EDUCATIONAL COMPUTER MODELLING OF PHYSICAL PHENOMENA, DESCRIBED BY BERNULLI'S DISTRIBUTION.pdf Современная физическая картина мира характеризуется как квантово-полевая, вероятностно-статистическая. Статистические законы в физике отражают объективное существование многозначных, вероятностных связей, взаимозависимостей между явлениями, свойствами предметов. Динамические закономерности, напротив, устанавливают однозначные, строго определенные связи. Различие в характере вероятностно-статистических и динамических законов обусловлено типом детерминации связей. Для динамических законов отношение между причиной и следствием выступает в форме необходимости, для статистических – в форме случайности. Случайные явления причинно обусловлены, но они не являются необходимыми. Современная методология науки не признает ни «чистой» случайности, ни «чистой» необходимости. Они едины в своей противоположности. Динамические закономерности являются частным, предельным случаем статистических связей, их особого сочетания (например, [3. С. 165]). Это относится и к законам функционирования простых механических систем [1, 6, 7]. Отсутствие жесткого детерминизма обусловливает в общем случае многовариантность и непредопределенность событий, невозможность их обращения вспять, что делает развитие мира необратимым. Статистические законы более глубоко отображают объективные связи в природе по сравнению с динамическими законами, они соответствуют более высокому этапу познания окружающего мира. Отсюда следует необходимость раскрытия статистического смысла физических законов, а также представления вероятностных методов в вузовском курсе физики. Следует отметить и личностный аспект формирования у обучаемых представления о примате статистических закономерностей. Л.В. Тарасов вводит понятие «вероятностное мышление», для которого характерны «понимание условности догматов, ориентация на многовариантность, готовность к перестройке, к поиску оптимальных путей» [7, с. 232]. Эти психологические установки актуальны не только в научной деятельности, но и в повседневной жизни. В методике преподавания физики считается актуальной проблема разработки методических материалов, способствующих пониманию студентами фундаментального статуса статистических закономерностей. Об этом, в частности, свидетельствуют недавние диссертационные исследования О.В. Коваленко [4], Л.В. Хаповой [9], Т.Г. Шаповаленко [10]. Обучение статистическим понятиям, законам и методам в курсе физики должно основываться на выявлении, анализе и последующем преодолении характерных для данного учебного материала препятствий, барьеров, затрудняющих его освоение студентами. На наш взгляд, основные препятствия состоят в следующем. 1. Как уже отмечено выше, вероятностно-статистическая природа физических законов во многих случаях первоначально скрыта, как правило, она представляет собой сущность более высокого порядка по сравнению с сущностями, отражаемыми динамическими законами. Этому порядку раскрытия сущностей должны соответствовать определенные этапы в обучении. Однако в ограниченном временными рамками учебном процессе далеко не всегда удается реализовать такие этапы. Поэтому традиционное изложение материала по таким разделам, как «Механика», «Электродинамика», «Оптика», не предусматривает рассмотрения статистической природы законов. Статистические представления актуализируются при изучении лишь тех разделов физики, в которых они непосредственно используются для обоснования тех или иных закономерностей, например, при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов (уравнения Клаузиуса). Отметим также, что математические выражения, описывающие вероятностные законы, не указывают на случайность процесса. Физические формулы в неявном виде могут представлять стандартные вероятностные распределения, но авторы учебных пособий не всегда обращают внимание на этот факт. Например, формулы для вычисления средней скорости молекул газа или среднего числа молекул в некотором интервале скоростей по виду не отличаются от формул, выражающих динамические законы. Поэтому статистическая природа этих величин часто упускается из виду после того, как соответствующие формулы были получены. 2. Сложность математического аппарата теории вероятностей и математической статистики, громоздкость формул для статистической обработки данных существенно ограничивают число вопросов и задач, при рассмотрении которых они могли быть использованы. 3. Статистические процессы гораздо сложнее воспроизвести в учебном натурном эксперименте (демонстрационном или лабораторном), поскольку для получения статистических данных как результатов многократных измерений необходимы большие затраты времени. Кроме того, для постановки таких экспериментов, как правило, требуется дорогостоящее оборудование. На наш взгляд, преодолению всех отмеченных трудностей может способствовать использование в учебном процессе компьютерного моделирования в форме вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент позволяет проводить множество испытаний моделируемой системы за ограниченное время, варьировать в широких пределах параметры эксперимента, сохранять и упорядочивать результаты испытаний (т.е. строить вариационные ряды случайных величин), использовать самые совершенные математические методы при обработке полученных данных, анализировать характер распределений случайных величин при помощи графиков и гистограмм. Метод статистических испытаний, реализуемый в компьютерном эксперименте, целесообразно проводить по следующему плану. 