Investigation of some classes of second order partial integro-differential equations with a power-logarithmic singularity in the kernel
For a class of second-order partial integro-differential equations with a power singularity and logarithmic singularity in the kernel, integral representations of the solution manifold in terms of arbitrary constants are obtained in the class of functions vanishing with a certain asymptotic behavior. Although the kernel of the given equation is not a Fredholm type kernel, the solution of the studied equation in a class of vanishing functions is found in an explicit form. We represent a second-order integro-differential equation as a product of two first-order integro-differential operators. For these one-dimensional integro-differential operators, in the cases when the roots of the corresponding characteristic equations are real and different, real and equal and complex and conjugate, the inverse operators are found. It is found that the presence of power singularity and logarithmic singularity in the kernel affects the number of arbitrary constants in the general solution. This number, depending on the roots of the corresponding characteristic equations, can reach nine. Also, the cases when the given integro-differential equation has a unique solution are found. The correctness of the obtained results with the help of the detailed solutions of concrete examples are shown. The method of solving the given problem can be used for solving model and nonmodel integro-differential equations with a higher order power singularity and logarithmic singularity in the kernel. AMS 2020 Mathematical Subject Classification: 45E99, 45K99, 45D99
Keywords
characteristic equation,
integral representations,
logarithmic singularity,
power singularity,
integro-differential equationAuthors
| Zarifzoda Sarvar K. | Tajik National University | sarvar8383@list.ru |
| Odinaev Raim N. | Tajik National University | raim_odinaev@mail.ru |
Всего: 2
References
Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н. О разрешимости одного класса операторных уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами // Математические заметки. 2014. Т. 96. № 5. С. 773-789. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm10220.
Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения типа свертки в банаховых пространствах // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2016. Т. 17. С. 77-85.
Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегродифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 46. С. 24-35. DOI: http://dx.doi.org/10.17223/19988621/46/4.
Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21. № 2. С. 236-248. DOI: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1515.
Hamoud A.A., Ghadle K.P. The approximate solutions of fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations by using analytical techniques // Probl. Anal. Issues Anal. 2018. V. 7(25). No. 1. P. 41-58. DOI: https://doi.org/10.15393/j3.art.2018.4350.
Раджабов Н., Раджабова Л.Н., Репин О.А. Об одном классе двумерных сопряженных интегральных уравнений вольтерровского типа // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 1-10.
Раджабов Н. Интегральные уравнения типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. Душанбе: Деваштич. 2007. 221 с.
Асхабов С.Н. Сингулярные интегро-дифференциальные уравнения с ядром Гилберта и монотонной нелинейностью // Владикавказский математический журнал. 2017. Т. 19. № 3. С. 11-20.
Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С.В. Сингулярная краевая задача для интегро-дифференциального уравнения в модели страхования со случайными премиями: анализ и численное решение // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 10. С. 1812-1846.
Бураго П.Н., Эгамов А.И. О связи решений начально-краевых задач для некоторого класса интегро-дифференциальных уравнений с частными производными и линейного гиперболического уравнения // Журнал СВМО. 2019. Т. 21, № 4. С. 413-429. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.21.201904.
Бьянка К., Феррара М., Guerrini L. Асимптотический предел интегро-дифференциального уравнения, моделирующего сложные системы // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2014. Т. 78, №6. С. 49-64. DOI: https://doi.org/10.4213/ im8066.
Бесова М.И. Об одном методе решения сингулярно возмущенных краевых задач // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2019. № 2. С. 45-55.
Юлдашев Т.К. Обратная задача для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2013. №1. С. 58-66.
Нефедов Н.Н., Никитин А.Г. Начально-краевая задача для нелокального сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 6. С. 1042-1047.
Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Задача с обратным временем для сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения с диагональным вырождением ядра высокого порядка // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2016. Т. 80, №2. С. 3-15. DOI: https://doi.org/10.4213/im8335.
Турсунов Д.А., Эркебаев У.З. Асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для кольца с особенностью на границе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. №1(39). С. 42-52. DOI: https://doi.org/ 10.17223/19988621/39/5.
Турсунов Д.А. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют полюсы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 59. С. 16-28. DOI: https://doi.Org/10.17223/19988621/59/3.
Качалов В.И. О голоморфной регуляризации сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57, № 4. С. 64-71. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466917040056.
Oton X.R. Integro-Differential Equations: Regularity Theory and Pohozaev Identities. Barcelona. 2014. 301 p.
Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. Т. 39. С. 36-65.
Магнарадзе Л.Г. Об одном новом интегральном уравнении теории крыла самолёта // Сообщ. АН Груз. ССР. 1942. Т. 3. № 6. С. 503-508.
Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Усп. мат. наук. 1971. Т. 26. № 3(159). С. 3-51.
Векуа И.Н. Об интегро-дифференциальном уравнении Прандтля // Прикл. матем. и мех. 1945. Т. 9. № 2. С. 143-150.
Кахкцян В.М., Хачатрян А.Х. Об аналитическо-численном решении одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения, возникающего в эконометрике // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. № 7. С. 1108-1112. https://doi.org/10.7868/S0044466913070144.
Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.
