Holmgren problem for multudimensional elliptic equation with two singular coefficients
Fundamental solutions of the two-dimensional elliptic equation were known in the first half of the last century and they were successfully used in solving the basic boundary value problems and constructing the theory of potential for this equation. Relatively few papers have been devoted to the study of boundary value problems for multidimensional (greater than two-dimensional) elliptic equations with singular coefficients. For example, main boundary value problems for twodimensional and three-dimensional elliptic equations with two singular coefficients in finite and infinite domains have been studied by many authors; however, the study of the Holmgren problem was limited to the two-dimensional case. This work is devoted to finding a unique solution to the Holmgren problem for a multidimensional elliptic equation with two singular coefficients in a quarter of a ball. Using the “abc” method, the uniqueness for the solution of the Holmgren problem is proved. Applying the method of Green's function, we are able to find the solution of the problem in an explicit form. Moreover, the decomposition formula, formula of differentiation, and some adjacent relations for Appell's hypergeometric functions were used in order to find the explicit solution for the formulated problem. AMS Mathematical Subject Classification: 35A08, 35J25, 35J70, 35J75
Keywords
многомерное эллиптическое уравнение с двумя сингулярными коэффициентами,
задача Хольмгрена,
фундаментальное решение,
формула Гаусса - ОстрограДского,
функция Грина,
multidimensional elliptic equation with two singular coefficients,
Holmgren problem,
fundamental solution,
Gauss - Ostrogradsky formula,
Green functionAuthors
| Ergashev Tuhtasin G. | V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics | ertuhtasin@mail.ru |
| Komilova Nigora J. | Fergana State University | nigora.komilova@bk.ru |
Всего: 2
References
Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. 208 c.
Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.
Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
Gilbert R.P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. New York; London: Academic Press, 1969. 308 р.
Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
Agostinelli С. Integrazione dell'equazione differenziale u<sub>xx</sub> +u<sub>yy</sub> +u<sub>zz</sub> +x<sup>-1</sup>u<sub>x</sub> =f e problema analogo a quello di Dirichlet per un campo emisferico // Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. 1937. V. 26. No. 6. P. 7-8.
Олевский М.Н. Решения задачи Дирихле, относящейся к уравнению ∆u + px<sub>n</sub><sup>-1</sup>k<sub>x<sub>n</sub></sub>= f в полусферической области // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.
Эргашев Т.Г. Задача Хольмгрена для многомерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом // Бюллетень Института математики. 2019. № 2. С. 23-32.
Салахитдинов М.С., Хасанов А. К теории многомерного уравнения Геллерстедта // Узбекский математический журнал. 2007. № 3. C. 95-109.
Уринов А.К. Фундаментальные решения для некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами // Научный вестник Ферганского государственного университета. 2006. № 1. С. 5-11.
Mavlyaviev R.M., Garipov I.B. Fundamental solution of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2017 V. 62. No. 3. P. 287296. http://dx.doi.org/10.1080/17476933.2016.1218853.
Назипов И.Т. Решение пространственной задачи Трикоми для сингулярного уравнения смешанного типа методом интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 69-85.
Салахитдинов М.С., Хасанов А. Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Трикоми // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1979. № 6. С.29-33.
Karimov E.T., Nieto J.J. The Dirichlet problem for a 3D elliptic equation with two singular coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2011. No. 62. P. 214-224. http:dx.doi.org/10.1016/j.amc.2012.09.013.
Ergashev T.G., Hasanov A. Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation // Uzbek Mathematical Journal. 2018. No. 1. P. 55-64.
Bkrchnall J.L., Chakndy T.W. Expansions of Appell's double hypergeometric functions // Quart. J. Math. (Oxford). 1940. Ser. 11. P. 249-270.
Хасанов А. Об одной смешанной задаче для уравнения sgny∣y∣m uxx + xnuyy = 0 // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1982. № 2. С. 28-32.
Аманов Д. Некоторые краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1984. № 1. С. 8-13.
Аманов Д. Краевая задача для уравнения sgny∣y∣m uxx + xnuyy = 0 в неограниченной области // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1984. № 2. С. 8-10.
Salakhiddinov M.S., Karimov E.T. Spatial boundary problem with the Dirichlet-Neumann condition for a singular elliptic equation // Applied Mathematics and Computation. 2012. V. 219. P. 3469-3476. http:dx.doi.org/10.1016/j.amc.2012.09.013.
Sr.vastava H.M., Hasanov A., Cho. J. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation ∕∕ Sohag J. Math. 2015. V. 2. No. 1. P.1-10.
Berdyshev A.S, Hasanov A., Ergashev T.G. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. II ∕∕ Complex Variables and Elliptic Equations. 2019. P. 1-19. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1583219
Эргашев Т.Г. Третий потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Уфимский математический журнал. 2018. Т. 10. Вып. 4. С. 111-122. DOI:10.13108 /2018-10-4-111.
Эргашев Т. Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. С. 45-56. DOI 10.17223/19988621/50/4.
Ergashev T.G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2019. V. 77. P. 69-76. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2018.09.014.
Уринов А.К., Эргашев Т.Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. С. 45-56. DOI 10.17223/19988621/55/5.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 296 с.
