Torsion free abelian groups normally determined by their holomorphs.pdf Пусть G - абелева группа, r(G) - ее голоморф, то есть полупрямое расширение группы G с помощью группы ее автоморфизмов Aut(G). Для групповой операции в группе Aut(G) пользуемся мультипликативной записью, а для групповых операций в G и r(G) - аддитивной записью. Группу T(G) можно рассматривать как множество всех упорядоченных пар (g, ф), где geG, фeAut(G). Групповая операция в r(G) задается по правилу: (g, ф) + (h, у) = (g + ф^ фу) для любых (g, ф), (h, y)eT(G). Нейтральным элементом в T(G) является элемент (0, е) (е - тождественный автоморфизм), а элементом, противоположным элементу (g, ф), - элемент (-ф-^, ф-1). Элементы вида (g, е) образуют в голоморфе r(G) нормальную подгруппу, изоморфную группе G, а элементы вида (0, ф) - подгруппу, изоморфную группе Aut(G). Будем отождествлять эти подгруппы с группами G и Aut(G) соответственно. Понятно, что GnAut(G) = {(0, е)}. Часто вместо записи элементов группы r(G) в виде (g, е) и (0, ф) будем просто писать g и ф соответственно. Заметим, что если G - абелева группа, то она является максимальной абелевой подгруппой своего голоморфа r(G). Действительно, если допустить существование абелевой подгруппы G, голоморфа r(G) такой, что G с G, и G Ф G,, то в G, есть элемент (g, ст), не принадлежащий G, а, значит, ст Ф е. Тогда (-g, е) + (g, ст) = (0, CT)eGb В силу коммутативности G, имеем (а, е) + (0, ст) = (0, ст) + (а, е) для любого элемента aeG, то есть ста = а и, значит, ст = е. Получили противоречие. Итак, G -максимальная абелева подгруппа своего голоморфа. Отметим также, что если H - нормальная абелева подгруппа группы T(G), H,, Ф, - соответственно множества первых, вторых компонент элементов группы H, то H - характеристическая подгруппа группы G (см. [1]), Ф, - нормальная подгруппа в Aut(G). В настоящей статье рассматриваются вопросы, связанные с нормальной опре-деляемостью абелевых групп без кручения из некоторых классов своими голоморфами. Две группы называются голоморфно изоморфными, если голоморфы этих групп изоморфны. Говорят, что группа A определяется своим голоморфом в некотором классе групп ЭТ, если любая группа B из этого класса, голоморфно изоморфная группе A , изоморфна группе A . Известны примеры неизоморфных конечных некоммутативных групп, голоморфы которых изоморфны [2]. В [1] В. Миллс показал, что всякая конечно порожденная абелева группа определяется своим голоморфом в классе всех конечно порожденных абелевых групп. Ряд интересных результатов о свойствах голоморфов абелевых групп и об определяемо-сти абелевых групп своими голоморфами получен И. Х. Беккером [3-8]. Полезные результаты о голоморфах абелевых групп и голоморфах (аффинных группах) модулей содержатся в [14] и [15]. Обобщением понятия голоморфного изоморфизма является понятие почти голоморфного изоморфизма. Группы A и B называются почти голоморфно изоморфными, если каждая из них изоморфна нормальной подгруппе голоморфа другой группы. Понятно, что если две группы являются голоморфно изоморфными, то они почти голоморфно изоморфны. Обратное, вообще говоря, неверно. Почти голоморфно изоморфные конечно порожденные абелевы группы исследовались в работе В. Миллса [2]. Почти голоморфно изоморфные абелевы _р-группы изучались в работах [8] и [9]. Отметим, что если в некотором классе групп ЭТ из почти голоморфного изоморфизма двух групп следует их изоморфизм, то всякая группа из класса ЭТ определяется своим голоморфом в этом классе. Будем говорить, что группа G нормально определяется в классе ЭТ своим голоморфом, если для любой группы