Application of fast expansions to obtain exact solutions to a problem on rectangular membrane deflection under alternating load | Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika – Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2021. № 70. DOI: 10.17223/19988621/70/11

Application of fast expansions to obtain exact solutions to a problem on rectangular membrane deflection under alternating load

The problem of rectangular membrane deflection under alternating loads is solved in general terms by means of the method of fast expansions. The exact solution is represented by the finite expression borrowed from the theory of fast expansions as a sum of the boundary function and Fourier sine series with two Fourier coefficients taken into account. The obtained exact solution includes free parameters. Changing the values of these parameters, one can derive many new exact solutions. Obtaining of exact solutions to a problem of the rigidly fixed membrane under two types of loads (dome-shaped and sinusoidal) is shown as an example. Graphs of the dome-shaped and sinusoidal loads on the membrane and the curves of the corresponding deflections and stress components are presented in the paper. From the analysis of the exact solutions, it is obvious that only when a symmetrical alternating load is used, the membrane maximum deflection is attained in the center of the membrane, and the stresses reach the highest values in the middle of both long sides. In the case of a non-symmetrical load, the maximum stress occurs in the middle of either one of two long sides of the rectangular membrane, and the maximum deflection is found in the central region.

Download file

Counter downloads: 213

Keywords

membrane deflection, stress components, alternating load, exact solution, Poisson equation, fast expansions

Authors

Name	Organization	E-mail
Chernyshov Aleksandr D.	Voronezh State University of Engineering Technology	chernyshovad@mail.ru
Goryainov Vitaliy V.	Voronezh State University of Engineering Technology	gorvit77@mail.ru
Kuznetsov Sergey F.	Voronezh State University of Engineering Technology	sfs134@mail.ru
Nikiforova Olga Yu.	Voronezh State University of Engineering Technology	niki22@mail.ru

Всего: 4

References

Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

Liemert A., Kienle A. Exact solution of Poisson’s equation with an elliptical boundary // Applied Mathematics and Computation. 2014. V. 238. P. 123-131. DOI: 10.1016/j.amc. 2014.04.003.

Zheng Zh., Sun W., Suo X., Wong L. L. P., Yeow J. T. W. A novel deflection shape function for rectangular capacitive micromachined ultrasonic transducer diaphragms // Sensing and Bio-Sensing Research. 2015. V. 5. P. 62-70. DOI: 10.1016/j.sbsr.2015.07.006.

Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

Ванько В.И., Косакян Н.К. Сравнительный анализ некоторых прямых методов решения задач математической физики // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2018. Т. 50. № 2 С. 197-206. DOI: 10.18413/ 2075-4639-2018-50-2-197-206

Васильев В.В., Лурье С.А. Обобщенное решение задачи о круглой мембране, нагруженной сосредоточенной силой // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2016. № 3. С. 115-118. DOI: 10.3103/S0025654416030109.

Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Об одном подходе к решению неоднородных уравнений в частных производных // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 3. С 355-364. DOI: 10.20537/vm170306.

Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 41-53. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943.

Алгазин О.Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и математическое моделирование. 2017. № 06. С. 1-18. DOI: 10.24108/ mathm.0517.0000082

Ghadimi P., Dashtimanesh A., Hosseinzadeh H. Solution of Poisson’s equation by analytical boundary element integration // Applied Mathematics and Computation. 2010. V. 217. Iss. 1. P. 152-163. DOI: 10.1016/j.amc.2010.05.034.

Юлдашев О.И., Юлдашева М.Б. Граничный метод взвешенных невязок с разрывными базисными функциями для высокоточного решения линейных краевых задач с уравнениями Лапласа и Пуассона // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. 2013. № 4. С. 143-153

Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф., Волосова Н.К. Минимальная разностная схема для уравнения Пуассона на параллелепипеде с шестым порядком погрешности // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия C. Фундаментальные науки. 2019. № 4. С.154-173.

