(7)Запишем основную матрицу полученной системы11 21 112 22 21 2... 1 0 ... 0... 0 1 ... 0... ... ... ... ... ...... 0 0 ... 1mmn n mn⎛α α α − ⎞⎜α α α − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝α α α −⎟⎠.Строки матрицы - фундаментальная система решений для системы (5), и, на-оборот, строки p-матрицы группы G - фундаментальная система решений длясистемы (7). И так как система (6) определяет группу, двойственную группе G cбазисом * * *1, 2 ,..., rx x x , то относительно этого базиса двойственная группа будетопределяться следующим набором p-матриц Мальцева:rmmmZZZZZpmnpnpnpmp ppmp pκκκκκ∈∈∈∈∈⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛α α α −α α α −α α α −++... ...... ...... 0 0 ... 1... ... ... ... ... ...... 0 1 ... 0... 1 0 ... 00 0 ... 0 0 0 ... 0... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 0 0 ... 0211( ) ( )2( )1( )2( )22( )12( )1( )21( )11 .Для того чтобы данную матрицу привести к нормальному виду, необходимокаждую строку матрицу домножить на (−1), и переставить столбцы и строки в об-ратном порядке. Для того чтобы избавиться от минусов перед коэффициентамиijα , i=1,2,...,m; j=1, 2,...n , необходимо домножать на (−1) столбцы матриц сис-темы, а затем при необходимости домножать на (−1) строки каждой матриц сис-темы в отдельности. ■Замечание 1. Пусть G - факторно делимая группа, p-матрицы Мальцева опре-деляют набор характеристик 1, 2,..., r χ χ χ , для которых выполняются равенства1 2 1 ( ) ( ) ... ( ) ,( ) ... ( ) 0 p p m p m+ p r p χ = χ = = χ =∞ χ = = χ = . Аналогичные равенствахарактеристик выполняются для двойственной группы*G (заметим, что для при-ведения матрицы*A к нормальному виду была выполнена некоторая перестанов-ка строк, после которой индексы характеристик κi мы не перенумеровываем):1 2 1 ( ) ( ) ... ( ) 0,( ) ... ( ) p p m p m+ p r pκ = κ = = κ = κ = = κ = ∞ . Таким образом, мы полу-чаем, что если ( ) 0i p χ = , то ( ) i p κ =∞, и, наоборот, если ( ) i p χ =∞, то ( ) 0i p κ =для i = 1, 2, …, r.Используя язык матриц Мальцева, легко можно доказать следующие фактыдля взаимодвойственных по Арнольду групп, установленные Д. Арнольдом в [3].Замечание 2. Для двойственности категорий факторно делимых групп безкручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов на себясправедливы следующие утверждения:(1)*r(G)= r(G );(2)*( ) ( ) ( ) p pr G =r G −r G .Доказательство. Из строения p-матриц Мальцева групп G и*G ясно, что*r(G)= r(G ).Рассмотрим p-матрицы A и*A групп G и*G соответственно. Как мы отмеча-ли выше, p-матрицы Мальцева являются квадратными, но так как в нашем случаенесколько последних строк оказываются нулевыми, мы их опускаем из рассмот-рения.,ˆ... ...ˆˆ0 0 ... 1 ...... ... ... ... ... ...0 1 ... 0 ...1 0 ... 0 ...1 221 22 211 12 1pppm m mnnnZZZA∈∈∈⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛α α αα α αα α α=где r=r(G) - ранг группы G, ( ) pn=r G - p-ранг группы G. Получим, что( ) ( ) pm=rG −r G .pppn n mnmmZZZAˆ... ...ˆˆ0 0 ... 1 ...... ... ... ... ... ...0 1 ... 0 ...1 0 ... 0 ...1 212 22 211 21 1∈∈∈⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛α α αα α αα α α= .Из вида p-матрицы группы*G получим, что*( ) pr G =m, где( ) ( ) pm=rG −r G .

Скачать электронную версию публикации