H-models of Organizational Processes.pdf ВВЕДЕНИЕ Моделирование многих организационных процессов приводит к необходимости установления стохастических связей между входными и выходными переменными. Одна из трудностей, возникающих на этом пути, состоит в экспертном оценивании значений компонент выходной переменной, которое осуществляется со значительными задержками. Это приводит к тому, что объект, по существу динамический, может быть представлен только как статический с запаздыванием. Такой процесс можно представить в виде Г11 x(t) = f(u(t-x)£(t)), (1) где x(t) - выходная переменная объекта, u{t - т) - векторная входная переменная, т - запаздывание, ^(t) - случайное возмущение, действующее на объект, t - непрерывное время. Покажем это на нижеследующем рисунке: Рис. 1. Принятая схема контроля «входных-выходных» переменных процесса На рисунке 1 показаны каналы измерения H с соответствующими дискретностями контроля измерения u(t) и x(t). Таким образом, выборка наблюдений в дискретном виде может быть представлена следующим образом: u[t, x[t + n + m], где n - дискретность запаздывания, n = т / At, а m - задержка, вызванная длительностью контроля T, m = T / At, t = 1,2,...,s. Осуществляя сдвиг реализации xt, t = 1,s на (n + m) тактов, выборку наблюдений можно переписать следующим образом: {it,xt,t = \,s} и, без нарушения общности, свести задачу идентификации к идентификации статического объекта с запаздыванием. Наиболее общая схема исследуемого организационного процесса представлена на рис. 2 [2]. На рисунке 2 приняты обозначения: o(t), z(t) , q(t) - выходные переменные процесса, e (t) - управляющее воздействие, ^(t) - входная неуправляемая, но измеряемая переменная процесса, X(t) - входная неуправляемая и неизмеряемая переменная процесса, 9(t) - переменная, регламентирующая ход процесса (стандарты, распоряжения, приказы и т.п.), ^(t) - случайное воздействие, юг (t): i = 1,2,..., k - промежуточные переменные, характеризующие состояние процесса, (t) - непрерывное время, Hц, Hu , Hx , Hz, Hq, Hю, H0 - каналы связи, соответствующие различным переменным, включающие в себя средства контроля, цt, ut, xt, zAT , qT , wt ,91 - означает измерение Ц(t) , e (t) , x(t), Рис. 2. Общая схема исследуемого организационного процесса z(t), q(t), w(t), 9(t) в дискретное время, hц (t), hu (t), hx (t), hz (t), hq (t), hю (t) , h0 (t) со значком вверху - случайные помехи измерений соответствующих переменных процесса. Отметим существенное отличие выходных переменных z(t), q(t) и x(t), представленных на рис. 2. Выходная переменная x(t), равно как и входные, контролируется через интервалы времени At, q(t) контролируются через существенно большие интервалы времени AT, z - через T (T > AT > At). С практической точки зрения для исследуемого процесса наиболее важным часто является контроль переменных z(t) . Особенностью здесь является то, что измеренное значение выхода объекта станет известным только через определенные промежутки времени, этим объясняется задержка в измерениях выходных переменных объекта x(t), q(t) и z(t) . В активных системах «измерения» многих переменных осуществляются экспертами или группой экспертов, а иногда в виде опроса респондентов. В этом случае значения выходных переменных зависят от входных переменных и значений ®(t) следующим образом: x{t) = A(u(t), ju(t\co(tlA(t),e(t)^(t), t). q(t) = A(u(t),fi (0, я(0 t Л (t( t в(() , | (0t x (,( t t) . (2 ) z(0 = A(u(t\ ju(t ), (tt (t ( , Л( t), в( t ( , )( t ), x ( t ), q( ,, t ) ( ) При моделировании подобных процессов, учитывая различную дискретизацию контроля измерений x(t), q (t) и z (t) при прогнозировании q(t) и z(t) естественно использовать весь набор переменных, влияющих на прогноз x(t), q(t), z(t) . Для дальнейшего изложения, без нарушения общности, «свернем» все входные и выходные переменные в соответствующие векторы. Тогда исследуемый процесс по некоторым каналам может быть представлен в следующем виде (рис. 3). Показанные на рис. 3 дугообразные стрелки процесса характеризуют влияние отдельных входных компонент на те или иные компоненты вектора выхода системы. Стрелки между компонентами вектора входных переменных u(t) и вектора выходных переменных x(t) характеризуют стохастическую связь между соответствующими компонентами. Моделирование организационного процесса Пусть u = (ub..., uk) е Q(u) с Rk, x e Q(x) с R1. Вообще говоря, каждая компонента вектора ut е [ai; bi ], i = 1, k, а x e [c; d]. При исследовании реальных процессов значения коэффициентов {ai, bi, c, d}, i = 1, k всегда известны. В дальнейшем, без нарушения общности, эти интервалы примем единичными, тогда Q(u) - единичный гиперкуб, Qk (u) = [0;1], т.