Stress components and loading restrictions at the vertices of regular triangular and quadrangular pyramids | Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika – Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2018. № 56. DOI: 10.17223/19988621/56/9

Stress components and loading restrictions at the vertices of regular triangular and quadrangular pyramids

A special point of structural element (the vertex of a polyhedron) is considered as an ordinary point of deformable body representing an infinitely small particle obtained by contracting elementary volume to a point. Using this concept, the stress state at the vertices of regular triangular and quadrangular pyramids is studied in the case of a surface loading of the lateral faces of pyramids. It is shown that the stress state at the vertices of polyhedra is fully known for any loading. This fact leads to a non-classical formulation of the problem of solid mechanics for such structural elements. The conditions for load vector components are proposed, which provide the correct problem statements within the solid mechanics. The particular cases of the loading of considered structural elements are introduced. The obtained solutions are found to be in a good agreement with known analytical results. The reported results will find application in the formulation of solid mechanics problems containing vertices (recesses) in the shape of polyhedra, in particular, when studying the interaction of the Berkovich and Vickers indenters with samples.

Download file

Counter downloads: 174

Keywords

многогранник, особые точки, сингулярность, элементарный объем, неклассические задачи, polyhedron, singular points, singularity, elementary volume, non-classical problems

Authors

Name	Organization	E-mail
Pestrenin Vaiery Mihayiovich	Perm State National Research University	PestreninVM@mail.ru
Pestrenina Irena Viadimirovna	Perm State National Research University	IPestrenina@gmail.com
Landik Lidia Viadimirovna	Perm State National Research University	LidiaLandik@gmail.com

Всего: 3

References

Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners in extension // J. App. Mech. 1952. V. 19. P. 526-528.

Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра // Прикладная математика и механика. 1967. № 1. С. 178-186.

Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1967. 402 c.

Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. матем. об-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.

Bogy D.B. Two edge-bonded elastic wedges of different materials and wedge angles under surface tractions // Trans. ASME. Ser. E. 1971. V. 38. No. 2. P. 377-386.

Cook T.S., Erdogan F. Stresses in boded materials with a crack perpendicular to the interface // Int. J. Eng. Sci. 1972. V. 10. No. 8. P. 677-696.

Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребра // ДАН СССР. 1976. Т. 229. № 1. С. 33-36.

Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

Чобанян К.С. Напряжения в составных упругих телах. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1987. 338 с.

Шемякин Е.И. О краевых задачах теории упругости для областей с угловыми точками (плоская деформация) // Докл. АН. 1996. Т. 347. № 3. С. 342-345.

Hideo Koguchi, Takashi Muramoto. The order of stress singularity near the vertex in three-dimensional joints // Int. J. Solids and Structures. 2000. V. 37(35). P. 4737-4762. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(99)00159-6.

Barut A., Guven I., Madenci E. Analysis of singular stress fields at junctions of multiple dissimilar materials under mechanical and thermal loading // Int. J. of Solid and Structures. 2001. V. 38. No. 50-51. P. 9077-9109.

Shannon S., Peron V. and Yosibash Z. Singular asymptotic solution along an elliptical edge for the Laplace equation in 3-D // Engineering Fracture Mechanics. 2015. No. 134. P. 174-185.

Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - I: Removal, interpretation and analysis // App. Mech. Rev. 2004. V. 57. No. 4. P. 251-297.

Shannon S., Peron V. and Yosibash Z. The Laplace equation in 3-D domains with cracks: Dual singularities with log terms and extraction of corresponding edge flux intensity functions // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2016. V. 34. P. 4951-4963.

Xu L.R., Kuai H., Sengupta S. Dissimilar material joints with and without free-edge stress singularities: Part II. An integrated numerical analysis // Experimental Mechanics. 2004. V. 44. No. 6. P. 616-621.

Christian Mittelstedt, Wilfried Becker. Efficient computation of order and mode of three-dimensional stress singularities in linear elasticity by the boundary finite element method // Int. J. Solids and Structures. 2006. V. 43(10). P. 2868-2903. DOI: 10.1016/j.ijsolstr. 2005.05.059.

