Closedness of sums of unbounded operators acting on different variables in the spaces of square-integrable functions of several variables
Let Q ' and Q"" be some Lebesgue measurable sets in the metric spaces R and R. respectively. and A be a linear operator in the space L2(Q'). We define an operator A in the space L2(Q 'xQ" ) on the basis of equalities (Af)(x) = Af(x") (f е D(A). x" е Q'). where D(A) is the domain of the operator A . These equations mean that an element f е L2(Q' x Q'' ) represented by a function f (x") with values in D(A) belongs to the set D(A) if there exists an element g е L2(Q'xQ'' ) represented by the function g(x") such that the pointwise equalities g(x") = Af (x'') are satisfied almost everywhere in the Lebesgue measure on the set Q" . Then. A f = g. Similarly. using a linear operator B acting in the space L2(Q"). we define an operator B in the space L2(Q' x Q'' ). It is proved that the sum of operators A + B defined on the set D (A)n D (B) is closed if the operators A and B are generators of some C0-semigroups of contractions; here, the operator B is selfadjoint and has a purely point spectrum. For example, if the operator At, (Atf )(t) = f' (t), is defined on absolutely continuous functions f (t) e L2(It ) (IT = [0,T ]) such that f(t) e L2(IT) and f (0) = 0, as well as on equivalent functions and operator By , (By f)(y) = -f'(y), is defined on absolutely continuously differentiable functions f (y) e L2( IY) (IY = [0,Y ]) such that f'(y) e L2 and f'(0) - X0f (0) = 0, f' (0) + Xrf (0) = 0 (0 0,Xr <ю ), as well as on equivalent functions, the sum of differential operators Д + By is closed. The closure of the operator Д + By is used as a coefficient in operator-differential equations in the formulation of problems of multidimensional non-stationary heat conduction. We have studied smoothness of functions included in the domains of powers of operators At + By . It is proved that if f (y,t) e D((At + By)) (n > 2), then, almost everywhere on the set Ir x IT , there exist derivatives d't f (l = 1, n -1) equivalent to functions absolutely continuous on Ir x IT .
Keywords
замкнутый линейный оператор,
сумма операторов,
генератор С0-полугруппы,
область определения оператора,
closed linear operator,
sum of operators,
generator of C0-semigroup,
domain of definition of operatorAuthors
| Ivanov Dmitrii Yurievich | Moscow State Academy of Water Transport | ivanovdyu@yandex.ru |
Всего: 1
References
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 400 с.
Клемент Ф., Хейманс Х., Ангенент С., Дуйн К., Пахтер Б. Однопараметрические уравнения. Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: Мир, 1992. 351 с.
Иванов Д.Ю. Решение двумерных краевых задач, соответствующих начально-краевым задачам диффузии на прямом цилиндре // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1094-1103.
Иванов Д.Ю. Использование векторных потенциалов для решения двумерной задачи Робена. описывающей теплопроводность в прямом цилиндре // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 3. С. 8-14.
Иванов Д.Ю. Экономичный метод вычисления операторов. разрешающих некоторые задачи теплопроводности в прямых цилиндрах // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2014. № 9. С. 16-32.
Иванов Д.Ю. Вычисление операторов. разрешающих задачи теплопроводности в прямых цилиндрах. с использованием полугрупповой симметрии // Известия Московского государственного технического университета МАМИ. 2014. Т. 4. № 4(22). С. 26-38.
Иванов Д.Ю. Устойчивая разрешимость в пространствах дифференцируемых функций некоторых двумерных интегральных уравнений теплопроводности с операторно-полугрупповым ядром // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 6(38). С. 33-45.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир. 1977. 360 с.
Лянце В.Э., Сторож О.Г. Методы теории неограниченных операторов. Киев: Наукова думка. 1982. 210 с.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир. 1982. 428 с.
Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967. 464 с.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с.
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука. 1979. 685 с.
Виленкин Н.Я., Горин Е.А., Костюченко А.Г., Красносельский М.А., Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. Серия: Справочная математическая библиотека / под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука. 1964. 425 с.
Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: ГИФМЛ. 1959. 655 с.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 543 с.
