A mathematical model of physically nonlinear torsional vibrations of a circular elastic rod
A mathematical model of non-stationary torsional vibrations of a circular elastic rod is developed taking into account the Kauderer nonlinear law of elasticity. To solve this problem, the nonlinear equation of motion of an elastic body with torsional vibrations of a rod is reduced to two linear Bessel equations (homogeneous and inhomogeneous) in transformations. Considering general solutions of the obtained equations with zero initial and given boundary conditions on the surface of the rod, a refined physically nonlinear equation of torsional vibrations of the rod made of homogeneous and isotropic material is derived. In particular, this equation may be used to obtain some well-known classical oscillation equations. An algorithm is proposed that allows one to determine the stress-strain state of the points along an arbitrary crosssection of the rod in terms of space and time coordinates using the field of the desired functions. Some special cases resulting from the obtained results are analyzed. In particular, by reducing the expressions of Bessel functions in the form of power series to the first few terms, an approximate equation of the circular rod oscillations is derived. Comparative analysis of findings and available data of other authors shows that the obtained equation generalizes the well-known classical linear equation and nonlinear equations of G. Kauderer and Professor I.G. Filippov. Based on the proposed equation and formulas for stresses and displacement, the applied problem of physically nonlinear torsional vibrations of a circular elastic rod under end and surface loads is solved.
Keywords
mathematical model,
non-stationary,
torsional vibrations,
nonlinear equations,
physical nonlinearity,
stresses,
displacementAuthors
| Khudoynazarov Khayrulla | Samarkand State University | kh.khudoyn@gmail.com |
Всего: 1
References
Худаяров Б.А., Камилова К.М. Численное моделирование колебаний вязкоупругих тру бопроводов, транспортирующих двухфазную среду в режиме пробкового течения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 61. С. 95-110.
Худойназаров Х.Х., Халмурадов Р.И., Ялгашев Б.Ф. Продольно-радиальные колебания упругой цилиндрической оболочки с вязкой сжимаемой жидкостью // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 69. С.139-154.
Khudoynazarov Kh., Abdurazakov J., Kholikov D. Nonlinear torsional vibrations of a circular cylindrical elastic shell // AIP Conference Proceedings. 2022. V. 2637. Art. 020003.
Awrejcewicz J., Krysko V.A. Nonlinear coupled problems in dynamics of shells // International Journal of Engineering Science. 2003. V. 41. P. 587-607.
Khudoynazarov K., Yalgashev B. Longitudinal vibrations of a cylindrical shell filled with a viscous compressible liquid // E3S Web of Conferences. 2021. V. 264. Art. 02017.
Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. New York: Cambridge University Press, 2008. 374 p.
Цурпаль И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техника, 1976. 176 с.
Петров В.В. Расчет неоднородных по толщине оболочек с учетом физической и геомет рической нелинейностей // Academia. Архитектура и строительство. 2016. № 1. C. 112117.
Khudoynazarov Kh., Kholikov D., Abdurazakov J. Torsional vibrations of a conical elastic shell // AIP Conference Proceedings. 2022. V. 2637. Art. 030024.
Khalmuradov R., Nishonov U. Nonlinear deformation of circular discrete ribbed plate under influence of pulse loading // E3S Web of Conferences. 2021. V. 264. Art. 02018. 10.1051/e3 sconf/202126402018.
Каудерер Г. Нелинейная механика: пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 777 с.
Pellicano F. Vibrations of circular cylindrical shells: theory and experiments // Journal of Sound and Vibration. 2007. V. 303. P. 154-170.
Khodzhaev D.A., Abdikarimov R.A., Mirsaidov M.M. Dynamics of a physically nonlinear viscoelastic cylindrical shell with a concentrated mass // Magazine of Civil Engineering. 2019. V. 91 (7). P. 39-48.
Бакушев С.В. Разрешающие дифференциальные уравнения физически-нелинейной теории упругости в напряжениях для плоской деформации // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 63. C. 72-86.
Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Крутильные волны конечной амплитуды в упругом стержне // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 6. C. 157-163.
Кудин А.В., Тамуров Ю.Н. Применение метода малого параметра при моделировании изгиба симметричных трехслойных пластин с нелинейно-упругим заполнителем // Вiсник Схiдноукраiнського нацiонального унiверситету iм. Володимира Даля. 2011. № 11 (165). С. 32-40.
Вячкин Е.С., Каледин В.О., Решетникова Е.В., Вячкина Е.А., Гилева А.Е. Разработка математической модели статического деформирования слоистых конструкций с несжимаемыми слоями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. С. 72-83.
Бакушев С.В. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации в декартовых координатах при биквадратичной аппроксимации замыкающих уравнений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 76. С. 70-86.
Khudoynazarov Kh.Kh. Transversal vibrations of thick and thin cylindrical shells, interacting with deformable medium // Shell structures. Theory and applications: Proc. of the 8th international conference on shell structures (SSTA 2005), 12-14 October 2005, Jurata, Gdansk, Poland. London: Taylor & Francis Group, 2006. P. 343-347.
Filippov I.G., Kudajnazarov K. Boundary value problems of longitudinal oscillations of the circular cylindrical shells // Gongye Jianzhu. Industrial Construction. 1998. V. 28 (12). P. 34-40.
Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. М.: Произв.-издат. комбинат ВИНИТИ, 2007. 429 с.
Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. Вып. 5. C. 3-33.
Khudoynazarov Kh., Gadayev A., Akhatov Kh. Torsional vibrations of a rotating viscoelastic rod // E3S Web of Conferences. 2023. V. 365. Art. 02016. 10.1051/e3sconf/ 202336502016.
Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение. 1983. 270 с.
