STUDYING OF INERTIA MOMENT AND POSITION OF mass CENTER OF RIGID BODY OF asymmetric shape in the course of general physic.pdf Момент инерции и центр инерции абсолютно твердого тела являются одними из фундаментальных понятий курса общей физики, которые изучают при любом объеме данной учебной дисциплины [1. С. 158-171; 2. С. 128-135; 3. С. 184-193 и др.]. Однако традиционная методика изложения этих понятий ограничивается выводом (а чаще предъявлением) формул момента инерции нескольких тел простой формы, симметричных относительно центра инерции (например, [2. C. 136-140; 3. C. 193-199]). В учебных экспериментах по определению момента инерции также используются симметричные физические тела [4. C. 83-88, 99-101; 5. С. 72-76, 83-88, 93-97]. Анализу момента инерции тел несимметричной формы в современных курсах общей физики внимание не уделяется. Это приводит к тому, что для таких тел студенты не могут ни рассчитать момент инерции, ни определить его экспериментально. Возникает вопрос, можно ли модернизировать существующую методику, чтобы восполнить данный пробел в рамках курса общей физики? Рассмотрим достаточно общую модель вращения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси. Пусть абсолютно твердое тело массой mT, момент инерции которого J, покоится относительно некоторой оси OO’, расположенной перпендикулярно плоскости рис. 1 (сила тяжести также направлена перпендикулярно рисунку и скомпенсирована). Тело имеет по меньшей мере одну плоскую грань, расположенную перпендикулярно плоскости рисунка. Перпендикулярно этой грани с постоянной скоростью летит шарик массой m (материальная точка). После упругого удара о тело шарик отлетает в противоположном направлении со скоростью , а покоившееся до этого тело начинает равномерно вращаться (с постоянной угловой скоростью ) вокруг оси OO’. Влияние трения в рассматриваемой системе пренебрежимо мало. В таком случае уравнение динамики вращательного движения тела в момент удара (длительность удара Dt ® 0) можно записать в виде В проекции на ось OO’ полученное уравнение примет вид Учитывая, что - плечо силы, а до удара тело покоилось (w0 = 0), т.е. Dw = w - w0 = w, уравнение можно записать в виде Если скорость шарика до удара о тело равна , а после удара - , то изменение импульса DP шарика за время удара равно DP = mu + mv. Из закона сохранения механической энергии рассматриваемой системы Тогда из уравнения динамики и законов сохранения легко получить связь между угловой скоростью вращения тела w и модулем скорости v налетающего шарика: Учитывая, что угловая скорость вращения тела w обратно пропорциональна периоду T, это уравнение можно переписать в виде Таким образом, рассмотренная модель позволяет экспериментально определить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, перпендикулярной направлению движения шарика, приводящего тело в движение. Для этого достаточно измерить время, за которое равномерно вращающееся благодаря удару шарика тело совершает один оборот - период вращения T. На основе полученного уравнения можно проанализировать, как период вращения тела будет зависеть от массы m и начальной скорости v шарика, плеча силы l (расстояния между осью вращения и линией удара) и момента инерции J тела. Для этого удобно полученное уравнение переписать в виде Отсюда видно, что чем больше момент инерции (при прочих одинаковых параметрах m, v, l), тем больше период вращения тела. Чем больше масса и начальная скорость шарика, тем меньше период вращения тела (тело совершает один оборот за меньшее время). Это позволяет подобрать оптимальные условия эксперимента: сочетание начальных характеристик движения шарика с возможностями экспериментального оборудования, обеспечивающее уменьшение погрешности измерений. С другой стороны, чтобы проанализировать зависимость периода T вращения тела от положения оси вращения (координат xO, yO), необходимо заметить, что согласно теореме Штейнера момент инерции J тела изменяется с изменением положения оси вращения следующим образом: где xC, yC - координаты центра инерции тела. Если при любом положении оси вращения точка (с координатами xуд, yуд), в которой шарик ударяется о тело, остается неизменной, а ось OX параллельна направлению движения шарика (направлению действия силы), то плечо силы l = yуд - yO (см. рис. 1) также изменяется, но только при перемещении оси вращения вдоль оси OY. Тогда Рассмотрим, как зависит период вращения тела от X-координаты положения оси вращения T(xO) при неизменном значении Y-координаты (yO = const). Для этого найдем частную производную Очевидно, что эта производная обращается в ноль при xO = xС, когда X-координата оси вращения совпадает с X-координатой центра инерции. То есть зависимость T(xO) так же, как и зависимость J(xO), носит квадратичный характер (рис. 2) и имеет минимум в точке xO = xС. Зависимость T(yO) периода вращения тела от Y-координаты положения оси вращения носит более сложный характер. С одной стороны, период увеличивается при удалении оси от центра инерции, с другой - уменьшается при удалении ее от линии удара. Поэтому частная производная обращается в ноль в точке, отличающейся от Y-координаты центра инерции YTmin(yo) ¹ yC. Зависимость T(yO) также имеет минимум, но этот минимум расположен ближе к точке удара, чем центр инерции тела (см. рис. 2). Для тел различной массы и формы сдвиг минимума зависимости T(yO) по сравнению с минимумом зависимости J(yO) может быть значительным. Так, для тел массой около 5 кг протяженностью около 30 см (максимальный линейный размер) этот сдвиг может достигать 2,5-3,5 см. Поэтому экспериментальное определение минимума зависимости T(xO) может служить для достаточно точного нахождения X-координаты центра инерции практически без расчета значений моментов инерции J, а экспериментальное определение минимума зависимости T(yO) может служить только для грубой (приблизительной) оценки значений Y-координаты центра инерции. Для точного определения Y-координаты центра инерции необходимо вычислить значения момента инерции для каждого положения оси вращения и найти, при каком значении yO момент инерции J минимален, но, учитывая анализ зависимости T(yO), эти расчеты достаточно выполнить только вблизи минимума зависимости T(yO). Таким образом, предложенная модель эксперимента создает условия для детального изучения момента инерции и положения центра инерции тела. При этом она достаточно проста и в то же время налагает минимум ограничений на форму тела, изучаемого в эксперименте: в точке удара поверхность тела должна быть плоской и перпендикулярной направлению движения шарика, приводящего тело в движение. То есть в качестве тела можно использовать, например, прямоугольную призму высотой h с произвольной формой основания (сечения), которая в эксперименте будет вращаться относительно оси, перпендикулярной основанию. Если такое тело (призма) обладает постоянной плотностью r, то расчет теоретического значения момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через начало координат и перпендикулярной основанию призмы, также доступен студентам младших курсов, изучающим параллельно с курсом общей физики интегральное исчисление в курсе математического анализа. В этом случае вычисление момента инерции тела сводится к вычислению двойного интеграла в пределах, ограниченных сечением S призмы: Учитывая, что r = mT/V, а объем тела момент инерции прямоугольной призмы с сечением S вычисляется следующим образом: Если сечение прямоугольной призмы имеет сложную форму, вычисление двойных интегралов, как правило, вызывает затруднения у студентов первого курса. Это и является одной из основных причин, по которой момент инерции тел несимметричной формы не изучается в курсе общей физики. Однако сечение некоторых прямоугольных призм сложной формы прямыми линиями, проведенными из начала координат, можно разбить на несколько фрагментов S1, S2, …, каждый из которых будет являться простой геометрической фигурой (например, прямоугольным треугольником или сектором круга). Тогда каждый из интегралов в формуле для момента инерции можно представить как сумму интегралов по всем фрагментам сечения призмы: . Аналогично теоретический расчет координат (xС, yС, zС), описывающих положение центра инерции такой призмы, с учетом всех выделенных фрагментов можно выполнить следующим образом: Все входящие в формулы для вычисления момента инерции и координат центра инерции интегралы легко вычисляются, если фрагмент сечения, в пределах которого выполняется интегрирование, имеет форму прямоугольного треугольника или сектора круга. Это открывает возможность