Conformal mapping onto a circular polygon with double simmetry.pdf Решается задача о построении конформного отображения единичного круга E = е C :| 1< 1} на Jn-угольник, граница которого состоит из дуг окружностей, обладающий n-кратной симметрией вращения относительно точки w = 0, n е N \ {1}, и симметрией относительно прямой l = {w е C: argw = —}. Такие обn ласти будем называть круговыми многоугольниками с двойной симметрией. Конформное отображение на круговой многоугольник с двойной симметрией находит приложения в задаче Сен-Венана о кручении стержня, в гидродинамике и задачах теплопроводности. Известны точные и приближенные решения задачи о кручении стержня для разнообразных сечений: в форме эллипса, различных многоугольников, областей, обладающих симметрией вращения и др. Заметим, что некоторые из рассматриваемых в этих задачах областей с симметрией вращения являются частными случаями кругового многоугольника с двойной симметрией. Seth B.R. [1] решает задачу о кручении однородного стержня с поперечным сечением в форме правильного n-угольника с прямолинейной границей. Решение представлено медленно сходящимися рядами Тейлора. W.A. Bassali [2] решает задачу о кручении стержня для некоторых сечений, обладающих симметрией вращения и имеющих криволинейную границу, аппроксимируемую дугами окружностей. Формула Шварца - Кристоффеля записана K. Lee [3] для правильных n-угольников с прямолинейной границей и n-кратной симметрией вращения и применяется в задаче о кручении стержня. Задачу о кручении стержня, в сечении которого область с прямолинейной границей в форме правильного n-угольника, циклического n х m-угольника (многоугольник с n-кратной симметрией вращения и n х m числом вершин), решает Hassenpflug W.C. [4] с привлечением интеграла Шварца - Кристоффеля, интеграла Трефтца, алгебры сверток. И.А. Александров [5] решает задачу о кручении стержня с поперечным сечением в форме правильного кругового n-угольника с помощью конформного отображения, в этой же монографии В.В. Соболев предлагает новый численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной односвязной областью сечения. Дифференциальное уравнение типа уравнения Левнера получено И.А. Александровым, Г.Д. Садритдиновой [6] для отображения единичного круга на область с n-кратной симметрией вращения. Задачу Сен-Венана для стержней, в сечении которых правильный многоугольник со скругленными углами, решает C.Y. Wang [7] с помощью метода Ритца. В настоящей работе конформное отображение единичного круга на круговой многоугольник с двойной симметрией строится с помощью функции Шварца и принципа симметрии Римана - Шварца. Определение 1. Пусть функция w голоморфна в области G, G с C и имеет производную, не принимающую значение нуль. Производной Шварца функции w в области G называется функция {w( * z} = WM - 3 f WM W'(z) 2 ^ w'(z). Определение 2. Функцией Шварца [8, c. 105] называют функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению {w, z} = 2I (ф, у, ц, z), (1) . 1 -ф2 1 -у2 1 -ф2-у2 + ц2 где I (ф, у, ц, z) =—+--=—- + ^ т г- 4 z 2 4(1 - z)2 4 z(1 - z) ф, у, ц e [-2,2]. Замечание 1. Пусть f1,f2 - два линейно-независимых решения уравнения f"(z) +1 (ф, у, ц, z) f (z) = 0. f (z) Положим w( z) = —-, тогда имеем f2( z) {w, z} = 2I (ф, у, ц, z). Замечание 2. Г.А. Шварц показал, что функция Шварца w отображает верхнюю полуплоскость на треугольник, ограниченный тремя дугами окружностей (некоторые из них могут вырождаться в отрезки прямой). Внутренние углы треугольника в точках, соответствующих точкам z = 0, 1, да, равны фп, уп, цп. Верно и обратное, если функция отображает верхнюю полуплоскость на круговой треугольник, то она является функцией Шварца и удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Для конформного отображения единичного круга на круговой многоугольник с двойной симметрией получен следующий результат. Теорема. Пусть функция w(£) голоморфно и однолистно отображает единичный круг E = {§ e C :| 1< 1} на круговой многоугольник D с двойной сим метрией, n e N \ {1}, так, что w(1) = 1, w ( п\ г— e n = r e n , где 1, r e n - вершины многоугольника D с углами 2фп, 2уп при них соответственно, ф, у £ [0,1], . п . п sin—sin уп- cos фп- cos уп cos — r =-n-Тогда функция w(£) имеет вид . п . п sin—sin фп - cos уп - cos фп cos— n n { \ w0(z) w( z) =-^--, (2) cw0 (z) + d 11 i 1 t+— . X— 11 n (1 — t) "т—4 z — t) ndt где w0( z) = - —T—1—1 I tT (1 — t) n (z — t)X dt 0 z = z© = 1(2-Г —n ) т = —1 + n(1 — ф + у) x = 1 — n(1 — ф — 4 2n 2n sinтп — rsinV^—i-j ( ei — 1)Гf X +1 — 11г(т +1 + 11sinfx—+ — r en sin тп — r sin V^—i- j r e n Г(т + 1)Г(Х +1)^e n sin тп — sin ^тп + — Г - гамма-функция. Доказательство. Обозначим за Q(k 5) двуугольник Q(k 5) = е C: kп< arg < яп}, 0 < k < 5 < 1. Запишем отображение z = z(£) сектора круга E П Q( 11 на верхнюю полуплосf 0,— 1 кость П+ = (z е C : Im z > 0} . Отображение Z© = ln£ переводит сектор круга E П Q( 11 на полуполосу {Z е C :ReZ

Скачать электронную версию публикации