Endoprimal abelian groups and modules.pdf Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, G - унитарный левый R-модуль,E = ER(G) - кольцо эндоморфизмов модуля G. Рассмотрим множестваMR(Gn, G) = {f:Gn  G | rf(x1, …, xn) = f(rx1, …, rxn), r  R},ME(Gn, G) = {f:Gn  G | ϕf(x1, …, xn) = f(ϕx1, …, ϕxn), ϕ  E},PR(Gn, G) = {f  MR(Gn, G) | f(x1, …, xn) = ϕ1x1 + … + ϕnxn, ϕi  E, xi  G},PE(Gn, G) = {f  ME(Gn, G) | f(x1, …, xn) = r1x1 + … + rnxn, ri  R, xi  G}.Если ME(Gn, G) = PE(Gn, G) (MR(Gn, G) = PR(Gn, G)), то модуль G будем назы-вать n-эндопримальным (обобщенно n-эндопримальным); n-эндопримальный(обобщенно n-эндопримальный) для всех натуральных чисел n модуль будем на-зывать эндопримальным (обобщенно эндопримальным). В частности, абелевагруппа называется обобщенно эндопримальной, если она является обобщенно эн-допримальным модулем над своим кольцом эндоморфизмов ([1]).Например, периодическая p-группа, имеющая прямое слагаемое Z(p) ⊕ Z(p)обобщенно эндопримальна. С другой стороны, абелева группа A = Z(p) ⊕ B, гдеpk B = 0 для некоторого целого числа k, не обобщенно эндопримальна. Еще отме-тим, что p-группа, имеющая неограниченную базисную подгруппу, обобщенноэндопримальна. Эти и другие примеры групп, обладающих указанным свойством,можно найти в работе [1].Кольцо R называется кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом), еслина его мультипликативной полугруппе (R, ∗) можно задать единственную бинар-ную операцию +, превращающую ее в кольцо (R, ∗, +). Это эквивалентно следую-щему: кольцо R будет UA-кольцом тогда и только тогда, когда любой изомор-физм мультипликативных полугрупп колец ƒ: R  S является изоморфизмом ко-лец [2−4].Стоит сказать, что рассмотренные выше обобщенно эндопримальные группыимеют UA-кольцо эндоморфизмов. В данной работе доказано, что кольцо эндо-морфизмов обобщенно 2-эндопримальной ЕЕ-группы обладает свойством одно-значности сложения. Абелева группа A называется ЕЕ-группой при условии суще-ствования группового эпиморфизма F: A  End(A) [5].Предложение 1. Кольцо эндоморфизмов обобщенно 2-эндопримальной ЕЕ-группы есть кольцо с однозначным сложением.Доказательство. Эпиморфизм F позволяет задать на группе А кольцо, умно-жение в котором определяется правилом a * b = F(a)(b). Предположим, что А неUA-кольцо. Тогда для некоторого неаддитивного мультипликативного изомор-физма ƒ: А  S определим тождественно не равную нулю функцию g: А2  A поправилуg(x, y) = ƒ−1(ƒ(x + y) - ƒ(x) - ƒ(y)).Для ϕ  E(A) имеем ϕ = F(z), где z = ƒ−1(z')  A, z'  S. Покажем, что g ME(A)(A2, A). Действительно,ϕg(x,y) = ϕƒ−1(ƒ(x + y) - ƒ(x) - ƒ(y)) = F(z) ƒ−1(ƒ(x + y) - ƒ(x) - ƒ(y)) == z * ƒ−1(ƒ(x + y) - ƒ(x) - ƒ(y)) = ƒ−1(z') * ƒ−1(ƒ(x + y) - ƒ(x) - ƒ(y)) == ƒ−1(z'ƒ(x + y) - z'ƒ(x) - z'ƒ(y)) = ƒ−1(ƒ(z)ƒ(x + y) - ƒ(z)ƒ(x) - ƒ(z)ƒ(y)) == ƒ−1(ƒ(z * x + z * y) - ƒ(z * x) - ƒ(z * y)) = ƒ−1(ƒ(ϕx + ϕy) - ƒ(ϕx) - ƒ(ϕy)) == g(ϕx, ϕy).