On a functional on the class of pairs of functions.pdf Большое внимание в геометрической теории однолистных функций уделяется различным экстремальным задачам, в которых речь идёт об экстремумах и множествах значений функционалов, характеризующих свойства конформных отображений. Возникновение данного направления геометрической теории функций комплексной переменной связано с работами П. Кёбе, К. Каратеодори, Л. Бибер-баха, К. Лёвнера 10-х, 20-х годов прошлого столетия. В дальнейшем тематика такого рода задач получила развитие в работах как отечественных, так и зарубежных авторов (см., например, [1-3, 5-7, 9]). В настоящей работе ищется множество значений функционала Ф = ln f' (z1 )/F' (Zj). Пусть D и D - односвязные области в w-плоскости и такие, что 0eD, а . Пусть функция f принадлежит классу S, т.е. f: U ^ D - голоморфная однолистная функция, имеющая разложение в ряд f (z) = z + c2 z2 +... + cnzn + ..., а функция F принадлежит классу X, т.е. F : U* ^ D* - мероморфная однолистная функция, имеющая разложение в ряд F (Z) = z + d0 + d1 +... + dn. +..., где U = {z e С : |z| < 1} и U*={e С: |Z| > 1}. Семейство пар функций (f (z), F(Z)) такого вида назовём классом ОТ'. Целью данной работы является нахождение множества А значений функционала ф=hfM=JfMdz-JFiZk (1) F'(Z,) J f (z) J F'(Z) при фиксированных z1 e U и Z1 e U* на классе ОТ' (т.е. множество всех тех значений функционала Ф, которые он принимает, когда пара функций (f (z), F(Z)) пробегает весь класс ОТ'). Для решения поставленной задачи применяется вариационный метод Голузина [5]. _ Пусть Gc С - область и K - некоторое подмножество множества голоморфных или мероморфных в G функций. Говорят, что в классе K имеет место вариационная формула g(2, 6) — g(2) + 6R (2) + 0(2, 6), (2) если для каждой функции g(2)eK и любого достаточно малого 6, 6 > 0, функция g(2,e)eK, причём R(2) голоморфная в G функция и o(2, б)/6 ^ 0 при 6^-0 равномерно внутри G. Пусть пара функций (f (2), F (Z)) принадлежит классу ОТ'. Тогда известно [2], [см. также 3, 5, 6, 9], что при 6 положительном достаточно малом классу ОТ' также принадлежат следующие пары варьированных функций: f 5( 2) f (2) - w0 + 0(Z, 6), f (2, 6) — f (2) +S4 F(Z, 6) — F(Z) + 6A WqF(Z) . ..........(3) F (Z) - w где w0 и w0 - внешние точки соответственно для областей D и D , A - произвольная комплексная постоянная; 2f' (2) + f (2) 2 - e 1 + eZ ZF' (Z)-+ F (Z) 1 - eZ где 9, - произвольная постоянная; f (2,6) — f (2) + 6 + o( 2,6), + o(Z, 6), F (Z, 6) — F (Z) -6 (4) f 2(2) A f ( 2q) L2q f' ( 20) J 2f' ( 2) + f ( 2 ) f (2) - f (20) 2 2 A f (2,6) — f (2) + 6 - A. 2 f ( 2q ) 20 f' ( 2q) + o(2, 6), 2f'( 2) + f ( 2) f (Z, 6) — f (Z)+A I ^ f(Z) - F(Zq) 2 F (Z 0) .Zo F ' (Zo)J zF '(z) z q z + F (Z) 2 Aq ^ + F (Z) 1 -ZoZ F (Zo) Zo F '(Zo) ZF '(Z) + o(Z, 6), где 20 e U, Z0 e U*, A0 - произвольная комплексная постоянная. Отметим, что множество А значений функционала (1) не зависит от arg z1 и argZ1. Для того чтобы это показать, введём функции f (z) = ё~1 0. a A- (f (r) - Wo )2 Так как выражение, стоящее в скобках, не обращается в нуль при данном w0, то ввиду произвольности arg A0, вещественная часть этого выражения может быть сделана отрицательной. Но это противоречит тому условию, что величина |Ф-а| для функции f(2) принимает наименьшее значение. Следовательно, область D не имеет внешних точек. Подобным образом доказывается, что область D не имеет внешних точек. Нужно только рассмотреть неравенство (7) и выбрать вторую варьированную функцию из (3) в качестве функции сравнения. Лемма доказана. М 1. Вывод дифференциальных уравнений для граничных функций Используя в совокупности условие (6) с первой вариационной формулой из (5), а условие (7) со второй вариационной формулой из (5), получим систему дифференциальных уравнений для граничных функций множества А, соответствующих неособым точкам. Уравнения этой системы зависят от параметра a = arg (Ф-а). Теорема 1. Каждая граничная пара функций (f (2), F(Z)) функционала (1) удовлетворяет в U и U* системе функционально-дифференциальных уравнений -ia f (r ) (f (r) - 2 f (2) ) ( 2f' (2) У = S ( 2 ) ; № - f(r) )2 ^ f(2) ^ "(2 - r)2 Г 2 - IT' F 2(Z) (ZF ' (Z) I2 = T (Z) (F(Z) - F(P))2 Г F(Z) ) (C-p)2 где S (2) = A24 +B23 +(C + C) 22 +B2 +A, e-za 2 A = 2(e,a [H +1] - e-a [H -1]), B = e-a [jH -1]1 - 2r| + e,a j[H +1] r + 6, -ia f ( ) С = — ([H + 1]r7-[H-1] + 8r8), H = H(r) = 1 + 2r2U J L J ' f(r) t (Z) = a*z 4 + B*z9 +(c * + С* )z 2 + B*Z + A10, A* = -2 (e-a [H*+1]- P- e~ia [h* + 1]] L JP ) • B* = e" H -1 H -1 С" = — ([H* + 1]-ГH* - 1]p4), H* = H*(P) = 1 + pF(p). 2p2 ] Г ] ' F '(P) Причём правые части уравнений (8) и (9) на единичной окружности |z| = |Z| = 1 неотрицательны. Доказательство. Неравенство (6) в случае выбора первой вариационной формулы из (5) примет вид f (r) (f (r) - 2 f (zq)) - e-aAq (f (r) - f ( zq) )2 2 f e-a A0 Re r + z0 2rz0 H-0--+1 f ( zq) zq f' (zoX r - z0 (r - z0 ) Hrz0 +1 - 2rzo +1 e-a Aq f ( zq) zo f' (zo). > 0. rz0 -1 (rzo -1) Заменяя последнее слагаемое под знаком вещественной части на его сопряженное значение, имеем f (r) (f (r) - 2 f ( zq) ) - e (f (r) - f ( zq) )2 : r + z0 2rz0 H---+1 f Re A0 f ( zq) Г zo f' (zo)] (r - zo) f (r) (f (r) - 2 f (z))) zf' (z) S (z) e 2 (z - r )2 (z -1 (f (z) - f (r))2 I f (z) Записав теперь неравенство (6) совместно с первой вариационной формулой из (4), приходим к неравенству Hr-+eei +1 Re > 0 (r - e")2 re +1 2re 2re r + e H - + 1 H - +1 > 0, + e или (r - ee)2 r - e re из которого следует неотрицательность правой части уравнения (8) на единичной окружности |z| = 1. Аналогично получаем дифференциальное уравнение (9), только надо рассмотреть неравенство (7) совместно со вторыми вариационными формулами из (5) и (4). Теорема доказана. ^ На основании аналитической теории дифференциальных уравнений [4, 8] заключаем, что граничные функции f (z) и F(Q являются голоморфными не только в U и U*, но и на единичной окружности |z| = |Z| = 1 за исключением конечного числа алгебраических особых точек. Вспомним, что области D и D не имеют внешних точек. Следовательно, границы областей D и D состоят из конечного числа аналитических дуг. Введем следующие обозначения: M1 - множество конечных концевых точек f(|i), |||=1, границы области D. M2 - множество конечных концевых точек F(|), |п|=1, границы области D . Предположим, что f(|)GM1, а F(r|)eM2. Тогда существуют окрестности -Щ и АГ(г|) соответственно точек | и п, такие, что на множествах UnK(|) и U П^(п) граничные функции и их производные могут быть представлены в виде f (z) = f (ц) + (z - ц)2 [(ц) + Я:(Ц)(z -ц) +...], a0 (ц) * 0, f'(z) = (z - ц)[a0 (ц) + а'(ц) (z - ц) + .], a0 (ц) * 0 и F(Z) = F(n) + (С-П)2 [(п) + Мп)(С-П) + .], Мп) * 0, f ' (Z) = (£-пШп)(n) (Z-n)+.], b0(n) * 0. Используя разложения (10) и (11), отметим, что если f(|)eM1, а F(|)eM2, то левые части уравнений (8) и (9) имеют в точках z = ц и Z = П нули не ниже второго порядка. Следовательно, правые части уравнений в этом случае содержат множители (z -ц) и (С~п) по меньшей мере во второй степени, в то время как S (z) и T (Z) являются многочленами четвертой степени. Таким образом, граница области D и граница области D могут иметь не более двух конечных концевых точек. Рассмотрим вещественные функции (10) (11) S (e'v) T (elxv) I (Ф) = - )2 (' 1 (гф- r) (v-p J(у)=- 2' ei-ф-1 где ф, "ф, ^

Скачать электронную версию публикации