H из этого класса из почти голоморфного изоморфизма групп G и H следует изоморфизм самих групп G и H. Важную роль при изучении голоморфов абелевых групп играют нормальные абелевы подгруппы голоморфов. Справедливы следующие результаты. Лемма 1 [10]. Если S - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О), (a, a)eS, geG, то aa - a eS, (2a, e)eS, (0, a2)eS; (1) ag - geS; (2) a(ag - g) = ag - g; (3) ang = g + n(ag - g); (4) . . ( n(n -1) n I (a, a) = 1 na +--—(aa - a), a I; (5) 2(aa - a) = 0. (6) Лемма 2. Пусть S - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О) абелевой группы без кручения G, Sj - множество первых компонент элементов группы S. Справедливы следующие утверждения: 1) S - группа без кручения; 2) если S Ф 0, то Sj Ф 0. Доказательство. 1) Пусть (a, a)e S и n(a, a) = (0, е) для некоторого натурального числа n. Имеем (формула (5)) ( n(n -1) n I n(a, a) = | na +--(aa - a), a I . Так как G - группа без кручения, то из равенства (6) следует, что ста - а = 0 и формула (5) принимает вид n(a, ст) = (па, стп). (7) Итак, (па, стп) = (0, е). Отсюда следует, что па = 0 и стп = е. Значит, а = 0, так как G - группа без кручения. Покажем, что ст = е. По формуле (4) t,. Так как G = H', то teT(H' ). Согласно лемме 2, для типа t существует тип t2eT(H) такой, что t2 > t. Получили, что t2 > t > t,. Так как t,, t2eT(H), то существуют элементы b,, b2eH, такие, что t(b,) = t,, t(b2) = t2. Имеем t(b2) > t(b,), то есть типы элементов b, и b2 сравнимы. Учитывая условие теоремы на типы элементов группы H, получаем t(b,) = t(b2), то есть t, = t2 и, значит, t, = t. В силу произвольности выбора типа t, получаем, что H - однородная группа и ее тип равен t. ■ Следствие 6. Если G и H - однородные почти голоморфно изоморфные группы, то t(G) = t(H). Теорема 7. Пусть G = © Gt, H = © HT, где Gt и HT - однородные группы teT, t eT2 типов t и t соответственно, T, и T2 - множества, состоящие из попарно несравнимых типов. Если G и H - почти голоморфно изоморфные группы, то T, = T2. Доказательство. Группы G и H почти голоморфно изоморфны, то есть G = H', H = G', где G' и H' - нормальные абелевы подгруппы голоморфов T(G) и Г(Н) соответственно. Пусть t0eT,. Из почти голоморфного изоморфизма групп G и H следует, что t0 eT(H' ). По лемме 3 существует тип 10eT(H), такой, что t0 > t0. Предположим, что t0 e T(H) \ T2. Тогда t0 = inf{t,, t2,..., tk}, где ti e T2 (i = 1, 2, ..., к). Так как типы в T2 попарно несравнимы, то t0 < ti для всех i = 1, 2, ..., к. Имеем t, > t0 > t0. Из почти голоморфного изоморфизма групп G и H вытекает, что t, e T(G'). По лемме 3 существует тип t, eT(G), такой, что t, > t,. Возможны 2 случая: 1) Пусть t, eT,. Тогда t, > t, > t0 > t0, откуда t, > t0. Получили, что типы t0 и t, сравнимы. Это противоречит условию теоремы. 2) Пусть t,eT(G)\T,. Тогда t, = inf{t2, t3, ..., tm}, где t^eT,, j = 2, ..., да. Аналогично ранее доказанному получаем, что tj > t, для всех j = 2, ..., да. Имеем t2 > t, > t, > t0 > t0. Типы t0 и t2 принадлежат T, и сравнимы между собой. Противоречие. Значит, t0 e T2, t0 > t0. Аналогично доказывается, что для типа t0 e T2 существует тип t' eT,, такой, что t' > F0. Итак, t' > t0 > t0. Так как типы в T, попарно несравнимы, то t' = t0. Значит, t0 = t0 и справедливо включение T,cT2. Обратное включение T2cT, доказывается аналогично. Следовательно, T,=T2. ■ Рассмотрим теперь делимые части почти голоморфно изоморфных абелевых групп без кручения. Теорема 8. Если две абелевы группы почти голоморфно изоморфны и одна из них без кручения, то делимые части этих групп изоморфны. Доказательство. Пусть G - абелева группа без кручения, H - почти голоморфно изоморфная ей абелева группа. Тогда GsH', H=G', где G' и H' - нормальные подгруппы групп r(G) и Г(И) соответственно. По лемме 2 группа H также группа без кручения. Покажем, что если одна из групп G или H нередуцированная группа, то и другая группа также нередуцированная. Обозначим через D(G), D(H), D(G' ) и D(H' ) - делимые части соответственно групп G, H, G' и H', а через Gi, Ф , Hi и Т - множества всех первых, вторых компонент соответственно групп D(G' ) и D(H' ). Пусть G - нередуцированная группа, значит, H' также нередуцированная и D(H' ) Ф 0. Тогда существует (h, у)eD(Я' ), (h, у) Ф (0, е). Из делимости группы D(H' ) следует, что для любого натурального числа n существует такой элемент (an, 'n)eD(H' ), что n(an, 'n) = (h, у). Так как H - группа без кручения, то по формуле (7) имеем n(an, 'n) = (nan, ^), то есть h = nan, у = 'n . Если h Ф 0, то группа H - нередуцированная. Пусть h = 0, тогда у Ф е и 'n = у Ф е . По лемме 1 для любого элемента aeH имеем у а - aeH' и существует такой элемент h, eH, что у h, - h, Ф 0. Из формулы (4) леммы 1 получаем 'nhi = h, + n('nhi -h,) или у h, - h, = n('nhj - h,). Для ненулевого элемента у h1 - h1 группы без кручения H мы получили, что уравнение у h1 - h1 = nx разрешимо в этой группе для любого натурального числа n. Это означает, что группа H нередуцированная. Пусть (g, a)eD(G' ), (g, a) Ф (0, е). Тогда для всякого натурального числа n существует такой элемент (bn, ron)eD(G' ), что n(bn, юп) = (g, a), и отсюда следует, что nbn = g и юП = a . Значит, geD(G) и G, - делимая подгруппа группы D(G). Аналогично доказывается, что H, делимая подгруппа группы D(H). Покажем, что группа D(G' ) разложима в прямую сумму своих подгрупп G, и Ф. Рассмотрим автоморфизм n группы G, действующий следующим образом: П g = 2g, если geD(G), и n g = g, если geR(G) (G = D(G) © R(G)). Имеем -(0, n) + (2g, е) + (0, n) = (g, е), но (2g, g)eD(G'). Значит, и (g, е)бД(0'). Тогда (0, a)eD(G' ). Получаем D(G') = G, ©Ф . Аналогично D(H') = H, © Т. D(G' ) и D(H' ) - ненулевые нормальные абелевы подгруппы групп T(G) и Г(И) соответственно. Тогда G, Ф 0, Hi Ф 0 (лемма 2). Так как G, и Hi - характеристические подгруппы групп G и H, то Gi = D(G) и Hi = D(H) . Учитывая почти голоморфный изоморфизм групп G и H, имеем D(G) = D(H') = Hi ©Т = D(H) ©Т и, значит, r(D(G)) > r(D(H)). С другой стороны, D(H) = D(G') = Gj ©Ф = D(G)©Ф, и отсюда r(D(H)) > r(D(G)). Следовательно, r(D(G)) = r(D(H)), и поэтому D(G) = D(H). ■ Теорема 9. Голоморф делимой абелевой группы G без кручения не содержит ненулевых нормальных абелевых подгрупп, отличных от G. Доказательство. Пусть G' - ненулевая нормальная абелева подгруппа голоморфа ^G) делимой группы без кручения G. Обозначим через D(G' ) - делимую часть группы G'. Пусть (а, ст)eG' и (а, ст) Ф (0, е). Если ст Ф е, то существует такой элемент geG, что r(G,) = r(G). Аналогично получаем, что r(G) = r(H' ) = r(H,) + r(T,) > r(H,) = r(H). Значит, r(G) = r(H), и поэтому G = H. Следовательно, группа G нормально определяется своим голоморфом в классе вполне разложимых однородных групп. ■ Лемма 13. Пусть G = © Gf, где Gt - однородная абелева группа типа f, T feT некоторое множество попарно несравнимых типов. Тогда для всякого ненулевого элемента geG и любого типа feT, f (g) > f . Доказательство. Предположим противное. Пусть 0 Ф g0eG, f(g0) > fo для некоторого f0eT. Запишем g0 в виде g0 = gfj + gt^ +... + gt , где gt Ф 0 - элементы из различных компонент Gt , и пусть %(gt) = xi e ti, i = l, n , feT. Тогда %(go) = infx{xi, X2, •••, Xn} и, значит, f0 < t(g0) < tj. Итак, получили t, > t0, где t0, t, eT, что невозможно. ■ Обозначим через ЭТ класс вполне разложимых абелевых групп без кручения с попарно несравнимыми типами прямых слагаемых их канонических разложений. Теорема 14. Всякая группа из класса ЭТ нормально определяется своим голоморфом в этом классе. Доказательство. Пусть G = © Gt - некоторая группа из класса ЭТ, feT H = © Ht' - произвольная группа из этого класса почти голоморфно изоморфt 'eT ' ная группе G. Через Gt и Ht< обозначены однородные вполне разложимые прямые слагаемые типов t и t' групп G и H соответственно. T и T' - некоторые множества, состоящие из попарно несравнимых типов. Следовательно, T = T' согласно теореме 7. Пусть f0eT. Имеем G = H', H = G', где G' и H' - нормальные абелевы подгруппы голоморфов r(G) и Г(Я) соответственно. Обозначим через H,, Т, - множества первых, вторых компонент элементов группы H'. В группе H, найдется элемент h, Ф 0, такой, что tH, (h,) > t0 (предложение 4). Если бы tH, (h,) > t0, то Hhj) > f0, чего не может быть в силу леммы 13. Значит, tHi (h,) = t0, то есть t0eT(H,). Покажем, что если heH, и tHi (h) = t0, то h e H^ . Действительно, пусть heH, и t^ (h) = t0. Тогда по лемме 13 tn(h) = f0. Если бы h g H^ , то существовал бы тип t,eT, t, Ф t0, что h = ht + h', где 0 Ф ht e Ht , h ' e © Ht,. Поэтому 1 1 1 t'eT t' t0 = tH (h) < tH (hti) = t,, чего быть не может, так как t,, t0eT. Итак, установлено, что группа H, содержит элемент h,, такой, что tHi (h,) = t0 и h e Ht . Пусть h2 e H, n Ht , h2 Ф 0. Имеем Ht = (h,), © С , Ht = (h^, © C,. Существует автоморфизм n группы H, отображающий (h,)* на (h2)*. Так как H, -характеристическая подгруппа группы H, то tH^ (h,) = tH^ (nh,). Но s(n h,) = да^ для некоторых целых чисел s и да, и поэтому tHi (h2) = t^ (nh,) = tHi (h,) = t0. Значит, H, n H^ - однородная группа и t(H, n H^) = t0. В силу леммы 11 r (H, n Ht0) = r (Ht0). Так как G = H', то по лемме 13 в группе H' нет элементов, типы которых больше t0. Группа H, © изоморфно вкладывается в H'. При этом вложении образ всякого элемента из H, n H^ имеет тип t0 в группе H'. Таким образом, r (G^) > r (H, n H^) = r (H^). Аналогично получаем, что r (Ht ) > r (Gt ). В силу произвольности типа t0 из T имеем G = H. ■ В теореме 14 рассматривались вполне разложимые группы из класса ЭТ. Результат этой теоремы нельзя перенести на произвольные вполне разложимые группы. Лемма 15. Пусть G=A © B, где A - характеристическая подгруппа группы G, S(A) ={(a^)er(G)|aeA,(V0"eA)ста = a, (3neHom(B,A))(VbeB)стЬ = b +nb}. Тогда S(A) - нормальная абелева подгруппа голоморфа группы G и S(А) = A © С, где С = Hom(B, A). Доказательство. Покажем, что S(A) - подгруппа голоморфа группы T(G). Пусть (а, ст) и (a,, i^eS^). Тогда (а, ст)-(а,, ст,)=(а-стст-1а1, стст-1) = (а - а,, стст-1). Для всякого элемента geA имеем стст-^ = g . Пусть beB и ст b = b + n b, ст, b = b + n b, где n, n,eHom(B, A). Имеем ст-1Ь = b -ст-1п1Ь = b -n,b . Итак, стст1-1Ь = ст(Ь -n,b) = b +nb — n,b = b + (n-n)b . Значит, (a, ст) - (a,, i^eSA и S(A) - подгруппа группы T(G). Если (a,, ст,) и (a2, ст2) - элементы группы S(A), то ст,ст2 = ст2ст,. Имеем (а,, ст,) + (а2, ст2) = (а,+а2, ст,ст2) и (а2, ст2) + (а,, ст,) = (а2+аь ст2ст,). Значит, S(A) -абелева подгруппа группы T(G). Покажем, что S(A) - нормальная подгруппа группы T(G). Пусть (g, ф) - произвольный элемент из T(G). Рассмотрим сумму - (g, ф) + (а, ст) + (g, ф) = (- ф"^ + + ф-1а + ф^стстд, ф-1ст ф) = (а, ст). Элемент g как элемент прямой суммы запишем в виде а0 + b0, где a0eA, b0eB. Получаем ф-1

Скачать электронную версию публикации