1. Планирование исследования Актуализация знаний об исследуемом явлении, выявление «элементарного акта» или «элементарного процесса», определяющего протекание явления; определение статистической закономерности, лежащей в основе явления, запись формулы для вероятности наступления «элементарного акта» рассматриваемого явления; определение из этой формулы состава контролируемых в эксперименте величин; проектирование модели. При имеющейся возможности выдвижение гипотезы относительно вида закона распределения случайной величины. 2. Выполнение действий по получению первичных данных Реализация компьютерной модели, проверка правильности ее функционирования (тестирование), проведение статистических испытаний, фиксирование их результатов. 3. Обработка и интерпретация полученных данных Статистическая обработка полученных данных, сопоставление полученного закона (функции) распределения случайной величины с известным из теории вероятностей, содержательная интерпретация результатов (установление их соответствия свойствам реальной физической системы); изложение процесса, результатов и выводов исследования; при необходимости осуществление дополнительных исследовательских процедур с моделью. Отметим, что приведенное описание деятельности по постановке вычислительного эксперимента со стохастической моделью представляет собой конкретизацию структуры всякого научного исследования [8. С. 226] и соответствует составу и последовательности действий по постановке натурного эксперимента (как генетически исходного по отношению к модельному). Существенная особенность рассматриваемого вычислительного эксперимента состоит в том, что в нем не производится аналитического решения уравнений, описывающих поведение физической системы как целого. В данном случае закономерности функционирования системы устанавливаются по результатам изучения свойств составляющих ее элементов и их взаимосвязей. Такого вида эксперимент обозначается как имитационный [5. С. 148–156]. В науке имитационное моделирование используется, главным образом, для исследования сложных систем, не поддающихся аналитическому описанию. Вместе с тем, по нашей оценке, его применение целесообразно также для учебного моделирования простых физических систем и явлений. Рассмотрим примеры моделирования явления распределения молекул газа между половинами объема сосуда, в котором он находится, и явления радиоактивного распада. Оба явления, несмотря на их различную природу, подчиняются биноминальному закону распределения (распределению Бернулли): . (1) В приведенном выражении n – число испытаний, в которых случайное событие (назовем его событием A), состоящее в попадании молекулы в одну из половин сосуда или распаде ядра атома за определенный промежуток времени, может наступить или не наступить; m – число произошедших событий (случайная величина); p – вероятность реализации события A; q – вероятность реализации события , противоположного А. В рассматриваемых примерах числу испытаний n соответствует число N молекул газа или число N атомов радиоактивного препарата, поскольку каждая молекула или атом подвергается статистическому испытанию. Величина есть вероятность в n испытаниях получить m событий A; – число сочетаний из n элементов (числа атомов или молекул) по m (по числу случаев наступления события A). Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов [2. С. 15]. При моделировании рассматриваемых явлений необходимо актуализировать следующие сведения из теории вероятностей. В каждом испытании могут выпасть два противоположных события A и . Пусть событие A реализуется с вероятностью p, тогда вероятность наступления события составит q = 1 – p . Если в физической системе находится N атомов или молекул, то вероятность совместного наступления в определенной последовательности m раз события А и n – m раз события , согласно теореме умножения вероятностей, составит . Но событие А может появиться m раз в n опытах в различных последовательностях. Число вариантов таких последовательностей равно числу сочетаний из n по m. Это число совпадает с числом способов, которыми можно выбрать m элементов (атомов или молекул) из имеющихся n, не учитывая их порядка. Все вариантов наступления события A m раз представляют собой несовместные события, вероятность каждого из которых составляет . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех этих несовместных событий, т.е. произведению . Далее приведем описание процесса и результатов моделирования явления распределения молекул газа между половинами объема сосуда, в котором он находится, в соответствии с приведенным выше планом. Положим, в сосуде находится N молекул. Разделим мысленно сосуд на две равные части. Состояние отдельной молекулы может быть охарактеризовано указанием того, в какой половине сосуда она находится. Вероятность того, что молекула окажется в какой-то одной половине сосуда, равна p = q = 0,5. С учетом этого произведение окажется равным 0,5n = 0,5N, и формула (1) приобретет вид . (2) Формулы (1) и (2) содержат факториалы, поэтому число молекул газа должно быть небольшим. Моделирование статистических испытаний для N = 10 молекул выполним в среде табличного процессора Microsoft Excel следующим образом. Создадим с помощью генератора случайных чисел столбец из тысячи случайных чисел, лежащих в интервале от 0 до 1. Будем полагать, что если случайное число окажется больше 0,5, молекула находится в правой половине сосуда, если меньше 0,5 – в левой. Разобьем массив из тысячи ячеек на сто интервалов по десять молекул. Тем самым получим возможность одновременно получать результаты серии из K = 100 испытаний. Подсчет числа молекул в правой половине сосуда будем осуществлять с помощью функции СЧЁТЕСЛИ (диапазон; критерий). Диапазон для этой функции включает интервал из десяти ячеек, аргументом является условие «>0,5». В правой половине сосуда число молекул может изменяться от m = 0 до m = 10. Следует подсчитать число реализаций k каждого из этих одиннадцати вариантов расположения