Special functions generated by rising and central factorial powers
Replacing in the well-known series cosx = Y----, sinx = Y---- falling n=0 (2n)! n=0 (2n +1)! factorial powers (m! = m ) by rising and central factorial powers (m and m respectively), да (_1)nx2n да (_1)nx2n+1 да (_1)nx2n we obtain real functions Cos x = Y -- - , Sin x = Y ----=, Cosc x = Y -- .-„-,, n=0 (2n) n=0(2n + 1)+ П=0(2п) да (_1)nx2n+1 and Sinc x = Y^---tz-rr. П=0(2п + 1)+ In this paper, we consider the non-elementary Fresnel-type integral functions Cj(x) = |Cos1dt, S1(x) = |Sin1dt, C2(x) = JCosc1dt, S2(x) = JSinc1dt. We prove the 0 0 0 0 following formulas: Q(x) = 4 (cos^C + srn^S f|))-x, = 4 (srn^C g)-co^S f|)j, C2(x) = x - Xl^ fl,5;l,5,9;-xl], S2(x) = xL^ f 3,1;5,7,7;_xL 20 ^ 4 3 3 4 27 / 3 ^4 6 6 4 27 where C(p) and S(p) are Fresnel integrals and 2F3(a1,a2;b1,b2,b3;z) is a generalized hypergeometric function. We also show that functions C1(x), S1(x) are solutions of the ordinary linear second-order differential equations 4xy" - 4y'+xy =- x - 4 and 4xy'- 4y'+xy = 4x, respectively, and the functions C2( x), S2( x) are solutions of the ordinary linear fourth-order differential equations 27xyV -135xy"+(16x + 339)y" -384y'=-384 and 27xy - 81xy"'+ (16x +177x)y' + + (32x -192)y' = 0, respectively.
Keywords
возрастающая факториальная степень,
центральная факториальная степень,
интегралы Френеля,
обобщенная гипергеометрическая функция,
задача Коши,
rising factorial power,
central factorial power,
Fresnel integrals,
generalized hyper-geometric function,
Cauchy problemAuthors
| Goy Taras Petrovych | Vasyl Stefanyk Precarpathian National University | tarasgoy@yahoo.com |
Всего: 1
References
Гой Т.П. HoBi функцй, породжеш зростаючими фактoрiалами, та 1х властивостi // Буко-винский мат. журн. 2013. Т. 1. № 1-2. С. 28-33.
Гой Т.П. Неелементарш функцй, породжеш центральним фактoрiальними степенями // Вестник Харьковского нац. университета имени В.Н. Каразина. Серия «Математика, прикладная математика и механика». 2014. № 1133. С. 131-139.
Гой Т.П. О центральных факториальных степенях и некоторых их применениях // Меж-вуз. сб. науч. трудов «Математика и математическое образование. Теория и практика». Ярославль: Изд-во ЯГТУ. 2014. Вып. 9. С. 30-35.
Goy T.P., Zatorsky К.А. New integral functions generated by rising factorial powers // Карпатские мат. публикации. 2013. Т. 5. № 2. C. 217-224.
Goy T.P., Zatorsky R.A. On a nonelementary function of the Dawson's integral type // Вестник Киевского нац. университета имени Т. Шевченко. Серия «Физико-математические науки». 2014. Вып. 1. С. 15-19.
Гой Т.П. 1нтеграли вщ функцш, породжених зростаючими фактoрiальними степенями // Таврический вестник информатики и математики. 2014. Т. 24. № 1. С. 14-22.
Гой Т.П. Hoвi функцй, означен при дoпoмoзi фактoрiальних степешв // Математическое и компьютерное моделирование. Серия «Физико-математические науки». 2014. Вып. 11. С. 18-29.
Гой Т.П. О дифференциальных уравнениях функций, определенных с помощью возрастающих и центральных факториалов // Материалы Междунар. конф. «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях». Ч. 1. Воронеж: ФГБОУ ВПО «ВГЛТА», 2014. С. 58-61.
Jordan C. Calculus of Finite Differences. N.Y.: Chelsea Publishing, 1939.
Steffensen J.F. On the definition of the central factorial // J. Inst. Actuaries. 1933. V. 64. No. 2. P. 165-168.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основания информатики. М.: Мир, 1998. 703 с.
Заторський Р.А., Малярчук О.Р. Фактoрiальнi степеш та трикутш матриц // Карпатские мат. публикации. 2009. Т.1. № 2. С. 217-224.
Comtet L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. D. Reider Publishing, 1974.
Roman S. The Umbral Calculus. Academic Press, 1984.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицями / под ред. М. Абрамовиц и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. 1973. 294 с.
