Asymptotics of the solution of the singularly perturbed Cauchy problem in the case of a change in the stability, when the eigenvalues have poles | Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika – Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/3

Asymptotics of the solution of the singularly perturbed Cauchy problem in the case of a change in the stability, when the eigenvalues have poles

In this paper, the Cauchy problem for a normal system of two linear inhomogeneous ordinary differential equations with a small parameter at the derivative is considered. The coefficient matrix of the linear part of the system has complex conjugate eigenvalues. These eigenvalues have poles in the complex plane. The real parts of the complex conjugate eigenvalues in the considered interval change signs from negative to positive ones. A singularly perturbed Cauchy problem is investigated in the case of instability, i.e., when the asymptotic stability condition is violated. The aim of the research is to construct the principal term of the asymptotic behavior of the Cauchy problem solution when the asymptotic stability condition is violated and to prove that the solution of the singularly perturbed Cauchy problem is asymptotically close to the solution of the limit system on a sufficiently large interval when the asymptotic stability of the stationary point in the plane of “rapid motions” is violated. In the study, methods of the stationary phase, saddle point, successive approximations, and L.S. Pontryagin's idea - the transition to a complex plane - are applied. An asymptotic estimate is obtained for the solution of a singularly perturbed Cauchy problem in the case where the asymptotic stability of a stationary point in the plane of “rapid motions” is violated. The principal term of the asymptotic expansion of the solution is constructed. It has a positive power with respect to a small parameter. The asymptotic proximity of the solution of the singularly perturbed Cauchy problem to the solution of the limit system on a sufficiently large interval is proved when the asymptotic stability of the stationary point in the plane of “rapid motions” is violated. The obtained results can find applications in chemical kinetics, in the study of Ziegler's pendulum, etc. AMS Mathematical Subject Classification: MSC 34D15, 34D05 34E05, 34M60, 34E10, 34A12

Download file

Counter downloads: 302

Keywords

асимптотическое поведение, сингулярно возмущенная задача Коши, сингулярное возмущение, малый параметр, система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной, асимптотическая устойчивость, комплексно-сопряженные собственные значения, asymptotic behavior, singularly perturbed Cauchy problem, singular perturbation, small parameter, system of ordinary differential equations with a small parameter at the derivative, asymptotic stability, complex conjugate eigenvalues

Authors

Name	Organization	E-mail
Tursunov Dilmurat A.	Osh State University	tdaosh@gmail.com

Всего: 1

References

Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Математический сборник. 1948. Т. 22 (64). С. 193-204.

Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений содержащих малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. Т. 31(73). № 3. С. 575-586.

Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209. № 3. С. 576-579.

Ривкинд В.Я., Новиков С.П., Петков В.М., Мясников В.П., Федорюк М.В., Кучеренко В.В., Давыдов А.А., Нейштадт А.И., Кружков С.Н., Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Сухов Ю.М., Шухов А.Г., Вайнберг Б.Р., Бахтин В.И., Вайнштейн А.Г., Шапиро Б.З., Кондратьев Б.З., Олейник О.А., Вишик М.И., Куксин С.Б., Королев А.Г., Ильяшенко Ю.С. Заседания семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики // УМН. 1985. Т. 40 № 5(245). C. 295-307.

Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I // Диф. урав. 1987. Т. 23. № 12. C. 2060-2067

Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях II // Диф. урав. 1988. Т. 24. № 2. C. 226-233.

Нейштадт А.И., Сидоренко В.В. Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера / Препринт. М.: Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша, 1995.

Neishtadt A.I. Sidorenko V.V. Stability loss delay in a Ziegler systemi // J. App. Maths. Mechs. 1997. V. 61. No. 1. P. 15-25.

Ziegler H. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik // Ing. Archiv 1952. V. 20. N 1. S. 49-56.

Арнольд В.И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. 1986. Т. 5. С. 5-218.

Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Асимптотическое интегрирование линейных задач в области «неустойчивости» // Изв. АН КиргССР. 1983. № 3. С. 14-29.

Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. М.: Наука, 1990. 128 c.

Турсунов Д.А., Турсунов Э.А. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных задач при нарушении условия устойчивости // Естественные и технические науки. 2007. № 3(29). С. 12-16.

Турсунов Д.А. Асимптотика решения задачи Коши при нарушении устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 54. C. 46-57. DOI: 10.17223/19988621/54/4.

Alybaev K.; Murzabaeva A. Singularly perturbed first-order equations in complex domains that lose their uniqueness under degeneracy // AIP Conference Proceedings. 2018. V. 1997. No. 1. DOI: 10.1063/1.5049070.

Талиев А.А. Затягивание потери устойчивости для сингулярно возмущенных уравнений с непрерывными правыми частями // Вестник Томского гос. ун- та. Математика и механика. 2014. № 4 (30). C. 36-42.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.Ф. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 739 с.