Asymptotic solution of the Dirichlet problem for a ring, when the corresponding unperturbed equation has a regular special circle
The article investigates the Dirichlet problem in a ring for a linear inhomogeneous second-order elliptic equation with two independent variables. In the equation under consideration, there is a small parameter at the highest derivatives, i.e. at the Laplacian. A solution to the Dirichlet problem for a ring, based on the theory of partial differential equations, exists and is unique. However, attempts to construct an explicit solution to the Dirichlet problem and to determine the dependence of the solution on a small parameter directly failed. It is required to construct a complete uniform asymptotic expansion of the solution of the Dirichlet problem for a ring in powers of a small parameter. The problem under consideration has two features: the first one is a small parameter at the Laplacian and the second one is that the corresponding unperturbed equation has a regular special line. This line is a circle. Therefore, when constructing an asymptotic solution, there appear additional difficulties. The formal asymptotic solution of the Dirichlet problem for a ring is constructed by the generalized method of boundary functions. Using the maximum principle, the constructed formal asymptotic solution is substantiated. The constructed decomposition is asymptotic in the sense of Erdelyi. The results obtained can find applications in continuum mechanics, hydro- and aerodynamics, magneto hydrodynamics, oceanology, etc. AMS Mathematical Subject Classification: 35J15, 35J25, 35B25, 35B40, 35C20
Keywords
асимптотическое решение,
сингулярно возмущенная задача Дирихле для кольца,
малый параметр,
регулярная особая линия,
обобщенный метод погранфункций,
asymptotic solution,
singularly perturbed Dirichlet problem for a ring,
small parameter,
regular singular line,
generalized boundary function methodAuthors
| Tursunov Dilmkrat A. | Osh State University | tdaosh@gmail.com |
| Orozov Maksatbek O. | Osh State University | gnezdo1983@mail.ru |
Всего: 2
References
Chang-Yeol Jung and Roger Temam Singularly perturbed problems with a turning point: the noncompatatible case // Analysis and Applications. 2o14. V. 12. No 3. P. 293-321.
Butuzov V. F. Asymptotic behavior and stability of solutions of a singularly perturbed elliptic problem with a triple root of the degenerate equation // Izvestiya: Mathematics. 2o17. V. 81. No 3. P. 481-5o4.
Anastasia-Dimitra Lipitakis The numerical solution of singularly perturbed nonlinear partial differential equations in three space variables: the adaptive explicit preconditioning approach // Modelling and Simulation in Engineering. 2o19.
Gung-Min Gie, Chang-Yeol Jung, and Roger Temam Recent progresses in boundary layer theory // Discrete and Continuous Dynamical Systems-A. 2o14. V. 36. No 5. P. 2521-2583.
Levinson N. The first boundary value problem for ε∆u+Aux+Buy+Cu = D for small ε // Ann. of Math. 195o. V. 51. P. 428-445.
Eckhaus W. Boundary layers in linear elliptic singular perturbation problems // SIAM Review. 1972. V. 14. No 2. P. 225-27o.
Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.
Зубова С.П., Усков В.И. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай // Матем. заметки. 2o18. Т. 1o3. № 3. С. 392-4o3. https://doi.org/1o.4213/mzm11199.
Зверяев Е.М. Метод Сен-Венана - Пикара - Банаха интегрирования уравнений в частных производных с малым параметром // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2o18. № 83. 19 с. doi:1o.2o948/prepr-2o18-83.
Биматов В.И., Савкина Н.В., Фарапонов В.В. Сверхзвуковое обтекание и аэродинамические характеристики острого конуса для различных моделей турбулентной вязкости // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2o16, № 5(43). С. 35-42. https://doi.org/1o.17223/19988621/43/4.
Турсунов Д.А. Асимптотика решения задачи Коши при нарушении устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2o18. № 54. С. 46-57 DOI: 1o.17223/19988621/54/4.
Турсунов Д.А. Асимптотическое решение линейных бисингулярных задач с дополнительным пограничным слоем // Изв. вузов. Математика. 2o18. № 3. С. 7o-78. DOI: 1o.31o3/S1o66369X18o3oo88.
Турсунов Д.А. Асимптотическое решение бисингулярной задачи Робена // Сиб. электрон. матем. изв. 2o17. Т. 14. С. 1o-21. DOI 1o.17377/semi.2o17.14.oo2
Турсунов Д.А. Обобщенный метод погранфункций для бисингулярных задач в круге // Тр. ИММ УрО РАН. 2o17. Т. 23. № 2. С. 239-249. https://doi.org/1o.21538/o134-4889-2o17-23-2-239-249.
Турсунов Д.А. Асимптотическое разложение решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с тремя точками поворота // Тр. ИММ УрО РАН. 2o16. Т. 22. № 1. С. 271-281.
Турсунов Д.А. Эркебаев У.З. Асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для кольца с особенностью на границе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 1(39). С. 42-52. DOI 10.17223/19988621/39/5.
Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.
