On k-full transitivity of completely decomposable torsion free Abelian groups.pdf Одним из ключевых понятий теории абелевых групп является понятие вполне транзитивности. Впервые это понятие было рассмотрено Капланским в [1] для р-групп: р-группа G называется вполне транзитивной, если для любых элементов a, b е G группы G из выполнения неравенства H(a) < H(b) следует существование эндоморфизма 6 е E(G), такого, что 6(a) = b (здесь H(a), H(b) - индикаторы элементов a и b соответственно). Понятие вполне транзитивной группы без кручения впервые появилось в работе П.А. Крылова [2]: группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых элементов a,b е G из x(a) < %(b), где x(a), %(b) - характеристики элементов a и b, следует существование 6 е E(G) со свойством 6(a) = b . Заметим, что в [2] группа с указанным выше свойством называлась транзитивной. В [3] рассматривается понятие «вполне транзитивность» для произвольной абелевой группы. Затем это понятие уточняется в [4]. При этом введенное понятие вполне транзитивной абелевой группы согласуется с рассматриваемыми ранее определениями вполне транзитивной р-группы и вполне транзитивной группы без кручения. Интерес к изучению вполне транзитивных абелевых групп продиктован следующими соображениями. Вполне транзитивными группами являются группы, обладающие различной структурой, однако имеющие фундаментальное значение в теории р-групп и групп без кручения. К вполне транзитивным группам относятся, например, р-группы без элементов бесконечной высоты, р-адические алгебраически компактные группы и однородно сепарабельные группы, которым посвящены работы Р. Бэра, Ю.Л. Ершова, Л.Я. Куликова, А.П. Мишиной, Л. Фукса и других алгебраистов, квазисервантно инъективные группы без кручения, сильно однородные группы, интенсивно изучаемые в последнее время. Также понятие вполне транзитивной группы тесно связано с изучением вполне характеристических подгрупп абелевых групп [4]. Вполне транзитивные группы без кручения интенсивно изучались в работах [5-9] и др. В [10] Кэрролл вводит понятие к-вполне транзитивной р-группы, тем самым обобщая понятие вполне транзитивности для р-групп. Пусть G - р-группа и к е N . Группа G называется к-вполне транзитивной, если из выполнения условий для кортежей X = (x1,х2,...,хк), Y = (у1,y2,...,ук) элементов группы G: (1) H(x) < H(y), i = 1, k; (2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при i Ф j h(rxi) Ф h(sXj) для любых r, s е Z, кроме случая rxi = sXj = 0, следует существование эндоморфизма 6 е E(G) группы G со свойством 6(x,) = yi, i = 1, k . Для рассмотрения групп без кручения нам понадобятся следующие понятия [11]. Характеристикой называется последовательность неотрицательных целых чисел и символов ж . Обозначим через X множество всех таких последовательностей. Если х = (k1,...,kn,...) и х2 = (l\,...,ln,...), то полагают х1 к( (G) группа G является к-вполне транзитивной по определению. Тогда очевидно, что всякая однородная группа (в том числе делимая и ранга 1) является к-вполне транзитивной для любого к > 1 . Покажем, что условие (2) определения 1 нельзя заменить условием независимости элементов кортежа X. Пусть G - группа ранга, не меньшего двух, к > 1; a, b е G, причем x(a) < X(b) и элементы a, b независимы. Полагаем х1 = a + b, х2 = a, у1 = b, у2 = a . Если r(G) = 2, то в группе G нет элементов, независимых с (х1, х2). Если же r(G) > 2, то в качестве элементов х3,х4,...,хк выберем элементы, независимые с a, b. Тогда полагаем yi = xi, i = 3,к. Ясно, что для кортежей X = (х1,х2,...,хк); Y = (у1,у2,...,ук) условие (1) определения 1 выполнено. Также, по построению, элементы кортежа X независимы. Предположим, существует эндоморфизм 6 е E(G) группы G, переводящий элементы кортежа X в элементы кортежа Y. Тогда получаем 6(x1) = 6(a + b) = 6(a) + 6(b) = y = b и 6(x2) = 6(a) = y2 = a . Учитывая оба равенства, приходим к соотношению 6(b) = b - a . Рассмотрим характеристики элементов из этого равенства: X(6(b)) = X(b -a) = inf(x(a);x(b)) < x(a) < x(b). Приходим к противоречию, так как эндоморфизм не может понижать характеристики. ■ Укажем некоторые свойства t-длин прямых сумм групп без кручения. Пусть G = A © B . Тогда 1. kt (G) > kt (A). Действительно, если X = (x1,x2,...,xk) - t-независимый кортеж элементов группы A, то X также t-независимый кортеж группы G, значит kt (G) > k . 