Поскольку рассматриваемая группа обобщенно 2-эндопримальна как модульнад своим кольцом эндоморфизмов, то для некоторых центральных эндоморфиз-мов u и v имеем g(x, y) = ux + vy. Полагая в этом равенстве сначала x = 0, а затем y= 0, и учитывая, что ƒ(0) = 0, получим ux = 0 и vy = 0 для всех x,y A. Таким обра-зом, кольцо A есть кольцо с однозначным сложением. Предположение о наличиииного сложения в кольце E(A) приводит к противоречию с тем фактом, что A -кольцо с однозначным сложением. Предложение доказано.Предложение 2. Пусть R - кольцо такое, что существует модульный эпимор-физм R  R2. Тогда каждый R-модуль обобщенно эндопримален и R - UA-кольцо.Доказательство. Согласно [6, утверждение 9.53], каждый модуль G над коль-цом R есть модуль Безу. Поэтому для каждого f  MR(Gn, G) имеемf(x + y) = f(rz + sz) = f((r + s)z) = (r + s)f(z) = rf(z) + sf(z) = f(rz) + f(sz) = f(x) + f(y),для любых x, y  Gn и некоторых z  Gn, r, s  R. Откуда следует аддитивностьотображения f.Пусть ƒi: G  Gn - канонические вложения (i = 1, …, n). Тогдаf(x1, …, xn) = f(ƒ1(x1)) + … + f(ƒn(xn)) = ϕ1x1 + … + ϕnxn, ϕi = fƒi  ER(G).Поэтому G - обобщенно эндопримальный R-модуль.Предположим, что R не обладает свойством однозначности сложения. Пустьƒ: R  S - неаддитивный мультипликативный изоморфизм. Определим отобра-жение F: R2 R2 по правилуF(x, y) = (x, ƒ−1(ƒ(x + y) - ƒ(x) - ƒ(y))).Непосредственно проверяется, что отображение F не является аддитивным иF  MR(R2, R2), что противоречит, в частности, обобщенной 1-эндопримальностилюбого R-модуля. Поэтому R - UA-кольцо. Предложение доказано.Заметим, что обобщенно 1-эндопримальные модули это в точности эндоморф-ные модули [7].Указанным в условии предложения 2 свойством обладают кольцо всех конеч-но-столбцовых, кольцо всех конечно-строчных, кольцо всех конечно-столбцовыхи конечно-строчных матриц над кольцом S.Во многом, при описании абелевых групп с UA-кольцом эндоморфизмов ис-пользуется теорема 2.12 работы [4] или ее модифицированный вариант [8, теоре-ма 1]. Иногда достаточно выполнения условий предложения 3, с той лишь ого-воркой, что, если кольцо квазиэндоморфизмов Q⊗E(G) группы без кручения Gобладает свойством однозначности сложения, то и E(G) - UA-кольцо. Заметим,что из работ [1] и [8] следует, что свойства обобщенной эндопримальности сепа-рабельной группы без кручения и однозначности сложения на ее кольце эндо-морфизмов равносильны. Это же замечание относится и к некоторым другимклассам абелевых групп.Предложение 3. Пусть R - кольцо, обладающее системой попарно ортого-нальных идемпотентов E = {e1, e2, …, en} и пусть для каждого ei E найдется ej E\{ei} такое, что левые R-модули Rei и Rej изоморфны. Тогда R - UA-кольцо.Доказательство. Если x  R\{0}, то для некоторых ei, ej  E, в силу условияпредложения, eixej  0. Предположим теперь, что ϕ: Rei  Rej - R-модульный изо-морфизм и eixeiRej = 0. Тогдаϕ−1(eixeiRej) = eixeiϕ−1(Rej) = eixeiRei = 0.Отсюда, в частности, вытекает, что eixei = 0.Известно, что изоморфизм левых R-модулей Rei и Rej равносилен изоморфизмуправых R-модулей eiR и ejR. Поэтому можно повторить рассуждения, как и дляправостороннего случая, и получить, что из равенства ejReixei = 0 следует eixei = 0.