Tasks with variables fieldsfor computer systems of testing.pdf Понятие задачи с переменными полями Рассмотрим две группы задач. Под группой задач будем понимать множество задач, имеющих один и тот же текст (формулировку) и отличающихся друг от друга только числовыми данными. Первая группа представляет собой обычную задачу с параметрами.Группа 1. Решить квадратное уравнение: x2 + Bx + C = 0.Если положить B=b и C=c, где , причем c0,- ответ задачи и значения полей А должны быть целочисленными. Пусть натуральный параметр а представляет собой единственное решение. Из графиков функций и y = x - 1 (рис. 1) видно, что данная задача имеет единственное решение а > 1. Если а - решение исходного иррационального уравнения, то а является решением квадратного уравнения x2 - 3x + 1 - A = 0. Поэтому A = a2 - 3a + 1. Если a - целое число, то A - тоже будет целым. Нам же нужно A > 0. Решая квадратное уравнение a2 - 3a + 1 > 0, получим . Отсюда имеем диапазон изменения параметра а: а > 2.Целесообразно положить дополнительно a < 51 для того, чтобы различные варианты мало отличались друг от друга по сложности. Итак, получили следующую задачу с переменными полями.ЗПП3:Текст: Найти решение или сумму решений, если существует не одно решение:.Ответ: B.Параметры: a = 3 ÷ 50.Переменные поля и их формулы: A = a2 - 3a + 1, B = a. Замечания:1)В тексте задачи не зря указывается на случай двух корней уравнения. Это является ключевым в таких задачах: учащийся должен уметь отбрасывать «лишние корни».2)После получения задачи с переменными полями обязательно нужно сделать проверку. В этом и нижеприведенных примерах такая проверка дала положительный результат. 3) Процесс «сборки» задач неоднозначен: вполне возможны другие алгоритмы «компиляции» тех же (по сути) задач, приводящие к другим задачам с переменными полями,Пример 2 Разберем пример «компиляции» задачи с переменными полями, имеющей два параметра. Исходная задача: Решить уравнение: A(x2 - B) = Cx2 + DxТребования к составлению ЗПП:- значения переменных полей A, B, C, D и ответа - целые числа;- A > 1, B > 0, C ≠ 1, D > 1 (иначе возможны ситуации подобные этим: 2(x2 - -4) = 4x2 + -7x или 2(x2 - 4) = 4x2 + 1x, что противоречит математическому синтаксису). Проследим процесс получения параметров задачи, их диапазонов изменения, а также формул для переменных полей A, B, C, D.Если a и b - корни квадратного уравнения (A - C) x2 - Dx - AB = 0, то по теореме Виета имеем:Сделаем так, чтобы А - С = 1. Отсюда С = А - 1. Тогда Отсюда следует, что D = a + b. Если положить A = -b, то B = a. Итак, формулы для полей получены. Исходя из требований к задаче имеем: b < 0, a > 0, a + b > 1. Поэтому можно положить следующие диапазоны изменения параметров a и b:a = 16 + i, i = 0, … , 14, b = -14 + j , j = 0, … , 9. Числа 14 и 9 определяются тем, что общее количество всех различных вариантов при таких количествах будет равно 150, что вполне достаточно для наших целей (всего для обычной группы нужно не более 30 вариантов). Итак, получена следующая задача с переменными полями.ЗПП4.Текст: Найти корни уравнения A (x2 - B) = Cx2 + Dx.Ответ: -A; B.Параметры: a = 16 30, b = -14 -5.Переменные поля и их формулы: A = -b, B = a, C = -b - 1, D = a + b.Пример 3Приведем пример «компиляции» задачи с переменными полями, имеющей три параметра. Исходная задача: Cократить дробь: .Требования к ЗПП:- значения переменных полей A, B, C, D и ответа - целые числа;- A > 1, B > 1, C > 0, D > 0. Дробь сократится, если значение поля D будет корнем квадратного трехчлена, стоящего в числителе. Поэтому AD2 + BD - C = 0. Отсюда С = AD2 + BD. Поэтому в качестве параметров можно взять значения полей A, B, D. Исходя из требования ЗПП, получим диапазоны изменения этих параметров. Ответ получается так: Ax2 + Bx - AD2 - BD = Ax2 - AD2 + Bx - BD = A(x - D2) + B(x - D) = A(x - D) (x + D) + B(x - D) = (x - D) (Ax + AD + B). Поэтому ответ такой: Ax + AD + B. Итак, получили следующую задачу с переменными полями.ЗПП5.Текст. Сократить дробь: .Ответ: Ax + E.Параметры: a = 2 ÷ 9, b = 2 ÷ 9, d = 1 ÷ 9.