Fully transitive, transitive abelian groups and some their generalizations | Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika – Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2016. № 4(42).

Fully transitive, transitive abelian groups and some their generalizations

In the study of Abelian groups, the fact that homomorphisms mapping subgroups of a group into this group can be extended to an endomorphism of the whole group is an important property of homomorphisms. For example, (fully) transitive torsion-free groups can be defined as groups in which all (homomorphisms) height-preserving homomorphisms from any pure rank 1 subgroup into this group are extended to (endomorphisms) automorphisms of the group. In this paper, some equivalent feasibility conditions for a group to be (fully) transitive, endo transitive, or weakly transitive are given. Relations between these notions are also shown. It is easy to show that a direct summand of a fully transitive group is a fully transitive group. There exist transitive p-groups which have a nontransitive direct summand. At the same time, the question whether the class of torsion free transitive groups is closed with respect to taking direct summands remains open. In this paper, some necessary and sufficient conditions under which a direct summand of an arbitrary transitive group is a transitive group are proposed. There is a well-known Corner's criterion on (full) transitivity of a reduced p-group. Below, this result is generalized to arbitrary reduced Abelian groups.

Download file

Counter downloads: 269

Keywords

абелева группа, (вполне) транзитивность, эндотранзи-тивность, слабая транзитивность, автоморфизм, abelian group, (fully) transitive, endotransitive, weakly transitive, automorphism

Authors

Name	Organization	E-mail
Misyakov Victor Mikhajlovich	Tomsk State University	mvm@mail.tsu.ru

Всего: 1

References

Kaplansky I. Infinite abelian groups. Ann. Arbor: Michigan, 1954.

Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сборник аспирантских работ по математике. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1973. С. 15-20.

Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения, II // Абелевы группы и модули. Томск: Изд.-во Том. ун-та, 1985. Вып. 5. С. 31-41.

Corner A.L.S. The independence of Kaplansly's notions of transitivity and fully transitivity // Quart. J. Math. Oxford. 1976. V. 27. No. 105. P. 15-20.

Carroll D., Goldsmith B. On transitive and fully transitive abelian p-groups // Proc. Royal Irish Academy. 1996. V. 96A. No. 1. P. 33-41.

Danchev P.V., Goldsmith B. On socle-regularity and some notions of transitivity for Abelian p -groups // J. Commut. Algebra. 2011. V. 3. No. 3. P. 301-319.

Files S., Goldsmith B. Transitive and fully transitive groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. No. 6. P. 1605-1610.

Goldsmith B., Strungmann L. Some transitivity results for torsion Abelian groups // Houston J. Math. 2007. V. 33. No. 4. P. 941-957.

Griffith P. Transitive and fully transitive primary abelian groups // Pacific J. Math. 1968. V. 25. No. 2. P. 249-254.

Hill P. On transitive and fully transitive primary groups // Proc. Am. Math. Soc. 1969. V. 22. No. 2. P. 414-417.

Paras A., Strungmann L. Fully transitive p-groups with finite first Ulm subgroup // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 131. P. 371-377.

Danchev P., Goldsmith B. On projectively fully transitive Abelian p-groups // Results Math. 2013. V. 63. Issue 3. P. 1109-1130.

Meggiben C. A nontransitive, fully transitive primary group // Journ. Algebra. 1969. V. 13. P. 571-574.

Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск: Изд.-во Том. ун-та. 1986. Вып. 4. С. 36-53.

Крылов П.А. Некоторые примеры квазисервантно инъективных и транзитивных абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1988. С. 81-99.

Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 5. С. 549-560.

Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1982. C. 56-92.

Чехлов А.Р. Вполне транзитивные группы без кручения конечного р-ранга // Алгебра и логика. 2001. Т.40. № 6. C. 698-715.

Chekhlov A.R., Danchev P.V. On abelian groups having all proper fully invariant subgroups isomorphic // Communications in Algebra. 2015. V. 43. Issue 12. P. 5059-5073.

Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714-719.

Gobel R., Shelah S. Uniquely Transitive Torsion-free Abelian Groups. URL: http://www. arXiv:math/0404259 (дата обращения: 02.04.2016).

Hausen J. E-transitive torsion-free abelian groups // J. Algebra. 1987. V. 107. P. 17-27.

Dugas M., Shelah S. E-transitive groups in L // Contemp. Math. 1989. V. 87. P. 191-199.

Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. C. 944-949.

F1les S. On trasitive mixed abelian groups // Abelian Group Theory: Proceedings of the International Conference at Colorado Springs. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. 1996. V. 182. P. 243-251.

Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундам. и прикл. мат. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 407-473.

Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. О вполне транзитивных абелевых группах // Абелевы группы и модули. 1986. C. 12-27.

Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. Вполне транзитивность прямых произведений абелевых групп // Абелевы группы и модули. 1991. C. 23-30.

Мисяков В.М. Вполне транзитивность редуцированных абелевых групп // Абелевы группы и модули. 1994. С. 134-156.

Goldsm1th B., Strungmann L. Torsion-free weakly transitive abelian groups // Communications in Algebra. 2005. V. 33. P. 1177-1191.

Meehan C., Strungmann L. Rational rings related to weakly transitive torsion-free groups // Journal of Algebra and Its Applications. 2009. V. 8. No. 5. P. 723-732.

Чехлов А.Р. Слабо транзитивные E-энгелевы абелевы группы без кручения // Матем. заметки. 2013. Т. 94. Вып. 4. С. 620-627.

Chekhlov A.R., Danchev P.V. On commutator fully transitive Abelian groups // J. Group Theory. 2015. V. 18. P. 623-647.

F1les S. Transitivity and full transitivity for nontorsion modules // J. Algebra. 1997. V. 197. P. 468-478.

Hennecke G., Strungmann L. Transitivity and full transitivity for p-local modules // Archiv der Mathematik. 2000. V. 74. P. 321-329.

Крылов П.А., Михалёв А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец. Томск: Томский государственный университет, 2002. 464 c.

Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. T. I. 335 с.

Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир. 1977. T. II. 416 с.