Таким образом, выполняются все требования теоремы 1 из работы [8]. Следова-тельно, R - UA-кольцо. Предложение доказано.Хорошо известно [9, теорема 7.3], что абелева группа без кручения G конечно-го ранга, совпадающая со своим псевдоцоколем (сервантной подгруппой, порож-денной всеми минимальными сервантными вполне характеристическими под-группами группы G), квазиравна группе А = ⊕Ai, i = 1, …, n, где все слагаемые Ai -вполне характеристичны в группе А, при этом Аi = ⊕Aij, j = 1, …,n(i), группы Aijпопарно квазиизоморфны и Q⊗E(Аij) - тело.В обозначениях, принятых выше, имеет местоСледствие 4. Если G - абелева группа без кручения конечного ранга и n(i) > 1для всех i = 1, …, n, то группа G обобщенно эндопримальна и имеет UA-кольцоэндоморфизмов.Доказательство. Обобщенная эндопримальность группы G доказана в работе[1]. Ясно, что кольцо квазиэндоморфизмов Q⊗E(G) удовлетворяет условию пред-ложения 3 и, более того, изоморфно прямому произведению нетривиальных мат-ричных колец над телами. Следовательно, Q⊗E(G) - кольцо с однозначным сло-жением. Поэтому E(G) - UA-кольцо.Обозначим через ℜ - класс колец, над которыми каждый модуль обобщенноэндопримален. Класс ℜ не пуст. Непосредственно проверяется, что рассматри-ваемый класс содержит нетривиальные (размерность больше двух) полные мат-ричные кольца.Теорема 5. Пусть S  ℜ и ƒ: S  R - гомоморфизм колец. Тогда R  ℜ.Доказательство. Если G - R-модуль, то определим S-модуль G правиломs * g = ƒ(s)g, где s  S, g  G. Для f  MR(Gn, G) имеемf(s * x1, …, s * xn) = f(ƒ(s)x1, …, ƒ(s)xn) = ƒ(s)f(x1, …, xn) == s * f(x1, …, xn), f  MS(Gn, G).Поэтому f(x1, …, xn) = ƒ1 ° x1 + … + ƒn ° xn для некоторых ƒi  ES(G), гдеƒi ° xi = F(ƒi)xi, F: ES(G)  ER(G) - кольцевой гомоморфизм. Таким образом,f  PR(Gn, G). Теорема доказана.Следствие 6. Если S  ℜ может быть вложено в кольцо R вместе с единицей,то R  ℜ.Следствие 7. Если подпрямое произведение некоторого семейства колец принад-лежит ℜ, то каждый множитель этого подпрямого произведения принадлежит ℜ.Следствие 8. Если rad - это некоторый радикал в категории колец и R  ℜ, тоR/rad(R)  ℜ.Следствие 9. Пусть S - область целостности и ƒ: R  S - кольцевой гомомор-физм. Тогда R ∉ ℜ.Доказательство. Из теоремы 2 следует, что доказываемое утверждение будетследовать из того факта, что S ∉ ℜ. Определим отображение f: S2  S правиломf(x, y) = y, если x  0, f(x, y) = 0, если x = 0. На основании точности S-модуля S не-трудно показать, что f  MS(S2,S)\ PS(S2,S).Поскольку для каждого коммутативного кольца и кольца, не имеющего нену-левых нильпотентных элементов, можно построить гомоморфизм в область цело-стности, то справедливы следующие два утверждения.Следствие 10. Пусть S - коммутативное кольцо и ƒ: R  S - кольцевой гомо-морфизм. Тогда R ∉ ℜ.Следствие 11. Каждое кольцо класса ℜ имеет ненулевые нильпотентные эле-менты.Автор благодарен Крылову П.А. за введение в тематику эндопримальных мо-дулей и внимание к работе, а также Цареву А.В. за полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации