Dirichlet problem for the multudimensional Helmholtz equation with one singular coefficient | Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika – Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2019. № 62. DOI: 10.17223/19988621/62/5

Dirichlet problem for the multudimensional Helmholtz equation with one singular coefficient

In the study of boundary value problems for elliptic equations with singular coefficients, fundamental solutions play an important role, which is expressed by hypergeometric functions of one, two, or more variables depending on the number of the singularity. An interesting case is the Helmholtz equation with one or two singularities, and many authors solved various boundary value problems for a two-dimensional Helmholtz equation. However, relatively few works are devoted to the study of an equation with one singular coefficient, when the dimension of the equation exceeds three. The main obstacle in this direction is the lack of explicit fundamental solutions for the multidimensional Helmholtz equation with at least one singular coefficient. Fundamental solutions for the multidimensional Helmholtz equation with one singular coefficient in the half-space were found recently. In this paper, the Dirichlet problem for the abovementioned elliptic equation in a finite simply connected domain is studied. Using the properties of one of the fundamental solutions, the Green function was constructed. With the help of the function, the solution of the problem in a finite region bounded by the multidimensional hemisphere is found in an explicit form.

Download file

Counter downloads: 157

Keywords

многомерное уравнение Гельмгольца с одним сингулярным коэффициентом, задача Дирихле, фундаментальное решение, формула Гаусса - Остроградского, функция Грина, multidimensional Helmholtz equation with one singular coefficient, Dirichlet problem, fundamental solution, Gauss-Ostrogradsky formula, Green function

Authors

Name	Organization	E-mail
Ergashev Tuhtasin G.	V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics	ertuhtasin@mail.ru
Safarbayeva Nigora M.	Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers	akmal09.07.85@mail.ru

Всего: 2

References

Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961.

Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973.

Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

Gilbert R.P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. New York, London: Academic Press, 1969.

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Hasanov A. Fundamental solutions for degenerated elliptic equation with two perpendicular lines of degeneration // Int. J. Applied Mathematics and Statistics. 2008. V. 13 (8). P. 41 -49.

Hasanov A. Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2007. 52(8). P. 673-683. DOI: 10.1080/ 17476930701300375.

Urinov A.K., Karimov E.T. On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter // Applied Mathematical Letters. 2011. V. 24. P. 314-319. DOI: 10.1016/ j.aml.2010.10.013.

Salakhitdinov M.S., Hasanov A. A solution of the Neumann-Dirichlet boundary value problem for generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2008. V. 53(4). P. 355-364. DOI: 10.1080 /17476930701769041.

Salakhitdinov M.S., Hasanov A. The Dirichlet problem for the generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Eurasian Mathematical Journal. 2012. V. 3(4). P. 99-110.

Салахитдинов М.С., Хасанов А. Краевая задача ND1 для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13(1). C.109-116.

Лернер М.Е., Репин О.А. Нелокальные краевые задачи на вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37(11). C. 1562-1564.

Репин О.А., Лернер М.Е. О задаче Дирихле для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца в первом квадранте // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 1998. № 6. C. 5-8. DOI: 10.14498∕vsgtu1.

Эргашев Т.Г. Обобщенные решения одного вырождающегося гиперболического урав нения второго рода со спектральным параметром // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 46. C. 41-49. DOI: 10.17223/19988621/46/6.

Эргашев Т.Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. C. 45-56. DOI: 10.17223 /19988621/50/4.

Mavlyaviev R.M., Garipov I.B. Fundamental solutions of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2017. V. 62(3). P. 284-296. DOI:10.1080/17476933.2016.1218853.

Ergashev T.G., Hasanov A. Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation // Uzbek Mathematical Journal. 2018. No. 1. P. 55-64.

Ergashev T.G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2019. № 77. P. 69-76. DOI: 10.1016/j.camwa.2018.09.014.

Уринов А.К., Эргашев Т.Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. С.45-56. DOI 10.17223/19988621/55/5.

Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973.

Ситник С.М., Шишкина Э.Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2019. 224 с.

Agostinelli С. Integrazione dell'equazione differenziale Uxx +Uyy +Uzz +x-1Ux =f e problema analogo a quello di Dirichlet per un campo emisferico // Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. 1937. V. 6(26). P. 7-8.

Олевский М.Н. Решения задачи Дирихле, относящейся к уравнению ∆U + pxn-1Ux = ρ для полусферической области // Докл. АН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.

Назипов И.Т. Решение пространственной задачи Трикоми для сингулярного уравнения смешанного типа методом интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 69-85. DOI: 10.3103/S1066369X1103008X.

Салахитдинов М.С., Хасанов А. К теории многомерного уравнения Геллерстедта // Узбекский математический журнал. 2007. № 3. C. 95-109.