Исаев В.И., Шапеев В.П., Идимешев С.В. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнения Пуассона // Вычислительные технологии. 2011. Т. 16. № 1. С. 85-93.

Ворожцов Е.В., Шапеев В.П. Численное решение уравнения Пуассона в полярных координатах методом коллокаций и наименьших невязок // Моделирование и анализ ин- Применение быстрых разложений для построения точных решений задачи о прогибе 139 формационных систем. 2015. Т. 22. № 5. С. 648-664. DOI: 10.18255/1818-1015-2015-5-648-664.

Zhong H., He Y. Solution of Poisson and Laplace equations by quadrilateral quadrature element // International Journal of Solids and Structures. 1998. V. 35. Iss. 21. P. 2805-2819. DOI: 10.1016/S0020-7683(97)00277-1.

Elsherbeny A.M., El-hassani R.M.I., El-badry H., Abdallah M.I. Solving 2D-Poisson equation using modified cubic B-spline differential quadrature method // Ain Shams Engineering Journal. 2018. V. 9. Iss. 4. P. 2879-2885. DOI: 10.1016/j.asej.2017.12.001.

Ghasemi M. Spline-based DQM for multi-dimensional PDEs: Application to biharmonic and Poisson equations in 2D and 3D // Computers & Mathematics with Applications. 2017. V. 73. Iss. 7. P. 1576-1592. DOI: 10.1016/j.camwa.2017.02.006.

Shi Z., Cao Y.-y., Chen Q.-j. Solving 2D and 3D Poisson equations and biharmonic equations by the Haar wavelet method // Applied Mathematical Modelling. 2012. V. 36. Iss. 11. P. 5143-5161. DOI: 10.1016/j.apm.2011.11.078.

Zhi S. Cao Y.-y. A spectral collocation method based on Haar wavelets for Poisson equations and biharmonic equations // Mathematical and Computer Modelling. 2011. V. 54. Iss. 11-12. P. 2858-2868. DOI: 10.1016/j.mcm.2011.07.006.

Бубенчиков А.М., Попонин В.С., Мельникова В.Н. Математическая постановка и решение пространственных краевых задач методом спектральных элементов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 3 (4). С. 70-76.

Чернышов А.Д. Метод быстрых разложений для решения нелинейных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 1. С. 13-24. DOI: 10.7868/S0044466914010062.

Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука. 1966. 636 с.

Еремеев П.Г. Пространственные тонколистовые металлические конструкции покрытий: М.: Издательство ассоциации строительных вузов, 2006. 560 с.

http://www.vashdom.ru/snip/II-23-81/index-7.htm

http://metallicheckiy-portal.ru/marki_metallov/stk/VSt3ps

Чернышов А.Д., Попов В.М., Горяйнов В.В., Лешонков О.В. Исследование контактного термического сопротивления в конечном цилиндре с внутренним источником методом быстрых разложений и проблема согласования граничных условий // Инженерно-физический журнал. 2017. Т. 90. № 5. С. 1288-1297.

Chernyshov А.Б., Goryainov V.V., Danshin А.А. Analysis of the stress field in a wedge using the fast expansions with pointwise determined coefficients // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. 2018. V. 973. 012002. DOI: 10.1088/174265.

Чернышов А.Д., Горяйнов В.В. Решение одного нелинейного интегро-дифференциаль-ного уравнения методом быстрых разложений // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: механика предельного состояния. 2012. № 4(12). С. 105-112.

Чернышов А.Д., Горяйнов В.В., Чернышов О.А. Применение метода быстрых разложений для расчета траекторий космических кораблей // Известия вузов. Авиационная техника. 2015. № 2. С. 41-47.

Чернышов А.Д. Решение нелинейного уравнения теплопроводности для криволинейной области с условиями Дирихле методом быстрых разложений // Инженерно-физический журнал. 2018. Т. 91. № 2. С. 456-468.

Чернышов А.Д. Метод расширения границ для задач теплопроводности в телах подвижной формы // Инженерно-физический журнал. 2010. Т. 83. № 5. С. 989-994.