2. Если для любых элементов a е A,b е B типы t(a) и t(b) несравнимы, то kt (G) > kt (A) + kt (B). Пусть X = (xl,x2,...,xk) - t-независимый кортеж группы A, Y = (y1,y2,...,yl) -t-независимый кортеж группы B. Поскольку типы элементов групп A и B несравнимы, кортеж Z = (x1,x2,...,xk,y1,y2,...,y{) также t-независим, т.е. kt (G) > k +1. 3. Если для любых элементов a е A, b е B типы t(a) и t(b) сравнимы, то kt (G) = max(kt (A);kt (B)). Для определенности будем считать, что kt (B) > kt(A). Пусть Y = (y1,y2,...,yt) - t-независимый кортеж группы B наибольшей длины. Рассмотрим кортеж Y = (y1,y2,...,yi, a), где a е A . Поскольку типы любых элементов групп A и B сравнимы, кортеж Y не является t-независимым, т.е. в группе G нет t-незави-симого кортежа длины, большей чем l. Приведем оценку верхней границы t-длины вполне разложимой группы конечного ранга. Для этого потребуется следующее понятие. Семейством Шпернера множества E называется семейство подмножеств F множества E, в котором ни один элемент не является подмножеством другого. Другими словами, если X, Y е F, то X 1. Доказательство. Ясно, что при к > 2 в группе G нет t-независимого кортежа длины к. Поэтому при к > 2 группа G является к-вполне транзитивной по определению. Пусть к = 2 . В случае если типы t(A1) и t(A2) сравнимы, в группе G нет t-независимых кортежей длины 2, тогда G по определению 2-вполне транзитивна. Пусть t( A1) и t (A2) несравнимы. Рассмотрим кортежи X = (х1, х2), Y = (у1, у2) элементов группы G, удовлетворяющие условиям (1), (2) определения 1. В силу того, что кортеж X t-независим, заключаем, что xj и х2 принадлежат различным прямым слагаемым Ai, i = 1,2 , ранга 1. Не умаляя общности, можно считать, что х1 е A1, х2 е A2. Тогда для любых a1 е A1, a2 е A2 справедливо X(a1 + a2) < x(x1) и X(a1 + a2) < x(x2). Поэтому из выполнения условия (1) определения 1 для кортежей X, Y и из несравнимости типов t(A1) и t(A2) заключаем, что у1 е AJ, у2 е A2 . Поскольку всякая группа ранга 1 является вполне транзитивной, существуют эндоморфизмы 61 е E(A1), 62 е E(A2) со свойствами 6i (xi) = у (i = 1,2). Рассмотрим эндоморфизм 9 группы G, действующий по правилу: для любого g е G, g = a1 + a2, a1 е A1, a2 е A2 полагаем 6(g) = 61(a1) + 62(a2). Тогда получаем: 6( xi) = 6г- (xi) = yi, i = 1,2. Таким образом, искомый эндоморфизм найден. ■ Для произвольной вполне разложимой группы ранга 3 уже нет однозначного ответа о к-вполне транзитивности. Приведем примеры. 1. Рассмотрим группу G = A1 © A2 © A3, где r(A1) = r(A2) = r (A3) = 1 и t(A1) = (0,ж,ж,...,ж,...); t(A2) = (ж,0,ж,...,ж,...); t(A3) = (ж,ж,0,...,ж,...). Покажем, что G не является 3-вполне транзитивной. Пусть элементы a е A1, b е A2, c е A3 имеют наименьшие характеристики в соответствующих группах. Рассмотрим кортежи X = (х1, х2, х3), Y = (у1, у2, у3), элементов группы G, где х1 = a + b, х2 = b + c, х3 = a + c, у = x1, y2 = b + x2, y3 = x3. Запишем характеристики элементов кортежа X: X(x1) = X(a + b) = (0,0,ж,ж,ж,...) ; X(x2) = X(b + c) = (ж,0,0,ж,ж,...) ; X(x3) = x(a + c) = (0,ж,0,ж,ж,...) . Видим, что кортеж X удовлетворяет условию (2) определения 1. Кортежи X, Y по построению удовлетворяют условию (1). Предположим, группа G 3-вполне транзитивна. Тогда существует 6 е E(G), что 