Resolving differential equations of physically nonlinear theory of elasticity in terms of stresses for a plane strain | Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika – Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2020. № 63. DOI: 10.17223/19988621/63/7

Resolving differential equations of physically nonlinear theory of elasticity in terms of stresses for a plane strain

The paper is aimed to obtain resolving differential equations of physically nonlinear theory of elasticity in terms of stresses for a plane strain. These equations represent a mathematical model of the continuum whose variable coefficient of the volume expansion (compressibility) is a function of average stress only, and the variable coefficient of the shear is a function of tangential stress intensity only. The resolving differential equations are obtained by inserting the physical relations, in which the strains are expressed in terms of stresses, into Saint-Venant's compatibility condition written for a plane problem. As a result, a physically nonlinear analogue of the Levy equation for linear theory of elasticity is derived. When balance equations are satisfied irrespective of volume forces, stress function introducing yields a physically nonlinear analogue of the Levy equation represented as a physically nonlinear analogue of the biharmonic equation for a plane strain. As opposed to physically linear theory of elasticity, where biharmonic equations are homogeneous, the analogue to the biharmonic equation of physically nonlinear theory of elasticity is inhomogeneous. The form of the right side of the biharmonic equation is governed by the analyzed mathematical model of continuum. The obtained results can be used when solving the problems of physically nonlinear theory of elasticity in terms of stresses.

Download file

Counter downloads: 201

Keywords

теория упругости, плоская деформация, физическая нелинейность, разрешающее дифференциальное уравнение, решение в напряжениях, theory of elasticity, plane strain, physical nonlinearity, resolving differential equation, solution in terms of stresses

Authors

Name	Organization	E-mail
Bakushev Sergey V.	Penza State University of Architecture and Construction	bakuchsv@mail.ru

Всего: 1

References

Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твёрдых тел: в 2 ч. Часть 1. Малые деформации: пер. с англ. / под ред. А.П. Филина. М.: Наука, 1984. 6oo с.

Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твёрдых тел: в 2 ч. Часть II. Конечные деформации: пер. с англ. / под ред. А.П. Филина. М.: Наука, 1984. 432 с.

Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961. 780 с.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

Гениев Г.А., Лейтес В.С. Вопросы механики неупругих тел. М.: Стройиздат, 1981. 160 с.

Иванов С.П., Ахметшин М.Н. Решение физически нелинейной плоской задачи теории упругости и её приложение к расчёту балок, контактирующих со средой // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2012. № 2. С. 33-36.

Иванов С.П., Иванов О.Г. Расчёт физически нелинейных пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11. № 1. С. 146-155.

Дудина И.В., Жердева С.А. Учёт физической нелинейности материалов при оценке надёжности железобетонных конструкций // Системы. Методы. Технологии. 2009. № 2 (2). С. 66- 68.

Пичугин С.Н. Расчёт оболочечных конструкций в виде резервуаров с физически нелинейным деформированием // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. 2010. № 3. С. 64- 69.

Протосеня А.Г., Семенов В.И., Супрун И.К. Расчёт нагрузок на крепь выработок и тоннелей, сооружаемых в физически нелинейных массивах // Записки Горного института. 2012. Т. 199. С. 173-175.

Протосеня А.Г. Физически нелинейно-пластическая задача о распределении напряжений вокруг выработки кругового очертания // Известия высших учебных заведений. Горный журнал. 2014. № 2. С. 43-48.

Александрович А.И., Горлова А.В. Исследование плоской задачи для физически нелинейного упругого тела методами теории функций комплексного переменного. // Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2007. № 3. С. 63-72.

Бондарь В.Д. Метод комплексных потенциалов в нелинейной теории упругости // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41. № 1 (239). С. 133-143.

Шеина А.А., Александрович А.И. Решение пространственных задач нелинейной теории упругости методами многомерного комплексного анализа // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-4. С. 1862-1863.

Нифагин В.А., Севрук А.Б. Общие приближенные решения основных задач пространственной нелинейной теории упругости в аналитических многомерных функциях матричной переменной // Наука и техника. 2007. № 1. С. 60-65. DOI 10.21122/2227-10312007-0-1-60-65.

Мальков В.М., Малькова Ю.В. Анализ сингулярности напряжений в нелинейной задаче Фламана для некоторых моделей материала // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. № 4. С. 652-660.

Lavrov Kirill, Semenov Artem, Benin Andrey. Modeling of nonlinear multiaxial deformation of concrete on the base of hyperelastic orthotropic model // MATEC Web of Conferences. 2016. 53:01043. DOI 10.1051/matecconf/20165301043.

Chenji Wei, Liangang Wang, Baozhu Li, Lihui Xiong, Shuangshuang Liu, Jie Zheng, Suming Hu, Hongqing Song. A study of nonlinear elasticity effects on permeability of stress sensitive shale rocks using an improved coupled flow and geomechanics model: a case study of the longmaxi shale in China // Energies. 2018. 11(2): 329. DOI 10.3390/en11020329.

Блохина Н. С. Расчёт конструкций из анизотропных материалов с учётом физической нелинейности // Строительная механика и расчёт сооружений. 2012. № 1 (240). С. 3-5.

Агапов В.П., Айдемиров К.Р. Применение метода конечных элементов с учётом физической и геометрической нелинейности для расчёта предварительно напряжённых железобетонных ферм // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. 2017. Т. 44. № 1. С. 127-137. DOI: 10.21822/2073-6185-201744-1-127-137.

Серпик И.Н., Балабин П.Ю., Школяренко Р.О. Расчёт рамных конструкций в физически нелинейной постановке с учётом влияния продольных сил на изгиб // Проблемы инновационного биосферно-совместимого социально-экономического развития в строительном, жилищно-коммунальном и дорожном комплексах: Материалы 4-й Международной научно-практической конференции, посвященной 55-летию строительного факультета и 85-летию БГИТУ. 2015. С. 363-366.

Полатов А.М. Компьютерное моделирование деформированного состояния физически нелинейных трансверсально-изотропных тел с отверстием // Вычислительная механика сплошных сред. 2018. Т. 11. № 1. С. 25-35. DOI: 10.7242/1999-6691/2018.11.1.3.

Мартынов Н.И. Краевые задачи для неогуковского материала в нелинейной теории упругости // Наука и мир. 2014. № 9 (13). С. 25-31.

Бригаднов И.А., Бухштабер В.М., Антонова И.А., Соколова Е.Г., Шаров С.А. Математическая корректность и методы решения краевых задач нелинейной упругости: Отчёт о НИР № 96-01-00054 (Российский фонд фундаментальных исследований).

Черных К.Ф. Вариант нелинейной теории упругости. его структура и возможности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2004. № 3-4. С. 55-62.

Иванов С.П., Иванова А.С. Динамическая устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 4. С. 9-18.

Шамина В.А., Веселков С.Ю., Слепнева Л.В. Основные модели нелинейной механики деформируемого тела: Отчёт о НИР № 95-01-00334 (Российский фонд фундаментальных исследований)

Бакушев С. В. Уравнения физически нелинейной теории упругости в напряжениях // Региональная архитектура и строительство. 2011. №1(12). С. 117-123.

Бакушев С.В. Плоская задача физически нелинейной теории упругости - решение в напряжениях // Региональная архитектура и строительство. 2014. №1(18). С. 82-88.

Бакушев С. В. Плоская деформация физически нелинейной теории упругости - решение в напряжениях // Строительная механика и расчёт сооружений. 2014. № 2. С. 2-9.