Fields on surfaces that are in a point correspondence.pdf В предшествующей статье [1] в основу моделирования деформации сотовой панели положено отношение метрических дифференциальных форм двух поверхностей, находящихся в локальном точечном соответствии. Инвариантные величины - экстремальные значения указанного отношения (в [1] выпала ссылка на всем хорошо известную монографию Вениамина Федоровича Кагана [2, с. 117-118], в связи с чем приносим глубочайшие извинения внимательным читателям). В предлагаемой работе рассмотрены величины, традиционно относимые к «внешней» геометрии поверхностей, а именно, инварианты, находящие истолкование в привлечении вторых квадратичных форм поверхностей. Вообще понятие математической модели процесса или явления предполагает приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, а также прогнозирования и управления [3, 7] (рис. 1). Рис. 1. Примерная схема использования математических моделей 1.0. Обоснования постановки задачи Рассматривая общие принципы формирования тела с сотовым заполнителем, необходимо расширить постановку задачи. В самом деле, если иметь в виду только свойства, характерные для упомянутых устройств, то область значений получаемых результатов неизбежно сжимается, их невозможно прилагать к ситуациям, не буквально копирующим те, что положены в основу, но претендующим на сходство в существенных чертах. Достаточно ознакомиться с некоторыми конструкциями, основанными на сотовом заполнении, как становится ясным многообразие черт, слишком большое, чтобы подогнать его под одну модель. Все большее распространение получают параболические антенны, способ изготовления которых основан на обмазывании параболической болванки несколькими слоями специфической смеси эпоксидной смолы и углепластика с должным выдерживанием в тепловом режиме - в расчете на то, что итоговая форма точно воспроизведёт исходную поверхность. Исследование указанных конструкций, опираясь только на свойства сотовой панели как таковой, вряд ли эффективно, поскольку неизбежно наличие системы швов в местах стыков отдельных искривленных кусков сотовых панелей и влияние швов может оказаться весомым. У сотовых панелей есть весьма надежная ниша в самолетостроении, судостроении, других отраслях промышленности. В частности. в строительстве широко применяются конструкции с заполнителем. Впервые появившиеся в 30-х годах ХХ века панели с сотовым заполнителем получили большое распространение только в 50-х годах с разработкой трехслойной сэндвич-панели (рис. 2). Опыт эксплуатации и различные исследования (к примеру, [4, 5]) позволили выявить основные преимущества подобных панелей. Конструкции с заполнителем при относительно небольшой массе обладают высокими характеристиками прочности и жесткости. Несущие слои, подкрепленные заполнителем, испытывают высокие напряжения сжатия, превышающие предел упругости материала. Вследствие уменьшения числа стыков и опорных элементов сокращается трудоемкость разработки чертежей и изготовления. Также конструкции с заполнителем обладают хорошими вибрационными и радиотехническими характеристиками, звуко- и теплоизоляционными свойствами. 1.1. Применение конструкций с заполнителем в летательных аппаратах Конструкции с заполнителем, особенно с сотовым (схематичный вид на рис. 2), применяются в самолетах различных классов и назначения независимо от компоновочно-конструктивной схемы. Площадь поверхности таких конструкций в планере самолета достаточно велика, а относительная масса конструкций с сотовым заполнителем ткз, как видно из диаграммы на рис. 3 [6], составляет большую долю массы конструкции планера самолета. Рис. 2. Трехслойная сэндвич-панель. А - панель в сборе, В - лицевые поверхности, С - заполнитель Рис. 3. Относительная масса конструкций с заполнителем в планере самолетов Конструкции с заполнителем применяют в качестве силовых элементов в крыле, фюзеляже, оперении (обшивка, лонжероны, шпангоуты, нервюры, стенки), особенно в агрегатах, воспринимающих местную нагрузку (закрылки, элероны, щитки, рули, различные