Numerical simulation of the imfluence of pulsations on vortex traces after plates.pdf Расчет турбулентных течений полуэмпирическими моделями, содержащими множество констант, универсальность и физическая содержательность которых подвергается сомнению в [1, 2] и др., дает информацию только относительно ос-редненных величин. Наряду с этим несомненный интерес представляют поля пульсаций гидродинамических величин и их распределение в потоке. Кроме того, для дальнейшего развития методов математического моделирования турбулентных течений необходимым является исследование возможностей тех теоретических моделей, которые заведомо не содержат эмпирических или полуэмпирических констант. В качестве таких в настоящей работе приняты уравнения Навье -Стокса и уравнения Рейнольдса в системе с уравнениями для пульсаций [3]. Объектами для численного экспериментирования выбраны течения в следе за пластинами. Представлены поля актуальных и пульсационных скоростей плоского обтекания несжимаемой вязкой жидкостью пластин, имеющих толщину геометрической точки (нанопластины) и различным образом ориентированных к направлению потока. Выбор такого рода течений связан с тем, что в вихревом следе за такими телами пульсации имеют резко выраженный характер. Для проведения намеченных расчетов целесообразным оказалось применение уравнений в физических переменных «скорость - давление» [4] . 1. Постановка задачи Для моделирования численно решаются соответствующие начально-краевые задачи для уравнений Навье - Стокса vt + (v-V)v + p-1Vp = F + vAV, V-v = 0, v| t=0 = d, v\ S=cp (1.1) и для осредненных по времени уравнений Рейнольдса < vt > +(< v > -V) < v > + < v' ,v' > x +p-1 V < p >=< F > +vA < v >, V- < v >= 0, < v > |t=0 =< d >, < v > \S =< cp > . (1.2) По О. Рейнольдсу актуальная физическая субстанция f =< f > + f' представ- 1 г ляется как сумма осредненной < f >=— I f (r, t)dt и пульсационной f' составт j < v >t +(< v > -V) < v > +(v V v')x -(-^—) + V < p >= —-— +—Д < v >, t-T ляющих. Тем самым О. Рейнольдс ввел понятие времени осреднения T как существенную характеристику турбулентных течений. Из систем (1.1) и (1.2) естественным образом получаются уравнения для пульсаций [3]: v \ + (< v >-V)v'+ (v '-V) < v >+(v '-V)v' -< v' Jv' >x +p-1Vp' = pF '+vAv V-v' = 0, v '| t=0 = d ',v '| S = cp'. (1.3) Соответствующее суммирование систем (1.2) и (1.3) приводит к исходным уравнениям Навье - Стокса. Постулируется существование такого периода времени T , в течение которого осредненные пульсации компонент скоростей, давления и др. 1 f обращаются в нули < f' > = — I f '(r, t)dt = 0 во всех точках потока. Как в систе- T t-т му уравнений Рейнольдса (1.2), так и в систему (1.3) входят пульсационные напряжения < v'jv' >, в силу чего обе системы являются незамкнутыми. Для преодоления данного очевидного парадокса в работе [3] предложено приближенное вычисление интеграла по простой формуле прямоугольника с уточнением: 1 t T dv',(г,t)v '(г,t) < v' Jv' >= — I v' , (r, t)v '(r, t )dt = v' , (r, t)v '(r, t)---J-, T t JT 2 dt обладающей погрешностью порядка квадрата периода осреднения O (0,5T2), т. е. приемлемая точность данной формулы зависит от величины периода осреднения T. В результате такой замены выводится замкнутая система, которая в безразмерных переменных имеет вид Dg d d 'jV' < F > 1 —(—-—) + V < p >=-+ — xj 2 dt dx, Fr Re Dg д dv' ' < f ' > 1 v \ + (< v > -V)v'+ (v '-V) < v —(—J—) + V< p' >=-+—Д < v' >, 2 dt dx, Fr Re V- < v >= 0, V- v' = 0, < v > |t=0 =< d >, < v > \S =< cp > v '| t=0 = d', v '| S = cp'. В эти уравнения кроме известных критериев подобия - чисел Рейнольдса и Фруда Re = UxL /v, Fr = U2/(gL) - входит безразмерный период осреднения Dg = TUX /L , что было неизбежно. Следовательно, при моделировании турбулентных течений должно иметь место подобие и по периоду осреднения. Численные эксперименты с двумерным обтеканием пластин производились следующим образом. Предполагается (для оформления рисунков применены безындексные обозначения u = v1, v = v2), что в начальный момент времени t = 0 жидкость находится в состоянии покоя: u(x,>-,0) = 0, v(x,>-,0) = 0; набегающий поток имеет скорости x = 0, u (0, y, t) = Um exp(-b'/1), v(0, y, t) = 0, b' = const > 0; на пластинах - условия прилипания и непроницаемости u = 0, u' = 0, < u > = 0, v = 0, v' = 0, < v > = 0; на выходе потока ставятся «мягкие граничные условия» fx = 0, < f >xx = 0, f 'xx = 0, f = u; v; p ; на горизонтальных участках границы - условия равномерности потока fy = 0, < f >y = 0, f 'y = 0, f = u;v ; Считается, что начиная с некоторого момента времени t* на входе x = 0 появляются пульсационные скорости u '(0, y, t) =Z(y, t), v '(0, y, t) = 5(y, t), |Z(y, t)| = иш exp(-b'/1), < v(0, y, t) > = 0 . Применяются неравномерные сетки Qh = {x;, i = 0,..., Nx; y ■, j = 0,1,..., Ny } с шагами hxi = xi - xi-1 > 0, i = 1, Nx, hj = yj - yj-1 > 0, j = 1, Ny , сочетающиеся с сеткой по времени QT = {tn,n = 0,1,...,NT} с шагом т,tn = пт . В уравнениях динамики конвективные члены аппроксимируются со 2-м порядком точности с учетом направления потока, в полуявных монотонных разностных схемах для производных уравнения неразрывности и градиентов давления применяется принцип взаимосогласованной аппроксимации. Разностные уравнения для давления решаются итерационным методом [3, 4]. 