Переменные поля и их формулы: A = a, B = b, C = ad2 + bd, D = d, E = b + ad.Пример 4 Рассмотрим ЗПП, связанные с задачами по высшей математике. Построим задачу с переменными полями для следующей задачи по теме «Аналитическая геометрия». Задача. В треугольнике с заданными вершинами A(X1,Y1), B(X2,Y2), C(X3,Y3) найти уравнение медианы, проведенной из вершины A. Ответ дать в виде уравнения с угловым коэффициентом. Пока координаты вершин треугольника неопределенны. Нам необходимо их определить таким образом, чтобы1)вершины треугольника не лежали на одной прямой, иначе задача будет некорректной,2)уравнение медианы можно было бы записать в виде уравнения с угловым коэффициентом (это нужно для однозначности записи ответа к задаче),3)коэффициенты k и b итогового уравнения y = kx + b были бы целыми числами (это нужно для удобства проверки результата),4)координаты вершин треугольника были бы целыми числами (это нужно для удобства восприятия задачи учащимся). Вариантов решения поставленной проблемы много. Укажем один из них.Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0), с заданным угловым коэффициентом k имеет вид y=k(x-x0)+y0. (1)Поэтому если обеспечить целочисленность x0 и y0, k, то коэффициент b будет целочисленным автоматически. Искомая медиана проходит через точку А, поэтому в качестве вершины А можно взять, например, точку A(1,1). Для того чтобы коэффициент k мог принимать различные целые значения, нужно обеспечить изменение угла наклона медианы от 45 до 90o . Такой диапазон изменения угла возможен, например, при таком расположении вершин треугольника, какой указан на рис. 2. Отсюда следует, например, что A(1, 1), B(1, 9), C(x, y), где x > 1. Для того чтобы коэффициент k был целочисленным, можно поступить следующим образом. Выразим k через x и y. Решая задачу классическим путем, получим k =(7 + y) / (x - 1). Отсюда x = (7 + y) / k + 1. Если ввести целочисленный параметр а, представляющий собой частное (7 + y) / k, то x = a + 1 (целое число !), а y = ak - 7 (целое число !). Итак, получили следующую задачу с переменными полями.ЗПП6:Текст: В треугольнике с заданными вершинами A(1, 1), B(1, 9), C(x, y) найти уравнение медианы, проведенной из вершины A. Ответ дать в виде уравнения с угловым коэффициентом.Ответ: y = kx - d.Параметры задачи: a = 1 ÷ 20, b = 2 ÷ 50 Переменные поля задачи: x = a + 1, y = ab - 7, k = b, d = b - 1. Замечания:1) Параметр b соответствует угловому коэффициенту k, который полностью определяет уравнение медианы благодаря уравнению (1). Поэтому ему назначаем большой диапазон изменения, иначе число различных вариантов ответа задачи будет небольшим. Минимальное значение b равно 2 для того, чтобы значение b-1 было больше 0.2) Параметр a обеспечивает целочисленность и многовариантность значений координат точки С. Диапазоны указанных параметров дадут нам 49х20=980 различных вариантов.Пример 5 Рассмотрим два варианта «компиляции» следующей задачи.Задача. Найти решение задачи Коши:. В ответе указать .Решение. Решая эту задачу методом Бернулли, получим следующее общее решение дифференциального уравнения: где C - произвольная постоянная. Используя начальные условия, получим:Таким образом, поставленная задача имеет следующий ответ: 1+pr. Если параметры p, q, r будут «пробегать» значения из следующего диапазона: p=2÷9, q=2÷9, r=1÷9,то можно обеспечить достаточно большое количество (576 единиц) равносложных вариантов данной задачи.ЗПП7:Текст: Найти решение задачи Коши: . В ответе указать .Ответ: D.Параметры: a = 2 ÷ 9, b = 2 ÷ 9, c = 1 ÷ 9Переменные поля: A = a, B = b, C = c, D = 1 + ac. Замечание. Если студент имеет нестандартное мышление, он может прийти к тому же самому ответу, используя равенство, вытекающее из данного дифференциального уравнения: . Отсюда следует, что . Немного усложним ту же задачу, положив в начальных условиях дробное значение.Задача. Найти решение задачи Коши:. В ответе указать y'(1).