6(xi) = yi, i = 1,3 . Поскольку прямые слагаемые {A1; A2; A3} образуют жесткую систему, получаем, что 6(a) е A1, 6(b) е A2,6(c) е A3. Но тогда 6(х1) = 6(a + b) = 6(a) + 6(b) = у1 = a + b , откуда 6(b) = b и 6(x2) = 6(b + c) = = 6(b) + 6(c) = y2 = 2b + c , откуда 6(b) = 2b . Приходим к противоречию. ■ 2. Рассмотрим теперь группу G = B1 ©B2 ©B3, где r(B1) = r(B2) = r(B3) = 1 и t(B1) = (ж,0,0,...,0,...); t(B2) = (0,ж,0,...,0,...); t(B3) = (0,0,ж,0,...,0,...). Заметим, что для любых ненулевых элементов a е B1, b е B2, c е B3 имеет место равенство t(a + b) = t(a + c) = t(b + c) = (0,0,...,0,...). Таким образом, если кортеж X = (х1, х2, х3) является t-независимым, то, не умаляя общности, можем считать, что х1 е B1, х2 е B2, х3 е B3. Пусть кортежи X = (х1, х2, х3), Y = (у, у2, у3) элементов группы G удовлетворяют условиям определения 1. В силу приведенных рассуждений, заключаем, что х1 е Bj, х2 е B2, х3 е B3. Тогда из выполнения условия (1) определения 1 следует, что у е 3, у2 е B2, у, е B3. Таким образом, получаем, что x(xi) < x(yi), i = 1,3; x1,у1 е B1, x2, y2 е B2, x3, y3 е B3. Из вполне транзитивности групп B1; B2; B3 следует существование эндоморфизмов 61 е E(B1); 62 е E(B2); 63 е E(B3), со свойствами: 6i (х-) = у, i = й. Рассмотрим эндоморфизм 6 е E(G) группы G, действующий по правилу: для любого элемента g = a1 + a2 + a3, a1 е Bj, a2 е B2, a3 е B3, имеем 6(g) = 61 (a1) + + 62(a2) + 63(a3). Тогда для элементов кортежей X, Y получаем 6(xi) = 6i (xi) = yi, i = 1,3. Искомый эндоморфизм найден, следовательно, группа G - 3-вполне транзитивна. ■ Приведем критерий вполне транзитивности для однородно разложимых (в частности, вполне разложимых) групп. Для этого понадобится следующее определение: Определение 2 [4]. Будем говорить, что однородно разложимая группа G = © Gt удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких двух геТ типов t1, t2 е Т, t1 Ф t2 и любого простого числа p, такого, что pG Ф G , имеет место pG = G . 12 12 Предложение 3 [15]. Однородно разложимая редуцированная абелева группа G = © Gt вполне транзитивна тогда и только тогда, когда каждая однородная ЬеТ компонента ее канонического разложения вполне транзитивна и G удовлетворяет условию контрастности для типов. Следствие 4 [15]. Вполне разложимая группа G = © Ai вполне транзитивна i^ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию контрастности для типов. Далее, нам понадобятся следующие обозначения. Для произвольной группы без кручения G обозначим n(G) = {p е П; pG Ф G}. Пусть G = © A - прямая сумма групп без кручения A, П е E(G) - проекция iеl группы G на прямое слагаемое A, i е I. Для любого элемента g е G введем следующее множество индексов: I(g) = {i е I: п, (g) Ф 0} . Пусть G = © A - однородно разложимая группа. Для всякого J < I обознаiеl чим tJ = inf t(A). В частности, если J = {i}, i е I, то tJ = ti = t(A). iеJ Рассмотрим вопрос о k-вполне транзитивности вполне разложимых групп, имеющих следующую структуру. Пусть G = © Ai - вполне разложимая группа, r(A) = 1, причем типы t(A) и t(Aj) несравнимы при i Ф j. Другими словами, множество прямых слагаемых ранга 1 {A }е1 образует жесткую систему групп. Для вполне разложимых групп с указанной структурой справедливы следующие результаты. Теорема 5. Пусть G = © Ai - вполне разложимая группа, r(Ai) = 1, множество iе1 {A }е1 образует жесткую систему. Если группа G является k-вполне транзитивной для некоторого k е N, то для любых конечных подмножеств J1, J2,...Jk < 1, таких, что тип tj несравним с типом tj , выполнено Jn П Jm =0 при m фп . Доказательство. Пусть подмножества J1, J2,...Jk < 1 конечны и таковы, что тип tJ несравним с типом tJ при m Ф n. Для всех i = k обозначим Gi = © A: и xi е Gi, такой, что 1 (xi) = Ji. Предположим, для некоторых jеJi m,n = 1,k Jm П Jn Ф0 . Тогда