2. Некоторые результаты расчетов Продольное обтекание пластины На эпюре рис. 1, а представлен укрупненный фрагмент поля актуальной скорости v = ui + vj в носовой части пластины на момент безразмерного времени tn = пт, полученный совместным решением уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций на сетке 140x40 с шагом т = 0,001, п = 11170, при значениях безразмерного периода времени Dg = 3т и числа Рейнольдса Re = 3000000 . На эпюре рис. 1, б отображено поле пульсационной скорости v' = u' i + v' j на тот же момент времени и безразмерных критериев подобия. Течение является сугубо не стационарным и пульсационные поля v' = u' i + v' j стохастично меняют свои направления и величины. При моделировании течений совместным решением уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций безразмерные пульсационные скорости u '(0, y, t) =Z(y, t), v '(0, y, t) = |(y, t), t >t*, |Z(y, t)| « 10-3, ||(y, t) и 10-5 вводились с момента времени, как только безразмерная скорость однородного по* тока достигала значения равного 0,3: < u (0, y, t ) > = 0,3. 0 0,2 0,4 x Рис. 1 Поперечное обтекание двух параллельных пластин На рис. 2 эпюра а отображает поле скоростей, полученное решением уравнений Навье - Стокса, эпюра б представляет актуальное поле скоростей v = ui + vj , полученное совместным решением уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций двух вертикально поставленных параллельных пластин при одних и тех же данных Fx = 0, Fy = 0, Re = 3000000, Nx = 250, Ny = 150, т = 0,001, n = 166500 с безразмерным периодом осреднения Dg = 10т . Очевидно явное различие линий тока (эпюры а и б) между этими течениями, что объясняется влиянием пульсаци-онных членов [du,2 du'v' _ Eg_d (du,2 du'v,)|n [du'v' dv,2 _ Dg_d (du'v' dv,2)|n { dx + dy 2 dt dx + dy '{ dx + dy 2 dt dx + dy ' На эпюре рис. 2, в нанесены значения пульсационных скоростей. В начальные моменты времени между пластинами образуются два вихря (рис. 3), которые затем разрушаются и переходят в течения типа рис. 2, а и б, затем снова появляются и т.д. На рис. 4 представлены статистические характеристики турбулентного обтекания двух параллельных пластин: на эпюре а поле осредненных пульсаций V< u' u' > , на эпюре б - поле осредненных пульсаций V< v' v' > , причем осреднение проведено с начала запуска возмущений в поток до момента времени t = пт, п = 216388, т = 0,001. На эпюрах рис. 5 представлены картины обтекания одиночной наклоненной под углом 45° тонкой пластины, полученные совместным решением уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций при параметрах Fx = 0, Fy = 0, Re = 3000000, Nx = 250, Ny = 150, т = 0.001, n = 145600 для безразмерного периода осреднения Dg = 100т . На рис. 5, а представлены векторы осредненных скоростей < v >=< u > i + < v > j , на рис. 5, б - векторы пульсационных скоростей v' = u' i + v' j . Максимальные значения пульсаций в следе пластины достигают порядка 10-2. ~и=1.389. 'у=0.126' ~- r=-0.519- - \ \ N --н U ^ Ни ■- . S Ч Ч n ^ / / МИ' /ЛИ: a ------------ ^ ^L 2 {т\\\\лтРл\ "и=1.42S' ■у=0.521 2 4 6 8 10 12 х ...... ............. .-г, > -1 Г 2 J_L J_I_L Рис. 2 ..I .-.и^о-шш!,, J, ;_Jt-..... J_I_I_i_1_J_i_ 1 10 12 2 2 Tl'[ VrtTi'iTI-i'i ТГГГТ1 10 Рис. 3 12 x 0 б жжМмтШ 4 1-я пластина 2-я пластина / / б Фиг. 4 а а t)'=0.0 14 4 I I 2 Г У-о.оог' f ; -Т'Т-1 6 8 Рис. 5 0 2 4 10 12 х Выводы При совместном решении уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций влияние пульсаций на увеличение коэффициента сопротивления пластины было установлено в [3]. Точность вычисления 0(0,5T2) рейнольдсовых напряжений определяется безразмерным периодом осреднения Dg . Численные эксперименты показывают, что величины возникающих в потоке пульсаций пропорциональны Dg , крупномасштабным пульсациям соответствует больший период времени T , мелкомасштабным - меньший. Очевидное преимущество применения для моделирования турбулентных течений уравнений Рейнольдса совместно с уравнениями для пульсаций заключается в отсутствии полуэмпирических констант [1] и в возможности исследования влияния пульсаций на осредненные характеристики течения. Численное экспериментирование с вариацией критерия Dg и масштабов имеющихся во внешнем потоке возмущений Z и | обеспечивают возможность моделирования конкретных физических процессов, обосновываясь на выводах [2], [6]: «... Турбулентность обнаруживается новыми физическими силами - напряжениями пульсаций. ... Правомерно любое физически оправданное осреднение пульсаций. ... Возникновение турбулентности происходит за короткое время..»

Скачать электронную версию публикации