Influense of the circulation zone on settling velocity of fine particle in bidisperse suspension.pdf В горнодобывающей промышленности и в химическом производстве широко применяются гидроциклоны, в основе принципа работы которых лежит сепарация частиц твёрдой фазы во вращающемся потоке жидкости [1]. При работе малоразмерных гидроциклонов качество разделения частиц по размерам в области тонких фракций ухудшается, что ведет к росту сепарационной функции с уменьшением размера частиц [2, 3]. Аномальный рост сепарационной функции связывают с тем, что имеет место ускоренная седиментация мелких частиц, служащая причиной усиленного выноса мелкой фракции суспензии вместе с крупной фракцией из гидроциклона [3, 4]. Механизм процесса ускоренной седиментации мелких частиц не совсем изучен. Для объяснения этого эффекта в работе [5] была предложена ячеистая модель, построенная на определении среднего времени пребывания мелкой частицы в ячейке, окружающей крупную частицу, и последующего определения средней скорости оседания мелкой частицы. В [6] ускоренная седиментация мелких частиц объяснялась их удержанием в погранслое крупной частицы, которое имело место для чисел Re < 25. При последующем увеличении числа Рейнольдса наблюдается отрыв погранслоя, и мелкие частицы не в состоянии удерживаться в окрестности крупной частицы. Другим объяснением ускоренного оседания можно считать захват крупной частицей мелких, попадающих в гидродинамический след, образующийся за крупной частицей при числах Re > 25 [7]. Целью данной работы является исследование циркуляционной зоны, возникающей при обтекании сферической частицы ламинарным потоком несжимаемой жидкости, и определение среднеобъемной скорости оседания мелких частиц при седиментации бидисперсной суспензии на основе ячеистой модели. Математическая постановка задачи Рассматривается задача о стационарном обтекании сферы ламинарным потоком вязкой несжимаемой жидкости в диапазоне чисел Рейнольдса от 0 до 1000. Система уравнений, описывающая течение вязкой несжимаемой жидкости для осесимметричного приближения в цилиндрической системе координат, имеет вид [8] Vr ^+Vz ^+1 dp = v(v2vr -dr dz p dr V r 2 dV dV 1 dp /2т Vr—- + V,—- + - ',т72т = v(v2Vz), (1 dr dz p dz 1 f (,V, = 0. r dr dz где v 2, 1 A( r 2 r dr v dr J dz 2 Область интегрирования системы уравнений (1), представленная на рис. 1, ограничена входной границей AB, выходной границей BC, осью симметрии AE u DC, а также контуром тела ED. B A E D z Рис. 1. Область численного интегрирования C На границе области задаются следующие граничные условия: На твердой стенке (ED): -R < z < Rj, r = VR2 - z2 , Vr = 0, Vz = 0. На входной границе (AB): -R2 < z < 0, r = ^2 -z2, Vr = 0, Vz = U0. На выходной границе (BC): Г~2-2 dV dV 0 < z < R2, r = VR22 -z2 , = 0, —^ = 0. dz dz На оси симметрии AE u DC: dV7 dp -R2 < z < -Rj, R1 < z 25 [7, 11] происходит образование циркуляционной зоны за кормовой частью сферы, которая обусловлена отрывом погранслоя от поверхности сферы. На рис. 3 приведена зависимость относительного объема циркуляционной зоны f (Re) = ицирк/исф от числа Рейнольдса Re. Размер циркуляционной зоны монотонно увеличивается при увеличении значения Re. Величина относительного объема циркуляционной зоны аппроксимируется полиномом второй степени в диапазоне Re = 25 -г- 1000 с коэффициентом детерминации Я2 = 0,9998: Re ( Re J2 f (Re) =-0,258 +1,017--3,78-10-21-I . (2) v У 100 I100) Как следует из формулы (2), циркуляционная зона начинает образовываться при Re* = 25,6. Размер циркуляционной зоны можно также характеризовать ее длиной, определяемой как расстояние от кормовой точки сферы D (рис. 1) до точки пересечения предельной линии тока циркуляционной зоны с осью симметрии, отнесенной к диаметру сферы. На рис. 4 приведена зависимость длины циркуляционной зоны L(Re) от числа Рейнольдса. Результаты численного моделирования, показанные в виде кружочков, аппроксимируются с коэффициентом детерминации Я2 = 0,9997 зависимостью ( 28 778 J L(Re) = 2,858exp rVt J. 10 1 0.1 10 100 Re 1000 Рис. 2. Зависимость коэффициента сопротивления сферы от числа Рейнольдса. 