найдется r е Jm П Jn . В силу выбора элементов xt получаем, что xm = ar + a; xn = br + b, где ar,br е Ar и r g 1 (a); r g 1 (b). Тогда существуют u, v е Z, такие, что uar = vbr. (( Рассмотрим кортеж X = (xl,x2,...,xk) элементов группы G. Из условий теоремы следует, что X /-независим. Выберем элементы кортежа Y = (y1, y2,..., yk) следующим образом: при i Ф m, i Ф n полагаем y, = xi, ym = ar, yn = 2br. Ясно, что кортежи X и Y удовлетворяют условиям определения 1. Тогда, в силу k-вполне транзитивности группы G, существует эндоморфизм 6 е E(G), такой, что 6(xi) = yi, i = 1, k . Рассмотрим данные равенства подробнее при i = m, i = n : 6(xm) = 6(ar + a) = 6(ar) + 6(a) = ym = ar, 6(xn) = 6(br + b) = 6(br) + 6(b) = yn = 2br. Поскольку семейство прямых слагаемых {A, }е1 образует жесткую систему, заключаем, что 6(ar) = ar и 6(br) = 2br. (*) Из равенств (*) и (**) получаем uar = u6(ar) = 6(uar) = 6(vbr) = v6(br) = 2vbr. Приходим к противоречию, то есть Jn П Jm =0 при m фп . ■ Следствие 6. Пусть G = © Ai - вполне разложимая группа, r(A) = 1, множе- ,е1 ство {A },е1 образует жесткую систему. Если группа G 2-вполне транзитивна, то для любых различных индексов m, n, k е 1 тип t(Am) П t(An) сравним с типом t (Am ) П t (Ak ). Доказательство. Предположим противное, то есть для некоторых m, n, k е 1 типы t(Am) П t(An) и t(Am) П t(Ak) несравнимы. Тогда типы элементов am + an и am + ak, где a, е A, a j е Aj, at е Al, также несравнимы. Причем 1 (am + an) П1 (am + ak) = m , что противоречит утверждению теоремы 5. ■ Предложение 7. Если вполне разложимая группа G =© Ai, где r(A,) = 1, ,е1 множество {A }е1 образует жесткую систему, вполне транзитивна, то для любых элементов a,b е G, из x(a) < %(b) следует 1 (b) с 1 (a). Доказательство. Пусть a,b е G и %(a) 2. Пусть X = (х1,х2,...,хк), Y = (y1,y2,...,ук) - кортежи элементов группы G, удовлетворяющие условиям определения 1. Из условия (1) определения 1 и условия (Б) теоремы следует, что при i Ф j I (xi) ПI (xj) = 0 . Обозначим через _ к _ к _ Ii = I (xi), Gt = © At, I = I\(ll Ii), G =© 4. Тогда G = © Gt © G . jgI (х-) ' i= iеI i=1 Из вполне транзитивности группы G следует, что всякая Gi также вполне транзитивна и, из условия (2) определения 1 и по предложению 7, что I(yi) с I(xi), то есть yi е Gi. Тогда существуют 0i е E(Gi) со свойством _ к 8i (xi) = yi, i = 1, к . Рассмотрим эндоморфизм 9 = ^ 9iП е E(G), где ni е E(G) i=1 проекция группы G на прямое слагаемое Gi, i = 1, к . Тогда по построению имеем 9(х-) = 9- (х-) = y . . Теорема 9. Пусть G = © Ai - вполне разложимая группа, r(Ai) = 1, множество iеI {4образует жесткую систему и к е N . Группа G к-вполне транзитивна тогда и только тогда, когда для любых конечных множеств Jx, J2,..., Jk с I, таких, что типы t, и t, несравнимы при m Ф n , выполнены условия J m J n (I) Jn П Jm =0 при m Ф n ; (II) Группы Gm = © A удовлетворяют условию контрастности для типов -е Jm (m = Ц); (III) Если для конечного множества индексов J с I и натурального m = 1, к справедливо tj > tJ то J с Jm . Доказательство. Необходимость. Выполнение условия (I) следует из теоремы 5. Докажем, что группы Gm = © Ai вполне транзитивны. Пусть a, b е Gm и -е Jm X(a) ^x(b). Построим кортежи X = (xj,х2,...,хк), Y = (у,y2,...,yk) следующим образом. При i Ф m выберем xi е Gi так, чтобы I(xi) = Jt; yi = xt, xm = a, ym = b . Поскольку группа G является к-вполне транзитивной, существует 9 е E(G), что 9(xi) = yi. Рассмотрим сужение 9m = 91G . Так как {Ai }-е:[ образует жесткую систему, 9m е E(Gm). Получаем, что 9m (a) = b , то есть Gm вполне транзитивна. Покажем, что условие (III) также выполнено. Пусть для некоторых J с 1 и m = 1, k справедливо tJ > tJ . Тогда существуют элементы x е Gm, y е© A, 1 (x) = Jm; 1 (y) = J , для которых выполнено x(x)

Скачать электронную версию публикации