А mapping to a round numerable polygon with the symmetry of transfer.pdf Одним из основных направлений в геометрической теории функций является задача о построении конформного отображения одной односвязной области на другую, возникшая благодаря работе Римана 1851 г. В различных приложениях теории функции комплексного переменного используются, прежде всего, отображения, построенные для конкретных областей, а также количественные оценки и качественные особенности этих отображений. В качестве области определения обычно выбирают каноническую односвязную область или единичный круг, или верхнюю полуплоскость. В данной работе получено уравнение для отображения с симметрией переноса верхней полуплоскости на круговой счетноугольник. Определение 1. Область Д назовем областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если при линейном преобразовании сдвига вида L(w)=w+2n область остается неизменной ЦД)=Д. Ограничимся рассмотрением областей типа полуплоскости, т. е. таких областей, у которых при указанном преобразовании сдвига среди всех простых концов в бесконечно удаленной точке неподвижным остается только один простой конец. Определение 2. Круговым счетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п будем называть односвязную область типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси с границей, состоящей из счетного числа дуг окружностей. Будем считать, что часть границы кругового счетноугольника с симметрией переноса от точки ю0 до точки ю0+2л состоит из конечного числа дуг окружностей. Согласно теореме Римана, существует однолистное и конформное отображение верхней полуплоскости на круговой счетноугольник. Определение 3. Отображением с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п будем называть отображение f: П+ ^ C, такое, что f (П+) = Д, где П+ = {z : Im z > 0} - верхняя комплексная полуплоскость, Д - круговой счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п. Замечание 1. Отображение с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п удовлетворяет условию [1] f(z+2пk)=f(z)+2nk, k e Z , z e П+ . Аналитическое продолжение отображения с симметрией переноса Двигаясь от ю0 к ю0+2п по границе области Д в положительном направлении, будем обозначать последовательно встречающиеся угловые точки границы через A0,A°,...,A°,A° Ф Aj + 2п, а углы области Д соответственно с^п, а2п,..., ann. Прообразы вершин Aks счетноугольника Д обозначим ак,,, s = 1,...,n, k = 0, ±1, ±2,... . Интервал, начинающийся в точке ак,,, s=1,2,...,n-1, k=0,±1,±2,..., и оканчиваюнаправо, точка a>=fz) пробегает дугу Lks границы области Д, начинающуюся в щийся в аs+j обозначим ls . Когда точка z пробегает интервал ls , двигаясь слева точке Aks так, что область Д остается слева. В силу принципа симметрии Римана -Шварца [1] отображение f(z) голоморфно вплоть до интервалов lks и аналитически продолжается через эти интервалы. Продолжим отображение f из верхней полуплоскости П+ через интервал lks в нижнюю полуплоскость П- = {z : Im z < 0} согласно принципу симметрии. Получим функцию f*(z), конформно отображающую нижнюю полуплоскость П- на круговой счетноугольник А* симметричный области А относительно Lks. Это голоморфное отображение можно снова продолжить через любой интер- 7 k' вал ls, в верхнюю полуплоскость, причем новое аналитическое продолжение f**(z) будет реализовать конформное отображение верхней полуплоскости П+ на счетноугольник А** симметричный счетноугольнику А* относительно дуги Ls,. Предположим, что мы выполнили все возможные аналитические продолжения описанного вида. В результате получится бесконечнозначная аналитическая функция, для которой исходная функция f (z) является в верхней полуплоскости одной из однозначных ветвей. Различные значения функции в точке z связаны дробно-линейным преобразованием. Заметим, что различные ветви fs, ft продолженной функции f заданные на верхней или нижней полуплоскостях, связаны дробно-линейным преобразованием fs (z) = f^ . cft (z) + d Определение 4. Пусть функция f : П+ ^ C голоморфна в верхней полуплоскости П+ и имеет производную, не принимающую значение ноль. Производной Шварца [1, с. 399] функции f в области П+ называется функция {f (z), z}=m - 2 (т.42 XJyhi f '(z) 2 ^ f'(z) Замечание 2. Производная Шварца {f(z),z} инвариантна относительно дробно-линейного преобразования функции f. В силу