The problem of estimating the curvature of the level line under conformal mappings of a circle.pdf Посвящаем памяти профессора, доктора физико-математических наук уважаемого Василия Васильевича Черникова, проработавшего в Томском университете более сорока лет. Среди плоских топологических отображений областей богатством приложений в задачах механики сплошных сред, теплопроводности и т.д. выделяются отображения с сохранением в соответствующих друг другу точках величин углов, то есть конформные отображения. Все односвязные области D с С , имеющие на своей границе более одной точки, конформно эквивалентны, в частности, единичному кругу E = {z е С: |z| < 1}. Конформные отображения голоморфны и однолистны. Среди таких отображений имеется единственное, удовлетворяющее условиям f (0) = w0, arg f' (0) = a , где w0 е D и ае [0,2п) - фиксированные числа. Линейное преобразование w-плоскости позволяет из подобных друг другу областей выделить области, содержащие точку нуль и имеющие в ней конформный радиус равный единице. Множество отображений из круга E на такие области образует класс S голоморфных однолистных отображений f: E ^ С , w = f (z) = = z + c2 (f )z2 +... + cn (f )zn +.... Класс S является компактным относительно равномерной сходимости внутри E, но не обладает свойством линейности и, возможно, этим объясняется трудность решения многих геометрических и экстремальных задач, относящихся к S. Потребовалось развитие новых методов (метод структурных формул, метод площадей, метод параметрических представлений, метод внутренних вариаций и другие) для исследования и решения таких задач. 1. Постановка задачи Отдельное направление исследований сформировалось вокруг задачи об оценке кривизны линии уровня L( f r) - образа окружности |z|=r , 0 < r < 1, относительно голоморфного однолистного отображения f е S и, следовательно, L(f r) - аналитическая замкнутая жорданова кривая. Точная формулировка задачи следующая. Фиксируется точка z0 е E, 0 < r < 1, и для каждого отображения f е S подсчитывается кривизна K (f, z0) линии уровня L( f r) в точке f (z0). Нужно найти точную верхнюю K (S, z0), точную нижнюю K (S, z0) оценки кривизны K (f, z0), f е S , и указать отображения, на которых они реализуются. Простая по постановке экстремальная задача о кривизне в классе S с более чем полувековой историей остается одной из нерешенных задач в геометрической теории однолистных отображений. Из определения кривизны кривой в точке получается для K (f, z0) формула ■0 f "(z0 )) f' (z0) . K (f, z0 ) = , Re 1 + - 0 f '(z0 )| Из понятия кривизны кривой следует, что на выпуклых дугах линии уровня L(f r) кривизна положительна, на вогнутых - отрицательна. В классе S при 0 < r < 2 —s/3 все L (f, r) выпуклы, а при 2 — V3 < r < 1 имеются L( f r) с вогнутой дугой (например, для отображения f (z) = z (1—eia z) ). Поэтому K(S,r)>0 и K (S ,r)> 0 при 0 < r < 2 — >/з, а при 2 — л/3 < r < 1 будет K (S, r )< 0 и K (S, r )> 0. Известно, что величины K (S, z0) и K (S, z0) не зависят от аргумента точки z0. Таким образом, задача об оценке кривизны линии уровня в классе S сводится к нахождению множества (S) = D (S, r) значений функционала ( ,„w„\A i + fid f (r ) Re (1) \rf '(r ) v s ^ ж, A (f ) = Множество значений функционала (1) совпадает с D(S,r) = [K(S,r),K(S,r) . Класс S обладает свойством линейной инвариантности, то есть отображение f е S тогда и только тогда, когда отображение g е S, где сегментом ie ( ( f V v — f (r ) 1 — z0 z J Я (z ) = — (1 — r 2 )f (r ) Используя это свойство, задачу о кривизне линии уровня можно сформулировать в следующем виде: найти множество значений функционала 1 — 2 12 (f)= (r))Re(1 + r2 — 2rc2 (f)), C2 (f) f''( 0) 12: s (2) Так как K (S, r ) = min 11 (f ) = min 12 (f), K (S, r ) = max 11 (f ) = max 12 (f), то множество 12 (S) совпадает с D (S, r). Из формул (1) и (2) следует, что для решения поставленной задачи достаточно найти, например, множество значений функционала 13: S ^ С, 13 (f) = | f (r )| + i Re c2 (f) или множество значений функционала + rfd 1 v f (r )) и завершить нахождение K (S, r), K (S, r), используя стандартные методы действительного анализа. Рассматриваемая задача об оценке кривизны линии уровня естественным образом обобщается до следующей. Пусть у - достаточно гладкая кривая в E с уравнением z = ф(s), проходящая через точку z0 =ф(s0), и k(z0) - кривизна кривой у в точке z0. Пусть Г( f) образ кривой у относительно отображения f е S. Тогда для кривизны K (f, z0;у) кривой Г(f) в точке f (z0) имеет место формула ( \ W I ч|, / ч т ф'(s0 0)f" (z0) |ф (s0 )k (z0 ) +Im f > (zo ) K (f, zc; y) = уг. (5) k'(sQ )f '(zq ) Задача состоит в нахождении K (S, zq;y) и K (S, zc;y) , в частности для образов радиусов круга E (задача о кривизне ортогональных траекторий). 2. Решение задачи о кривизне в подклассах класса S и других классах Область D с С называют выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки из D, принадлежит D. Пусть SQ с S, p е N , - множество отображений из E на выпуклые области, обладающие р-кратной симметрией вращения относительно точки нуль. Кривые L (f, r) для f е SQ , 0 < r < 1, выпуклы. В.А. Зморович [6] получил следующие значения для K(SQ,zQ) и K (S0p, zQ): (3) 14 (f ) = | f '(r )) + i Re 14 : S ^ С , (4) 1 - rp 2-1 K (Sp, zq ) = ^ (1+rp) 2 -1 1 + rp .(1- rp) (1 + rp) если ^ rp /1—y2 K (5 K (5 5 = q = e e = V1 — u 2 , v = V1 — v2 , ю = V1 — с u = v 1 — u , v = V1 — v , со = v 1 — ю . Ю.А. Мартынов [13] вариационным методом в классе Va отображений с ограниченным вращением порядка a, 0

Скачать электронную версию публикации