Compound poisson approximation for the distribution of the number of monotone tuples in random sequence.pdf Пусть X = (X1,X2,... , Xn) есть отрезок последовательности, состоящий из независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на множестве {0,..., N - 1}. Определение 1. Монотонной цепочкой длины s (s E N) с началом в t назовём событие Et = {Xt,... , Xt+s-1 : Xt ^ Xm ^ ... ^ Xt+s-1} . n-s+1 Введём случайную величину £n (s) = E Ind {Et}, равную числу монотонных цеt=1 почек длины s в последовательности X. J. Wolfowitz [1] сформулировал условия сходимости распределения числа монотонных серий заданной длины в конечной бесповторной последовательности к распределению Пуассона и стандартному нормальному распределению. F. N. David и D. E. Barton [2] сформулировали условия для пуассоновской аппроксимации числа монотонных серий длины больше заданной в конечной бесповторной последовательности. Их результаты обобщил B.G. Pittel [3], который сформулировал теорему о сходимости распределения числа монотонных серий длины больше заданной к распределению Пуассона. O. Chryssaphinou, S Papastavridis и E. Vaggelatou [4] доказали теорему об аппроксимации распределения числа монотонных серий заданной длины в стационарной цепи Маркова пуассоновским распределением. Н. М. Меженная [5] сформулировала и доказала многомерную нормальную теорему для числа монотонных серий заданной длины. Введём некоторые обозначения. Условимся обозначать d (Ф, Ф) расстояние по вариации между распределениями Ф и Ф. Для распределений Ф и Ф на множестве {0,1,...} справедлива следующая формула (теорема Шеффе): 1 те d (Ф, Ф) = - Е |Ф {m} - Ф {m}|. 2 m=0 Распределение случайной величины Z будем обозначать L (Z). Пусть Л = (Л1,Л2,...) -последовательность неотрицательных действительных чите сел, причём сходится ряд Е Лк < то. Пусть {01, 02,...} -последовательность незавиk=1 симых случайных величин, причём случайная величина 0k имеет распределение Пуассона с параметром Ak, k E N. Распределение случайной величины ^ k0k называется k=1 сложным распределением Пуассона, которое будем обозначать CP (Л). На основе метода Стейна и результатов работ [6, 7] получена следующая теорема. Теорема 1. Пусть (X1,X2,... ,Xn) -отрезок последовательности, состоящий из независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на множестве {0,..., N - 1} и N ^ 3, тогда d (L (fn (s)), CP (AN-1 (1 - N-1) , AN-2 (1 - N-1) , AN-3 (1 - N-1) ,...)) ^ s + N ^ 2 1 , 1 ) -2 N-2s ^ (n - s + 1)(6s - 5)^ s + N^ (sN-1 + 1) На основании результата теоремы 1 сформулируем предельную теорему для случайной величины fn (s). Теорема 2. Пусть (X1,X2,... ,Xn) -отрезок последовательности, состоящий из независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на множестве {0,..., N - 1} и N ^ 3. Если n, s ^ то так, что 1) s/n ^ 0, 2) величина n (s + N)N -1 N-s+1 (N!) -1 ^ A, где N и A - константы, такие, что N ^ 3 и A > 0, то L (fn (s)) ^ CP (AN-1 (1 - N-1), AN-2 (1 - N-1), AN-3 (1 - N-1),...). Предельным распределением в теореме 2 является распределение суммы пуассо-новского (с параметром A) числа независимых случайных величин, имеющих геометрическое распределение (с параметром 1/N). Так как N фиксировано, а s ^ то, то число монотонных цепочек длины s, не содержащих все символы из множества {0,... , N - 1}, стремится к нулю. В пределе количества монотонных цепочек длины s в сериях независимы и имеют геометрическое распределение (с параметром 1/N), а число таких серий распределено по закону Пуассона (с параметром A).

Скачать электронную версию публикации