замечания 2 видим, что {fs, z} = {f', z}, где fs и f' - различные ветви продолженной функции f( z ), заданные в верхней или нижней полуплоскости. Таким образом, производная Шварца {f(z), z} функции f(z) является однозначной. Заметим, что f'(z) Ф 0, поэтому отображение {f(z), z } голоморфно во всей плоскости за исключением точек a1,a'k,...,a'k, k = ±1, ±2,.... Особые точки функции {f(z), z} Обозначим {f (z), z} = F(z). Изучим поведение функции F(z) в ее изолированных особых точках. Предположим сначала, что угол в вершине A образован дугами окружностей или дугой окружности и прямолинейным отрезком Aks-1Aks , AksAks+1 и имеет величину asn, as e (0,1) U (1,2). Тогда, при достаточном продолжении сторон такого угла, они пересекутся еще в некоторой точке, обозначим ее w Ak A*k . Дробно-линейным отображением ra(w) = e-переведем область w - Ak Ue (Aks) n Д, где Ue( Aks ) - некоторая окрестность точки Aks радиуса e, e > 0, в прямолинейный угол с вершиной в начале координат. Причем параметр у выберем так, чтобы точки из окрестности Ue (A^) П Д переходили в точки 0 < arg юi(z)=a)i(a)(fz))) взаимно однозначно и конформно отображает часть верхней полуплоскости z-плоскости на часть верхней полуплоскости га1-плоскости, причем k участок вещественной оси в окрестности точки as переходит в участок вещественной оси в окрестности точки ra1=0. Функция ra1(z) согласно принципу симметрии продолжается на полную окрестность точки aks и, являясь голоморфной функцией, представляется рядом ®1(z) = YlW(z - ak) + yW(z - aks )2 +..., y(s) * 0 (2) с ненулевым радиусом сходимости. В этом ряду отсутствует свободный член, так как ю1 (ak) = 0 , однако y(s) = raj (ak) * 0 , так как функция осуществляет конформное отображение. Поскольку при вещественных z вблизи точки z = aks функция ra1(z) вещественна, все коэффициенты уг( s) - вещественны. Возвращаясь к функции ю(z) = (ra1(z)), находим, что в окрестности aks функция ra(z) представима в виде ra(z) = (z-aks )a [C0s) + )(z-aks) +...]. Отсюда можно получить разложение для функции F(z) в окрестности точки аk, если учесть, что в силу замечания 2 f z}={ra,z}. Тогда получим {f, z} = + -Цт ( +h( s)( z - а^) +...), 2 (z - ^ )2 z - аГ причем коэффициенты ^ также вещественны. Выделим главную часть разложения производной Шварца в ряд Лорана по степеням z - а^ . Обозначив = Ms, s) + )(z - аk) +... = Ss (z), имеем 1 -a Ms F(z) = --+ —sT + Ss(z), (3) 2 (z - ^ )2 z - ^ где Ms - вещественный параметр, Ss (z) - голоморфная функция в окрестности k точки а8 . Предположим теперь, что угол в вершине Ask образован прямолинейными отрезками и имеет величину asn, as e (0,1) U (1,2). Тогда стороны угла при их продолжении пересекаются в бесконечно удаленной точке. В этом случае с помощью линейного преобразования ro(w) = e(w - Aks) переведем окрестность Ue (Aks) П А вершины в угловую область (1) и, таким образом, сведем данный случай к предыдущему. Наконец, рассмотрим случай, когда угол в вершине A^ имеет величину asn, где as=0,1,2, при этом прилегающие стороны могут быть дугами окружностей, дугой окружности и прямолинейным отрезком. Кроме того, если а^=2, то угол может быть образован двумя прямолинейными отрезками. В случае если угол имеет величину as=0,1,2, продолженные стороны такого угла имеют одну общую точку, т. е. они касаются в точке Ask . С помощью дробно-линейной функции ю(w) = —+ Ь переведем вершину w - а: Aks в бесконечно удаленную точку. При этом стороны, прилегающие к вершине, переходят в параллельные прямолинейные отрезки, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке. Область Ue (Aks) П А преобразуется теперь с помощью отображения ra(w) в прямолинейную полуполосу. Если выбрать а и Ь так, чтобы одна из сторон перешла в положительную вещественную полуось, а другую - в прямую ra=ic, то функция ffli(ra), определяемая равенством , c i ю1 s +—ln Ю1 = ю, п отображает эту область в верхнюю полуплоскость ю1-плоскости в окрестности точки ю1=0. Как и выше, приходим к выводу, что ra1(z)= raf(z)) голоморфна в окрестности точки аk и разлагается в окрестности этой точки в ряд (2). Записывая с помощью последнего равенства разложение для производной Шварца F(z) функции f(z), получаем опять формулу (3). Уравнение для отображения c симметрией переноса Рассмотрим функцию 1 -a2 n Ms 2 ' z - ak g (z) = F (z) - X X k=-

Скачать электронную версию публикации