Investigation of an approximate solution of the integral equation of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in the two-dimensional space | Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika – Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2023. № 82. DOI: 10.17223/19988621/82/4

Investigation of an approximate solution of the integral equation of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in the two-dimensional space

The substantiation of the collocation method for the integral equation of the external Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in two-dimensional space is given. A new method for constructing a quadrature formula for the potentials of the simple and double layers is proposed, which makes it possible to determine the rate of convergence of these quadrature formulas, on the basis of which the considered integral equation is replaced by a system of algebraic equations, while establishing the existence and uniqueness of a solution to this system. The convergence of the solution of the system of algebraic equations to the value of the exact solution of the integral equation at the reference points is proved, and the rate of convergence of the method is indicated. In addition, a sequence is constructed that converges to an exact solution of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in two-dimensional space.

Download file

Counter downloads: 4

Keywords

collocation method, quadrature formulas, Hankel function, potentials of simple and double layers, Helmholtz equation, exterior Dirichlet boundary value problem

Authors

Name	Organization	E-mail
Khalilov Elnur H.	Azerbaijan State Oil and Industry University	elnurkhalil@mail.ru

Всего: 1

References

Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1979. Т. 16. С. 5-53.

Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 527 с.

Kress R. Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering // Mathematical and Computer Modeling. 1991. V. 15 (3-5). P. 229-243.

Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физ.-мат. лит., 1962. 599 с.

Turc C., Boubendir Y., Riahi M.K. Well-conditioned boundary integral equation formulations and Nystrom discretizations for the solution of Helmholtz problems with impedance boundary conditions in two-dimensional Lipschitz domains // Journal Integral Equations Applications. 2017. V. 29 (3). P. 441-472.

Yaman O.I., Ozdemir G. Numerical solution of a generalized boundary value problem for the modified Helmholtz equation in two dimensions // Mathematics and Computers in Simulation. 2021. V. 190. P. 181-191.

Халилов Э.Г., Бахшалыева М.Н. Исследование приближенного решения интегрального уравнения, соответствующего смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа // Уфимский математический журнал. 2021. Т. 13, № 1. С. 86-98.

Бахшалыева М.Н., Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021. Т. 61, № 6. С. 936-950.

Халилов Э.Г. Исследование приближенного решения некоторых классов поверхностных интегральных уравнений первого рода // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 74. С. 43-54.

Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для одного класса поверхностных инте гральных уравнений // Математические заметки. 2020. T. 107 (4). C. 604-622.

Каширин А.А., Смагин С.И., Талтыкина М.Ю. Применение мозаично-скелетонного метода при численном решении трехмерных задач Дирихле для уравнения Гельмгольца в интегральной форме // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56 (4). С. 625-638.

Каширин А.А., Смагин С.И. О численном решении задач Дирихле для уравнения Гельм гольца методом потенциалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52 (8). С. 1492-1505.

Leis R. Zur Dirichletschen Randwertaufgabe des Aussenraums der Schwingungsgleichung // Mathematische Zeitschrift. 1965. Bd. 90 (3). S. 205-211.

Brakhage H., Wemer P. Uber das Dirichletsche Aussenraumproblem fur die Helmholtzsche Schwingungsgleichung // Archiv der Mathematik. 1965. Bd. 16 (1). S. 325-329.

Панич О.И. К вопросу о разрешимости внешних краевых задач для волнового уравне ния и для системы уравнений Максвелла // Успехи математических наук. 1965. Т. 20, № 1. С. 221-226.

Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.