1 - формула Шиллера - Науманна; 2 - численное решение 1 сп 100 Результаты экспериментов, выполненных Танедой [12] для Re от 40 до 100, изображены на рис. 4 в виде треугольников. Видно хорошее согласование между расчетными и экспериментальными данными. С увеличением числа Рейнольдса в диапазоне от 10 до 1000 наблюдается увеличение длины циркуляционной зоны, скорость роста которой снижается при приближении значения Re к 1000. 6 2 0 200 400 600 Re 800 1000 Рис. 3. Зависимость объема циркуляционной зоны от числа Рейнольдса. 1 - данные численного эксперимента; 2 - аппроксимационная кривая. 0 f 4 8 Re Рис. 4. Зависимость длины циркуляционной зоны от числа Рейнольдса. 1 - численный эксперимент; 2 - аппроксимационная кривая; 3 - данные эксперимента [12] Скорость седиментации мелких частиц в бидисперсной суспензии Рассмотрим седиментацию бидисперсной суспензии, состоящей из смеси крупных частиц диаметром dc и мелких частиц диаметром df. Вокруг каждой крупной частицы построим сферическую ячейку радиуса R (рис. 5). B Рис. 5. Схема сферической ячейки: 1 - циркуляционная зона; 2 - свободный объем сферической ячейки; 3 - крупная частица Предположим, что при совместном оседании мелкие частицы, попавшие в циркуляционную зону, образовавшуюся за крупной частицей, имеют скорость оседания такую же, как и крупная частица Uc ~ (dc)2, а другие мелкие частицы оседают со своей собственной скоростью Uf ~(df)2. Пусть рассматриваемая ячейка имеет объем ит, а циркуляционная зона - объем ицирк < ияч,. Тогда среднеобъемная скорость оседания мелкой частицы в ячейке будет определяться выражением исф f (Re^ ияч -исф f (Re) сф -Uc + Uf сф < U f >= сф /Л2 f (Re) f (Re) < Uf >. Uf сф сф или df V J / ияч - и, ияч - и. сф сф Поскольку объемная доля крупной частицы выражается через объем ячейки и объем самой частицы соотношением: ac = исф/ияч , то V У -1 < Uf > acf (Re) (3) U 1 -ac 1 -ac f df V f / Как видно из формулы (3), средняя скорость оседания мелких частиц увеличивается пропорционально отношению квадратов диаметров крупной и мелкой частиц, что находится в согласии с экспериментальными данными работы [13], полученными для водо-песчаной суспензии в тарельчатой центрифуге. Из (2) и (3) также следует, что средняя скорость оседания мелких частиц будет монотонно возрастать с увеличением числа Рейнольдса и объемной доли крупных частиц. Границы применимости формулы (3) определяются тем, что циркуляционная зона 1 (рис. 5) должна полностью находиться внутри сферической ячейки 2, т.е. dcL (Re) + dc 12 < R , откуда следует ограничение на объемную долю крупных час тиц в зависимости от числа Рейнольдса: 1 (4) ac m -k, 1 -am (Re) 1 -am (Re) k = (dc/df )2 -1. На рис. 6 показана зависимость максимального значения средней скорости седиментации мелких частиц от числа Re при различных значениях k. Видно, что зависимость носит немонотонный характер, что объясняется различной скоростью нарастания длины и объема циркуляционной зоны при увеличении числа Рейнольдса. 50 ООО 1 AAA 2 ООО 3 ■вО ОС) 30 m 20 ) о о о »> в о о о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 400 600 Re 0 800 1000 Рис. 6. Максимально возможная скорость седиментации мелких частиц при k: 1 -100, 2 - 500, 3 - 1000 Заключение На основе численного моделирования обтекания несжимаемой жидкостью сферической частицы получены характерные размеры (объем и длина) циркуляционной зоны, формирующейся в кормовой части сферы, в зависимости от числа Рейнольдса для 25 < Re < 1000. Получена формула для скорости оседания мелких частиц в присутствии оседающих крупных частиц (случай бидисперсной суспензии) в предположении, что мелкие частицы, попавшие в циркуляционную зону, оседают со скоростью крупных частиц. Получено выражение для максимального прироста скорости оседания мелких частиц в зависимости от числа Рейнольдса.

Скачать электронную версию публикации