Purely transcendental extensions of the field of rational numbers as base fields of csp-rings.pdf Пусть L - некоторое бесконечное множество простых чисел. Для числа р е L зафиксируем кольцо Кр , совпадающее либо с кольцом целых р-адических чисел, либо с некоторым кольцом вычетов по модулю р' (для разных простых р число t может быть разным). Введём обозначения К=ПКр , T=0 Кр с К . pеЬ pеЬ Будем называть csp-кольцом каждое подкольцо R кольца К, такое, что T с R и R /Т является полем. Поле R /T, а также всякое изоморфное ему поле назовём базовым полем csp-кольца R. Очевидно, что всякое базовое поле (иначе говоря, поле, вкладывающееся в К /T в качестве подкольца) имеет характеристику нуль и мощность не выше мощности континуума с. Всякое csp-кольцо, имеющее поле рациональных чисел своим базовым полем, называют кольцом псевдорациональных чисел. Кольца псевдорациональных чисел были введены А. А. Фоминым [1] и П. А. Крыловым [2] в конце 1990-х годов для изучения некоторых классов смешанных абелевых групп (в частности, sp-групп). Позже П. А. Крылов предложил рассматривать csp-кольца (как обобщение колец псевдорациональных чисел). Изучая базовые поля csp-колец, можем воспользоваться доказанным в [3] фактом, согласно которому базовое поле csp-кольца будет также базовым полем некоторого регулярного (в смысле фон Неймана) csp-кольца. Нетрудно заметить, что csp-кольцо регулярно тогда и только тогда, когда для каждого р е L кольцо Кр есть поле вычетов Z;) = Z /pZ. Поэтому далее мы ограничимся ситуацией Кь =nzр , TL =0 ZсКь . (1) pеЬ pеЬ В [3] автором было доказано, что чисто трансцендентное расширение поля рациональных чисел Q степени трансцендентности < К1 является базовым полем некоторого регулярного csp-кольца. Данная работа посвящена улучшению оценки К1. Для этого введём кардинальную характеристику ieL и исследуем её свойства. 1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями». 2 Работа выполнена частично в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета. 1. Кардинальные характеристики континуума Пусть N = {1, 2, ... , m, ...} есть множество всех натуральных чисел. Зададим отношение частичного порядка ^ на множестве Nn всех отображений N ^ N: считаем, что z тогда и только тогда, когда почти для всех i e N выполнено z'(i) < z(i). Множество E с Nn назовём ограниченным, если существует функция z e Nn, для которой Z zX (i) при всех i е N, то ieL > ieX . Доказательство. Из условия следует, что существует сюръекция ^ Кх, сохраняющая отношение и. Отсюда получаем требуемое утверждение. ■ Замечание. Условие леммы 1.2 можно ослабить. Например, вместо условия zL (i) > zX (i) достаточно потребовать, чтобы для некоторого натурального s при всех i е N выполнялось zL (si) > zX (i). Для кеKь через D(k) будем обозначать множество всех dеKь, таких, что пр(к) ф n^d ) почти для всех р е L; очевидно, что множество B с К обладает свойством (4) тогда и только тогда, когда при всех к еК1^ выполнено B D(^. Заметим, что множество Di всех dеК1^ , таких, что пр(к) ф n^d) при всех р > i, является замкнутым и не содержит внутренних точек, т. е. нигде не плотно в К . При этом D^) совпадает с объединением множеств Di по всем i е N и поэтому является множеством первой категории. Предложение 1.3. non(M) > ieL для всякого L с N. Доказательство. Пусть B с KL есть множество второй категории, имеющее мощность non(M ). Так как D(k) является множеством первой категории, имеем B ^ D(k) для любого k gKl . Следовательно, B обладает свойством (4) и, значит, ieLcov(N). Доказательство. Пусть множество B с KL имеет мощность ieL и обладает свойством (4). В этом случае для всякого k gKl найдётся элемент d g B, такой, что k и d, т. е. k gKl\D(d). Поэтому KL совпадает с объединением множеств KL\D(d) по всем d g B. Поскольку каждое из множеств KL\D(d) имеет меру 0, получаем, что cov( N)

Скачать электронную версию публикации