конструирования формы тел (прямоугольных призм), моменты инерции которых студенты могут изучать в эксперименте. Ограничившись разбиением сечения призмы на 3-4 фрагмента, каждый из которых является либо сектором круга, либо прямоугольным треугольником, нами были сконструированы более 20 вариантов тел, не симметричных относительно центра инерции, с которыми можно выполнять описанные выше экспериментальные исследования и теоретические расчеты. Некоторые из сконструированных нами тел и их сечения (с изображением разбиения на фрагменты) представлены в таблице. В таблице для каждого из тел также приведены формулы для вычисления теоретических значений момента инерции относительно оси вращения, перпендикулярной основанию и проходящей через начало координат, и координат (xС, yС) центра инерции. С остальными вариантами тел можно ознакомиться в учебно-методическом пособии на сайте: http://ogrevinskaya.narod.ru/lab.html Учитывая высокую актуальность исследования теоретических моделей на компьютере в современном обучении [6], разработанная авторами методика изучения момента инерции тел несимметричной формы была реализована в виде компьютерной лабораторной работы «Момент инерции твердого тела», в которой воспроизводятся все сконструированные нами варианты тел (рис. 3). В процессе выполнения работы с помощью виртуального секундомера студенты, последовательно перемещая ось вращения сначала параллельно, а затем перпендикулярно линии удара, определяют период вращения тела, движение которого моделируется созданным авторами статьи программным приложением. Вычислив с помощью измеренных значений момент инерции тела для каждого положения оси вращения, студенты экспериментально определяют положение центра инерции тела и его момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции. Анализ изменения периода вращения тела при перемещении оси вращения носит здесь вспомогательный характер. Полученные результаты студенты сравнивают со сделанными ими ранее предположениями, а также с теоретическими расчетами, которые выполняют каждый для своего варианта формы тела. Лабораторная работа предлагает более 20 вариантов тел различной формы. Кроме всего прочего, данная работа иллюстрирует практическую значимость теоремы Штейнера. Опыт использования этой лабораторной работы в учебном процессе показал, что студенты успешно справляются с предложенным им исследованием. Форма тела (сечения) привлекает внимание студентов, стимулируя желание предугадать расположение центра инерции не только изучаемого, но и остальных вариантов. Кроме того, в процессе выполнения лабораторной работы «Момент инерции твердого тела» студенты учатся определять, какое минимальное количество оборотов необходимо наблюдать, чтобы уменьшить относительную погрешность в измерении периода вращения тела так, чтобы эксперимент оказался чувствителен к смещению оси вращения на 0,15 см даже вблизи центра инерции. Это способствует развитию навыков поиска оптимальных условий проведения эксперимента в учебной лаборатории [7]. Лабораторная работа «Момент инерции твердого тела» входит в состав комплекса лабораторных работ Laboratory Simulations для изучения теоретических моделей физических явлений и процессов на компьютере, который разрабатывается авторами статьи в Томском политехническом университете с 2002 г. [8] и продолжает пополняться [9]. Таким образом, проведенные исследования позволили раскрыть возможности модернизации методики изучения момента инерции твердого тела в курсе общей физики, дополнив традиционную методику исследованиями тел несимметричной относительно центра инерции формы. Предложенная и апробированная в учебном процессе методика изучения момента инерции несимметричных тел может быть принята за основу при разработке аналогичной натурной лабораторной работы [10], которая, несомненно, обогатит современный физический практикум. Многообразие сконструированных авторами несимметричных тел, доступных для теоретического и экспериментального изучения студентам младших курсов, открывает возможности обобщения полученных студентами выводов для тел произвольной формы. Это создает условия для глубокого и долговременного овладения ими такими понятиями, как момент инерции и центр инерции абсолютно твердого тела.

Скачать электронную версию публикации