Poincare-Tricomi problem for the equation of a mixed elliptico-hyperbolic type of second kind
It is known, that if the partial differential equation of the second order belongs to the elliptic type in one part of the domain and to the hyperbolic type in the other part, then such equation is called an equation of mixed type; both parts of the domain are separated by a transition line on which the equation either degenerates into parabolic or is not defined. Equations of mixed elliptic-hyperbolic type are divided into equations of the first and second kind. For equations of the first kind, the line of parabolic degeneracy is the return point of the family of characteristics of the corresponding hyperbolic equation. The equation whose degeneration line is simultaneously the envelope of a family of characteristics, i.e. is itself a characteristic, is an equation of the second kind. Therefore, equations of a mixed type of the second kind in all respects are relatively little studied. For example, the Poincare-Tricomi problem and its various generalizations for equations of the first kind have long been studied. For equations of mixed type of the second kind, depending on the degree of degeneracy, the limiting values of the desired solution and its derivative on the line of change of the type of equation can have singularities. To ensure the necessary smoothness of the desired solution outside the line of characteristic degeneracy, one has to require increased smoothness of the given limit functions. In order to weaken this requirement, in the present paper we introduce a class of generalized solutions. In the hyperbolic part of the mixed domain, we seek a generalized solution; in the elliptic part, a regular solution. This paper is devoted to the study of the Poincare-Tricomi problem for one equation of the mixed elliptic-hyperbolic type of the second kind. The conditions under which the problem has a unique solution are identified. In the elliptic part of the mixed domain, a classical solution is sought and a similar second functional relationship brought from the ellipticity domain of the equation is derived. Then, after exclusion of one of the two unknown functions from these two functional relationships, the solution of the posed problem is reduced to solving a singular integral equation for the limit value of the sought function on the line separating the types of the equation. Under certain restrictions on the given functions and parameters of the Poincare-Tricomi type problem, this singular integral equation can be reduced to a Fredholm integral equation of the second kind by the Carleman method. The unique solvability of this equation follows from the Fredholm alternative and uniqueness theorem for the posed problem. AMS Mathematical Subject Classification: 35M10, 35M12
Keywords
обобщенное решение,
задача Пуанкаре - Трикоми,
уравнение второго рода,
интегральное уравнение,
метод интегралов энергии,
функция Грина,
generalized solution,
Poincare-Tricomi problem,
equation of the second kind,
integral equation,
energy integral method,
Green's functionAuthors
| Abdullayev Akmaljon A. | Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers | akmal09.07.85@mail.ru |
| Ergashev Tuhtasin G. | V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics | ertuhtasin@mail.ru |
Всего: 2
References
Капилевич М.Б. О конфлюэнтных гипергеометрических функциях Горна // Дифференциальные уравнения. 1966. Т. 2. № 9. С. 1239-1254.
Уринов А.К., Эргашев Т.Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. С. 45-56. DOI: 10.17223/19988621/55/5.
Srivastava H.M., Hasanov A., Choi J. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Sohag J. Math. 2015. V. 2(1). P. 1-10. http://dx.doi.org/ 10.12785/sjm/020201.
Berdyshev A.S, Hasanov A., Ergashev T.G. Double-layer potentials for a generalized biaxially symmetric Helmholtz equation. II // Complex Variables and Elliptic Equations. 2020. V. 65(2). P. 316-332. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1583219.
Эргашев Т.Г. Третий потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Уфимский математический журнал. 2018. Т. 10. Вып. 4. С. 111-122. DOI: 10.13108 /2018-10-4-111.
Эргашев Т.Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. С. 45-56. DOI: 10.17223/19988621/50/4.
Салахитдинов М.С., Эргашев Т.Г. Интегральное представление обобщенного решения задачи Коши в классе R<sup>λ</sup><sub>2k</sub> для одного уравнения гиперболического типа второго рода // Узбекский математический журнал. 1995. № 1. С. 67-75.
Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 2. С. 197-200.
Эргашев Т.Г. Обобщенные решения одного вырождающегося гиперболического уравнения второго рода со спектральным параметром // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. №46. C. 41-49. DOI: 10.17223/ 19988621/46/6.
Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. Построение собственных функций задачи Трикоми -Неймана уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и их применение // Математические заметки. 2003. Т. 74. № 1. С. 83-94. https://doi.org/10.1023/ A:1025019216707.
Тожибоев И.Т. Краевые задачи в специальной области для уравнения смешанного типа // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 56. C. 17-28. DOI: 10.17223/19988621/56/2.
Хайруллин Р.С. Задача Трикоми для уравнения второго рода с сильным вырождением. Казань, 2015.
Мамадалиев Н.К. О представлении решения видоизменённой задачи Коши // Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41. № 5. С. 1087-1097. https://doi.org/10.1007/ BF02674745.
Долгополов В.М., Долгополов М.В., Родионова И.Н. Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа // Доклады АН. 2009. Т. 429. № 5. С583-589. https://doi.org/10.1134/S1064562409060209.
Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985.
Смирнов М.М. Смешанная краевая задача для уравнения ymuxx + uyy = 0 // Сибирский математический журнал. 1963. Т. 4. № 5. С. 1150-1161.
Эргашев Т.Г., Сафарбаева Н.М. Задача Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца с одним сингулярным коэффициентом // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 6. C. 55-67. DOI: 10.17223/ 19988621/62/5.
Салахитдинов М.С., Абдуллаев А.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода // Докл. АН Республики Узбекистан. 2013. № 1. С. 3-5.
Islomov B.I., Abdullayev A.A. On a problem for an elliptic type equation of the second kind with a conormal and integral condition // Journal Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2018. V. 9(3). P. 307-318. DOI: 10.17586/22208054201893307318.
Салохитдинов М.С., Исломов Б. Уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. Ташкент: Mumtoz so’z, 2009.
Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