Yongwoo Lee, Insu Jeon, Seyoung Im. The stress intensities of three-dimensional corner singularities in a laminated composite // Int. J. Solids and Structures. 2006. V. 43(9). P. 2710-2722. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2005.06.050.

Paggi M., Carpinteri A. On the stress singularities at multimaterial interfaces and related analogies with fluid dynamics and diffusion // Mech. Rev. 2008. V. 61. 22 p. DOI: 10.1115/1.2885134.

Zhixue Wu. A method for eliminating the effect of 3-D bi-material interface corner geometries on stress singularity // Engineering Fracture Mechanics. 2005. V. 73(7). P. 953-962. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2005.10.010.

Hideo Koguchi, Joviano Antonio da Costa. Analysis of the stress singularity field at a vertex in 3D-bonded structures having a slanted side surface // Int. J. Solids and Structures. 2010. V. 47. P. 3131-3140. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.07.015.

Коваленко М.Д., Галаджиев С.В., Гоголева О.С., Трубников Д.В. Особенности напряженного состояния в конечных областях вблизи угловых точек границы // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т. 17. № 1. С. 53-60.

Андреев А.В. Суперпозиция степенно-логарифмических и степенных сингулярных решений в двумерных задачах теории упругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2013. № 1. С. 5-30.

Рязанцева Е.А. Метод граничных состояний в задачах теории упругости с сингулярно-стями физического и геометрического характера: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. Липецк, 2015. 215 с.

Федоров А.Ю. Исследование и оптимизация напряженного состояния в окрестности особых точек упругих тел :дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. Пермь, 2016. 157 с.

Xu W., Tong Z., Leung, A.Y.T., Xu X., Zhou Z. Evaluation of the stress singularity of an interface V-notch in a bimaterial plate under bending // Engineering Fracture Mechanics. 2016. V. 168. P. 11-25. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2016.09.009.

He Z., Kotousov A. On Evaluation of Stress Intensity Factor from In-Plane and Transverse Surface Displacements // Experimental Mechanics. 2016. V. 56(8). P. 1385-1393. DOI: 10.1007/s11340-016-0176-8.

Dimitrov A., Andra H., SchnackE. Efficient computation of order and mode of corner singularities in 3D-elasticity // Int. J. Num. Meth. Engng. 2001. V. 52(8). P. 805-827.

Apel Т.,Mehrmann V., WatkinsD. Structured eigenvalue methods for the computation of corner singularities in 3D anisotropic elastic structures // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2002. No. 191. P. 4459-4473.

Ковалев Б.Д. Формирование Эйлеровой гидродинамики // Исследования по истории механики: сб. статей. М.: Наука, 1983. С. 146-167.

Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Нестандартные задачи для однородных элементов конструкций с особенностями в виде клиньев в условиях плоской задачи // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 1(27). С. 95-109.

Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины составного клина с жестко защемленными образующими // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2016. № 3. С. 131-147. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.09.

Pestrenin V.M., Pestrenina I.V., LandikL.V. (2017) Stress state at the vertex of a composite wedge, one side of which slides without friction along a rigid surface // Latin American J. Solids and Structures. V. 14. No. 11. P. 2067-2088. DOI: 10.1590/1679-78253826.

Pestrenin V.M., Pestrenina I.V., Landik L.V. Nonstandart problems for structural elements with spatial composite ribs // Mechanics of Composite Materials. 2015. V. 51. No. 4. P. 489504.

Pestrenin V.M., Pestrenina I.V. Constraints on stress components at the internal singular point of an elastic compound structure // Mechanics of Composite Materials. 2017. V. 53. No. 1. P. 107-116. DOI: 10.1007 / s11029-017-9644-1.

Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Ограничения на параметры напряженного состояния в вершине кругового конуса // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 52. С. 89-101. DOI: 10.17223/ 19988621/52/9.