On the lower bound in the problem of approximate reconstruction of functions by values of the Radon transform
In this paper, we study the problem of function reconstruction by values of Radon transforms within the framework of the Computational (Numerical) Diameter (C(N)D) approach. The meaning of C(N)D is to solve two independent problems: obtaining lower bounds of the reconstruction error by exact information and specifying the computing tool that implements the upper bounds (preferably coinciding with the lower bound up to constants). The C(N)D approach is a mathematical model of experiments for describing various processes (physical, chemical, technical, etc.). An important role in setting up such experiments is played by types of measuring instruments, which is reflected in C(N)D as types of functionals. The next important point is the choice of location and balancing of instruments, i.e. selection of functionals’ parameters. The final step is to build an optimal computing tool using the obtained data. The most studied types of functionals are function values at points and Fourier coefficients. An important difference of this work from previously obtained results is the study of the approximation capabilities of another type of functionals - Radon transforms, i.e. mathematical model of the use of tomography and similar technologies. This paper is devoted to obtaining lower bounds for the error in reconstructing functions from Sobolev and Korobov spaces.
Keywords
функция,
восстановление,
преобразование Радона,
класс Соболева,
класс Коробова,
оценки снизу,
function,
reconstruction,
Radon transforms,
Sobolev class,
Korobov class,
lower boundsAuthors
| Azhgaliyev Sholpan K. | L.N. Gumilyov Eurasian National University | abikesh29@gmail.com |
| Abikenova Shapen U. | L.N. Gumilyov Eurasian National University | nepash@mail.ru |
Всего: 2
References
Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье // Вестник Евразийского ун-та им. Л.Н. Гумилева. 1997. № 3. С. 90-144.
Темиргалиев Н. О задаче восстановления по неточной информации // Вестн. Евразийск. нац. ун-та им. Л.Н. Гумилева. 2004. № 1. С. 202-209.
Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Наука. Астана: Изд-во ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2009.
Темиргалиев Н. Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод квази-Монте-Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье // Вестник Евразийского нац. ун-та им. Л.Н. Гумилева. 2010. Спец. выпуск, посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. С. 1-194.
Темиргалиев Н. Непрерывная и дискретная математика в органическом единстве в контексте направлений исследований. Астана: ИТМиНВ, 2012.
Темиргалиев Н., Жубанышева А.Ж. Теория приближений, Вычислительная математика и численный анализ в новой концепции в свете Компьютерного (вычислительного) поперечника // Вестник Евразийского нац. ун-та им. Л.Н. Гумилева. Серия Математика. Информатика. Механика. 2018. Т. 124. № 3. С. 8-88.
Темиргалиев Н., Жубанышева А.Ж. Компьютерный (вычислительный) поперечник в контексте общей теории восстановления // Изв. вузов. Математика. 2019. № 1. С. 89-97.
Темиргалиев Н., Жубанышева А.Ж. Порядковые оценки норм производных функций с нулевыми значениями на линейных функционалах и их применения // Изв. вузов. Ма-тем. 2017. № 3. С. 89-95.
Ажгалиев Ш.У., ТемиргалиевН. Информативная мощность всех линейных функционалов при восстановлении функций из классов Hpm // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 1. С. 3-20.
Ажгалиев Ш.У., Темиргалиев Н. Об информативной мощности линейных функционалов // Матем. заметки. 2003. Т. 73. № 6. С. 803-812.
Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.
Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // Докл. АН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818-821.
Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР. 1963. Т. 148. № 5. С. 1042-1045.
Шерниязов К. Приближенное восстановление функций и решений уравнения теплопроводности с функциями распределения начальных температур из классов E, SW и B: дис.. канд. физ.-мат. наук. Алматы: КазГУ им. аль-Фараби, 1998.
Deans S.R. The Radon Transform and some of its Applications. Wiley, 1983. DOI: 10.5281/ZENODO.1060231.
Naterrer F. The Mathematics of Computerized Tomography. Classics in Applied Mathematics 32. SIAM, 2001.
Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии: пер с англ. М.: Мир, 1990. 288 с.
Хелгасон С. Преобразование Радона: пер. с англ. М.: Мир, 1983. 152 с.
Herman G.T. Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projection. 2nd ed. Springer, 2009. 85 с.
Naterrer F. A Sobolev Space Analysis of Picture Reconstruction // SIAM J. Applied Mathematics. 1980. V. 39. No. 3. P. 402-411.
Marr R. On the reconstruction of a function on a circular domain from a sampling of its line integrals // J. Math. Anal. Appl. 1974. V. 45. No. 2. P. 357-374.
Logan B. and Shepp L. Optimal reconstruction of a function from its projections // Duke Math. J. 1975. V. 42. No. 4. P. 645-659.
Georgieva I., Hofreither C., Koutschan C., Pillwein V., Thanatipanonda T. Harmonic interpolation based on Radon projections along the sides of regular polygons // Cent. Eur. J. Math. 2013. V. 11(4). P. 609-620. DOI: 10.2478/s11533-012-0160-1.
Осколков К.И. Рельефная аппроксимация, анализ Фурье - Чебышева и оптимальные квадратурные формулы // Труды МИАН. 1997. Т. 219. P. 269-285. URL: mi.mathnet.ru/ rus/tm/v219/p269.
Maiorov V.E. On best approximation by ridge functions // J. Approximation Theory. 1999. V. 99. No. 1. P. 68-94. DOI: 10.1006/jath.1998.3304.
Maiorov V.E., Oskolkov K.I., Temlyakov V.N. Gridge approximation and Radon compass // Approximation Theory: A volume dedicated to B. Sendov. B. Bojanov (Ed.). Sofia: DARBA. 2002. P. 284-309. DOI: 10.21236/ADA638384
Konovalov V.N., Leviatan D., Maiorov V.E. Approximation of Sobolev classes by polynomials and ridge functions // J. Approximation Theory. 2009. V. 159. P. 97-108. DOI: 10.1016/j.jat.2008.10.009
Temlyakov V.N. On approximate recovery of functions with bounded mixed derivative // J. Complexity. 1993. No. 9. P. 41-59.
Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: дис.. канд. физ.- мат. наук. М.: Орг. п/я 2325, 1965. С. 118-119.
Кудрявцев С.Н. Наилучшая точность восстановления функций конечной гладкости по их значениям в конечном числе точек // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т. 62. № 1. С. 21-58.