молекул в серии из K = 100 экспериментов. Для этого также используем функцию СЧЁТЕСЛИ. В данном случае диапазоном для функции служит весь столбец ячеек, в которых записаны результаты подсчета молекул, находящихся в правой половине сосуда, а аргументом – различные значения числа m. Воспользовавшись классической формулой вероятности, найденную в вычислительном эксперименте вероятность реализации того или иного состояния газа можно найти как отношение k/K. Очевидно, определенные в результате конечного числа опытов значения вероятностей различных состояний газа будут несколько отличаться от теоретических, рассчитанных по формулам (1) или (2) (соответствующих бесконечному числу испытаний). На рис. 1 показано два варианта представления результатов статистических испытаний. На диаграмме слева приведены гистограммы экспериментального и теоретического распределений, на диаграмме справа – точечный график, показывающий число молекул в одной половине сосуда в различные моменты времени. Модель позволяет оперативно наблюдать множество вариантов распределения . Для получения очередного варианта следует произвести любое изменение на рабочем листе Excel или нажать на клавиатуре клавишу «Delete». При этом автоматически производится обновление значений случайных чисел, пересчет данных и перестроение графиков. Экспериментальная гистограмма при повторных испытаниях показывает различную степень приближения к теоретической. Из рис. 1, к примеру, видно, что определенная в результате серии из 100 испытаний вероятность появления четырех молекул из десяти в правой половине сосуда составляет 0,27, в то время как теоретическое значение вероятности равно 0,21. Моделирование явления радиоактивного распада ядер атомов будем осуществлять с учетом следующих соображений. Распад каждого отдельно взятого ядра – случайное событие, вероятность наступления которого не зависит ни от предыстории ядра, ни от распада других ядер. Число dN ядер, распавшихся за время dt, определяется законом , где N – число имеющихся ядер; λ – постоянная распада. Перепишем данную формулу в виде приближенного равенства (3) и обратим внимание на то, что доля распавшихся ядер , в соответствии с классической формулой вероятности, равна вероятности p распада ΔN ядер из имеющихся N за время Δt. Отвлекаясь от того несущественного в данном случае факта, что число ядер с течением времени убывает (ΔN – отрицательно), получим p ≈ λ Δt. Вероятность p не зависит от числа ядер и может характеризовать вероятность распада одного ядра. С учетом этого можно определить смысл постоянной распада λ как величины, равной вероятности распада любого ядра в единицу времени. Как и в предыдущей модели, число атомов N выбираем небольшим, например, N = 30. Задача состоит в определении методом статистических испытаний числа распавшихся ядер за некоторый промежуток времени Δt. Приближенное равенство (3) выполняется тем точнее, чем меньше ΔN. Выберем ΔN/N = 0,1. Тогда произведение λΔt = 0,1 и при Δt = 1 с постоянная распада составит 0,1 с–1. Отметим, что данной величине λ соответствует период полураспада Реализацию модели на листе MS Excel выполним в следующей последовательности. С помощью функции СЛЧИС() создадим столбец из тридцати равномерно распределенных случайных чисел, изменяющихся в пределах от нуля до единицы. Копируем этот столбец в горизонтальном направлении с помощью маркера заполнения так, чтобы получилось, к примеру, пятьдесят столбцов. Тем самым получим возможность одновременно проводить серию из пятидесяти испытаний с тридцатью ядрами. Распад ядра будем считать состоявшимся, если случайное число примет значение, меньшее λΔt . Подсчет числа распавшихся ядер в каждом столбце будем производить с помощью функции СЧЕТЕСЛИ. Пробные эксперименты с моделью показывают, что число распавшихся ядер в каждом столбце практически никогда не превышает восьми, т.е. ΔN = m < 8. Таким образом, возможно девять различных значений числа m. Подсчет числа реализаций k каждого из этих девяти вариантов в серии из K = 50 экспериментов будем производить помощью функции СЧЕТЕСЛИ. По полученным данным с помощью формулы рассчитаем вероятность реализации каждого варианта. Кроме того, по формуле (1) вычислим теоретические вероятности для каждого значения m. Настоящая модель, как и предыдущая, позволяет наблюдать множество вариантов распределения с различной степенью их соответствия теоретическому распределению . Один из вариантов представлен на рис. 2. В учебном процессе познавательный цикл, включающий проектирование, реализацию и исследование моделей, наиболее полно можно воспроизводить на лабораторно-практических занятиях в аудитории, оснащенной компьютерами. При изучении явлений распределения молекул газа в сосуде и радиоактивного распада с использованием моделей студентами выполняются следующие мыслительные и практические действия: · рассмотрение данных явлений на уровне их «элементарных актов»; · математическое описание этих актов как вероятностных процессов; · программная реализация моделей, обеспечивающих возможность проведения не менее тысячи испытаний в одной серии и многократное повторение серий испытаний; · экспериментирование с моделью; · применение аппарата теории вероятностей и математической статистики для обработки полученных данных, построение экспериментальной и теоретической гистограмм распределения случайной величины, их сравнение. Результатом выполнения этих действий, по нашей оценке, является углубление знаний о рассмотренных явлениях, установление общности их статистической природы, формирование умения создавать имитационные модели и проводить с ними статистические испытания, выявлять закономерности поведения физических систем по результатам этих испытаний.

Скачать электронную версию публикации