On approximately integrable SO(3) structures on 5-dimensional manifolds.pdf Традиционно в геометрии большой интерес представляют римановы многообразия с некоторой дополнительно заданной структурой, согласованной с метрикой. Примером может служить почти комплексная структура, согласованная с метрикой. Соответствующая структурная группа действует неприводимо на касательных пространствах многообразия. Для нечетномерного аналога - контактной метрической структуры - структурная группа действует приводимо - она имеет два инвариантных подпространства: контактную плоскость и направление Риба. Интересно, что в случае пятимерного риманова многообразия существует [1] структура, у которой структурной группой является SO(3), и она действует неприводимо. Эта структура представляет интерес в контексте характеристических связностей и специальной неинтегрируемой геометрии [5]. В данной работе рассматривается такая неприводимая 5О(3)-структура на пятимерном многообразии и изучаются свойства ее структурного тензора. Неприводимое представление группы SO(3) в пространстве R5 основано на том, что векторное пространство R5 изоморфно множеству действительных симметричных бесследовых матриц порядка 3. Изоморфизм устанавливается следующим образом: ( Л -х -Л Х = (х1,...,х5) о- ст(Х) = (1) л/3 + х4 "л/3' Неприводимое представление р на R задается формулой p(h)X = ha(X)h~\h e SO(3). Для элемента X рассмотрим характеристический полином матрицы а(Х) [1]: rs /о РХ (X) = det(a( X) -X/) = -X3 +Xg (X, X) + ~9~ Т (X, X, X). Этот полином инвариантен относительно SO(3) действия, заданного представлением р. Поэтому его коэффициенты являются SO(3)-инвариантными. Квадратичная часть g(X, X) - это стандартное скалярное произведение на R5, 2 2 2 2 2 g (X, X) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 , а свободный член Y имеет вид 1 зТЗ" ,Х,Х) =1 х1 (6х22 + 6х42 -2х12 -Зх32 -Зх52) + 3-2-х4(х52 -х32) + зТ3х2х3х5. Он определяет симметричный 3-линейный ковариантный тензор Y ■ Л, j,k=1 Vk где (е1,..., е5} - дуальный корепер к стандартному ортонормированному реперу (е1, е2, е3, е4, е5} пространства R5. Отметим основные свойства тензора Y, полученные в работе [1]. Свертка тензора Y по любым его двум индексам равна нулю. Чтобы сформулировать следующее свойство, нам потребуется тензор YX = iXY , полученный сверткой с вектором X: YX (•, •) = Y(X, •, •). Поскольку мы считаем фиксированным ортонор-мированный репер, то симметричная 2-форма Y^- естественным образом отождествляется с эндоморфизмом пространства R5. Поэтому можно брать композиции таких эндоморфизмов Y^-, в частности можно рассматривать квадраты эндоморфизмов (Yx)2. Тогда для всех XeR5 имеет место равенство ^Х)2Х = g(X,X)X. При действии SO(5) группа изотропии тензора Y совпадает с группой SO(3), неприводимо вложенной в SO(5), т.е. так, как описано выше. Это позволяет определить неприводимую SO(3)-структуру на пятимерном ориентированном римано-вом многообразии (M,g), задавая в каждой точке такой тензор Y. Определение 1 [1]. Неприводимой SO(3)-структурой на 5-мерном римановом многообразии (M,g) называется тензорное поле Y типа (0,3), для которого линейное отображениеX^YXe End(TM),XeTM, имеет следующие свойства: 1) Симметричность: g(X, YyZ) = g(Z,YYX) = g(X, YZY). 2) Нулевой след: tr(YX)=0. 3) Для любого векторного поля Хе ТМ имеет место равенство YX2X = g(XX)X. В [1] показано, что в каждом касательном пространстве можно выбрать адаптированный базис (е1, е2, е3, е4, е5}, т.е. такой, в котором метрика g и тензор Y будут иметь канонический вид, а именно g, = б,- и т=2 e'(6

Скачать электронную версию публикации