обтекатели) и поперечную распределенную нагрузку (полы грузовой и пассажирской кабины, каналы воздухозаборника), а также в качестве несиловых элементов (детали интерьера, элементы крепления оборудования) (рис. 4). Рис. 4. Применение конструкций с заполнителем [6]: а - истребитель-перехватчик SAAB-37 «Вигген»; б - истребитель-бомбардировщик F-111A; в - пассажирский самолет ИЛ-96-300; г - космический корабль «Спейс Шаттл»; 1 - клееные конструкции с сотовым заполнителем 1.2. Применение конструкций с заполнителем в строительстве Конструкции с заполнителем применяют в строительстве зданий как в качестве ограждающих, так и в качестве несущих конструкций (стены, перегородки, перекрытия, полы и др.). Несущие слои выполняют из различных металлических материалов, стеклопластиков, асбестоцемента, фанеры, гипсовой штукатурки и др. Заполнитель изготавливают из крафт-бумаги, картона, тканей, пропитанных смолами. Применение конструкций с древесно-бумажным сотовым заполнителем особенно эффективно в малоэтажном строительстве. По сравнению с типовыми здания из конструкций с заполнителем в 1,4-1,5 раза дешевле; в 2-3 раза меньше удельная трудоемкость их строительства; в 3-4 раза сокращается расход древесины и в 2-3 раза уменьшается масса основных сборных элементов здания. А-А 3 Т! ^ № о о K1 геодезическая окружность «малого» радиуса, окружающая точку второй поверхности, сжимается относительно окружности того же радиуса на первой поверхности. При K2 < K1 - наоборот. Рис. 8. Поле первых экстремумов совместной кривизны k(J,2 > Рис. 9. Поле вторых экстремумов совместной кривизны k (J,2) Рис. 11. Поле вторых экстремумов совместной кривизны k(2,1) Рис. 12. Тройка линий - аналогов окружностей, -присоединенная к участку сотовой панели Рис. 14. Тройка линий - аналогов окружностей, -присоединенная к участку сотовой панели. Изгиб с отрицательной гауссовой кривизной Л Рис. 13. Тройка линий - аналогов окружностей, -присоединенная к участку сотовой панели. Изгиб с положительной гауссовой кривизной Мы предлагаем существенно более простой подход к характеризации изменений формы сотовой панели. Панель моделируется парой поверхностей, соответствующих параллелизмом касательных плоскостей. Соответствующие точки соединяем отрезками равной длины, ортогональными обеим поверхностям. Локально обе эти поверхности и срединную поверхность относим к ортогональным криволинейным координатам (u, v). На срединной поверхности задаем линию (u - u0)2 + (v - v0)2 = a2. На ограничивающих поверхностях получаем соответствующие ей линии - аналоги окружностей. 3. Векторные поля Первым важным источником векторных полей являются уравнения главных направлений (6) и (8). На каждой из двух поверхностей, находящихся в (u,v) -соответствии, получаем пару ортогональных касательных векторных поля. Их интегральные кривые имеют аналогию с линиями кривизны [10] теории поверхностей. Естественно поэтому назвать их линиями совместной кривизны. Всякое (достаточно гладкое) скалярное поле на поверхности порождает на ней векторное поле градиента. Пусть на поверхности r = r (u, v) e С1 задано скалярное поле ф = ф(u,v). Для метрического тензора f"2 ИE G1 lg21 g22 ) lF G) обратным является тензор -п -121 1 f G -F 21 g22 ) EG - F2 l-F E Как доказано в [10, с. 363-364], градиент скалярного поля ф = ф(^ v) на поверхности есть касательный вектор a = alr„ + a2 r. 1 п дф 12 дф 2 21 дф 22 дф причем a1 = g11 ^ + g^2 , a2 = g21 -£- + g22 . дu ду дu ду Данный вектор не зависит от выбора координат на поверхности u1, u2 и определяет инвариантное векторное поле на поверхности (рис. 15). Ф=сош1 Рис. 15, проясняющий связь поля градиента функции ф с линиями уровня этой функции Обратимся к понятиям из теории дифференцируемых многообразий. Пусть в некоторой области U дифференцируемого многообразия M m задано гладкое касательное векторное поле V. Хорошо известно [7-9, 11], что интегральной кривой векторного поля V называется гладкая параметризованная кривая x _ ф(е), (-е0

Скачать электронную версию публикации