Решение. Используя предыдущие рассуждения, получим ответ , который может принимать дробные значения. Сделаем так, чтобы ответ был целым числом (для удобства при проверке). Для этого положим p = wr. Тогда ответ будет таким: 1 + w. Чтобы обеспечить наличие достаточно большого количества вариантов с различными ответами, нужно положить больший, чем раньше, диапазон изменения параметра w: w = 1 ÷ 50. Таким образом, получен 2-й вариант задачи с переменными полями:ЗПП8:Текст: Найти решение задачи Коши:. В ответе указать y'(1)Ответ: D.Параметры: a = 1 ÷ 50, b = 2 ÷ 9, c = 1 ÷ 9.Переменные поля: A = ac, B = b, C = c, D = 1 + a.Замечание: данный пример показывает, что переменные поля могут находиться в любом месте текста задачи, в частности, в знаменателе дроби.Пример 6 Приведем пример составления задачи с переменными полями по теме «Поверхностные интегралы».Задача. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода: , где Σ - часть ориентированной поверхности, заданной уравнением , a > 0, b > 0 , отсеченная координатными плоскостями x = 0, y = 0, z = 0; ориентация поверхности определяется нормалью, образующей острый угол с осью Oy. Сведем поверхностный интеграл 2-го рода к двойному интегралу., где D - проекция поверхности на координатную плоскость Oxz. Эта область ограничена линиями: После сведения двойного интеграла к двум обыкновенным интегралам получим:Для целочисленности ответа можно задать параметры следующим образом:a = 2m, m = 1 ÷ 9.b = 3n, n = 1 ÷ 9.Ответ при этом будет целочисленным:. Получили следующую задачу с переменными полями.ЗПП9:Текст: Вычислить: , где Σ - часть поверхности: x/A + y + z/B = 1, отсеченная координатными плоскостями (нормаль образует острый угол с осью Оу.)Ответ: C.Параметры: a = 1 ÷ 9 , b = 1 ÷ 9.Переменные поля: A = 2a, B = 3b, C = ab.Пример 7 Рассмотрим задачу из раздела «Теория вероятностей», в которой переменные поля представляют собой конечные десятичные дроби, задаваемые при помощи целочисленных параметров. В силу простоты задачи процесс «сборки» не представляет интерес. Выписываем конечный результат.ЗПП10:Текст: Автор послал статью в два журнала. Вероятность того, что она будет опубликована в первом журнале, равна 0, A, во втором - 0, B. Какова вероятность того, что статья будет опубликована хотя бы в одном журнале?Ответ: .Параметры: a = 10 ÷ 90, b = 10 ÷ 90.Переменные поля: A = a , B = b, C = 10000 - (100 - a)(100 - b).Программная реализация задач с переменными полями Еще раз напомним, что задачи с переменными полями используются авторами в разработанных ими компьютерных программах. Эти программы используются в учебном процессе:- для проведения математических олимпиад [2];- для подготовки раздаточного материала контрольных работ по математике [1], [3], [4]. Рассмотрим программную реализацию таких задач, например, в компьютерной системе «UniTex», использующей известную полиграфическую систему LaTex. Пусть подготовлена следующая задача с переменными полями:ЗПП11:Текст: Туристы двигаются по прямой: , где t - время.В какой момент времени они достигнут реки, уравнение которой Ответ: F (действительное число с 3-мя знаками после запятой)Параметры: a=1÷9, b=1÷9, c=2÷9, d=2÷9, e=2÷9.Переменные поля: A=a, B=c, C=b, D=d, E=e, F=(ea+b)/(ec+d).Рис. 3. Окно редактора задачи с переменными полями Эта задача набирается во встроенном текстовом редакторе системы «UniTex» так, как показано на рис. 3. Вначале идет описание параметров с их диапазонами и шагами. Например, запись %a=1 9 1 означает наличие в задаче параметра a с диапазоном изменения от 1 до 9 (включительно) с шагом 1. Затем дается описание переменных полей задачи. Например, запись %@1=aозначает наличие в тексте задачи переменного поля @1, значение которого вычисляется при помощи выражения a. Запись %@.@@@6=(ea+b)/(ec+d) означает, что вместо поля @.@@@6 будет вставлено программой вещественное число с 3 знаками после запятой (с округлением), вычисленное при помощи выражения (ea+b)/(ec+d). В результате использования такой ЗПП в контрольной работе системой будет подготовлено достаточное количество различных равноценных вариантов этой задачи.

Скачать электронную версию публикации