On the varying brachistochrone shape with allowance for chute loading limitation
In this paper, the problem of the effect of stress limit on the chute shape is analyzed for the first time. Here, the dynamic equations for the motion of the material body rolling down the chute are formulated neglecting the friction forces. It is shown that if the stress limit for the chute material is taken into account, the shape of the chute varies greatly as a function of the parameter. Four possible cases are analyzed when the parameter is: equal to zero, more than unity, less than unity, and equal to unity. It is found that if the parameter is more than unity, the chute shape represents almost horizontal and vertical segments of a trajectory, which is clear from a physical point of view, since for this type of the trajectory the chute is least affected by the body moving along. If the parameter is equal to unity, the chute takes a specific loop-like shape. If the parameter is equal to zero, the system of equations describes a classical brachistochrone. The solution to the problem is applicable in practice for predicting the shape of the chute withstanding high loads when the stress limit for the material is known.
Keywords
dynamic equations,
chute shape,
reaction force,
stress limitAuthors
| Gladkov Sergey O. | Moscow Aviation Institute | sglad51@mail.ru |
| Bogdanova Sofiya B. | Moscow Aviation Institute | sonjaf@list.ru |
Всего: 2
References
Гладков С.О., Богданова С.Б. Геометрический фазовый переход в задаче о брахистохроне // Ученые записки физического факультета МГУ. 2016. № 1. 161101-1-5.
Гладков С. О. О траектории движения тела, входящего в жидкость под произвольным углом // Ученые записки физического факультета МГУ. 2016. № 4. 164002-1-5.
Гладков С.О., Богданова С.Б. Обобщенные динамические уравнения плоского криволинейного движения материального тела по желобу с учетом сил трения (их численный анализ в некоторых частных случаях) // Ученые записки физического ф-та МГУ. 2017. № 1. 171101-1-5.
Гладков С.О., Богданова С.Б. К теории движения шарика по вращающейся брахистохроне с учетом сил трения // Ученые записки физического ф-та МГУ. 2017. № 2. 172101-1-6.
Гладков С.О., Богданова С.Б. Аналитическое и численное решение задачи о брахистохроне в некоторых обшдх случаях // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2018. Т. 145. С. 114-122.
Гладков С.О., Богданова С.Б. К теории движения тел с переменной массой // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 65. С. 83-91.
Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1967. 655 с.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.
Гладков С.О., Богданова. С.Б. К теории пространственной брахистохроны // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 68. С. 53-60.
Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.
Мансимов К.Б., Расумова Ш.М. Об оптимальности особых управлений в одной задаче оптимального управления // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 54. С. 17-33. DOI: 17223/19988621/54/2.
Giannoni F., Piccione P., Verderesi J.A. An approach to the relativistic brachistochrone problem by sub-Riemannian geometry // J. Math. Phys. 1997. V. 38. No. 12. P. 6367-6381.
Scarpello G.M., Ritelli D. Relativistic brachistochrones under electric or gravitational uniform fields // Z. Angew. Math. Mech. 2006. V. 86. No. 9. P. 736-743.
Иванов А.И. О брахистохроне частицы переменной массы с постоянным отношением количества присоединяемых и отделяемых частиц // Докл. АН УССР. Сер. А. 1968. C. 683-686.
Руссаловская А.В., Иванов Г.И., Иванов А.И. О брахистохроне точки переменной массы с трением и экспоненциальным законом истечения массы // Докл. АН УССР. Сер. А. 1973. C. 1024-1026.
Jeremic O., Salinic S., Obradovic A., Mitrovic Z. On the brachistochrone of a variable mass particle in general force fields // Math. And Computer Modelling. 2011. V. 54. P. 2900-2912.
Obradovic A., Salinic S., Jeremic O., Mitrovic Z. Brachistochronic motion of a variable mass system // Third Serbian (28th Yu) Congress on Theoretical and Applied Mechanics (Vlasina lake, Serbia, 5-8 July 2011). P. 1237-1246.
Salinic S., Obradovic A., Mitrovic Z., Rusov S. On the brachistochronic motion of the Chaplygin sleigh // Acta Mech. 2013. V. 224. No. 9.
Lipp S. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim. 1997. V. 35. No. 2. P. 562-584.