е. u е [0;1], Qk+1(u, x) = [°;Ц (u, x) eQk+1. Задачу идентификации часто сводят к параметрической, состоящей из двух основных этапов: первый этап - выбор (определение) параметрической модели (1) в виде x = f (u, а), где а - вектор параметров, второй этап - последующая оценка параметров а на основании поступающих элементов выборки (uj,xj) (u2,x2) ...,(us,xs), т.е. получение оценки аs . Такова общая схема решения задач параметрической идентификации. Отметим только, что наиболее «слабым» местом здесь является выбор параметрической структуры модели. Если на первом этапе допущена достаточно грубая ошибка, то, в итоге, полученная модель вряд ли будет удовлетворительной. Эта проблема достаточно подробно обсуждалась в [7]. Там же предложен новый класс K-моделей, учитывающий в комплексе знание фундаментальных законов, другую априорную информацию об объекте, в том числе разнотй пную. Обратим внимание на то, что параметрические модели типа x = f (u, а) представляют собой гиперповерхности в пространстве «входных-выходных» переменных объекта, т.е. (u, x) е Q(u, x) с Rk+1. Проанализируем два важных обстоятельства, возникающих при моделировании реальных процессов [3]. Первое из них состоит в том, что объем выборки S 5катастрофически мал по отношению к размерности вектора u = (u^..., uк) eQ(u), как того «требует» математическая статистика. Например, в практических задачах часто возникает ситуация, когда к = 20 ^ 30, а s = 90 ^ 100. Иными словами, в этом случае нельзя получить удовлетворительного решения задачи идентификации. Второе обстоятельство состоит в том, что если построена модель типа (4), по имеющимся данным, то при u е Q(u) с Rk можем получить оценку хs £ Q(х), т.е. вне допустимых значений. Оба эти факта могут быть объяснены, исходя из следующих соображений. Ш Объект Ml U2(t) lijt) Рис. 3. Один из каналов исследуемого процесса Итак, исследуемый процесс, без нарушения общности, протекает в единичном кубе Q(u, х) = Q(ub u2, х) с R3. Если опустить влияние случайных возмущений £(t)и погрешностей измерений ubu2,х, т.е. отсутствие hu, hх и £ из соображений простоты иллюстраций, то процесс протекает по поверхности ^H (u, х) cQ(u, х), как это следует из модели класса (4), представляющей собой поверхность Q(u, х). Реальный же процесс проходит по линии J (рис. 4а), лежащей на поверхности S (u, х) с Q(u, х), т.е. J е S (u, х). Из рисунка 4а видно, что точка C £ S (u, х), B е S(u, х), но B £ J, и точка A е J с S(u, х) с Q(u, х). А на рисунке 4б представлен случай, учитывающий влияние помех h и £ . Важно заметить, что априори неизвестно, имеет ли исследуемый процесс «трубчатую» структуру. На этот факт было обращено внимание в [4]. Для того чтобы установить это, необходимо, как это обычно делается, построить модель и проанализировать поведение оценок х (u j) при произвольных значениях компонент вектора u j = (uj,..., uj) е Q(u). Если исследуемый процесс имеет «трубчатую» структуру, то его модель может быть взята в виде х s (u) = F (u, a, us, х,,), (3) где us,х8 - временные векторы, us = (щ,u2,...,us), Xs = (х1,х2,...,Xs), F(0 - некоторый функционал, включающий в себя как параметрическую составляющую, так и соответствующие непараметрические оценки. Таким образом, модель класса (3) представляет собою «генетический» продукт от методов параметрической и непараметрической идентификации. Иными словами, он есть «дитя» от «родителей» - методов параметрической и локальной аппроксимации. В частном случае можно подкорректировать стандартную модель следующим образом: xs (u) = f (u а s )Is (u) N либо xs (u) = Is (u) t а jф j (u), (5) j=1 где индикатор Is (и) имеет вид: тт 1, если и е Q (и); О, если и G~ Q.H (и). (6) Заметим лишь, что, вообще говоря, область Q (и) нам не известна, а известна лишь выборка {хг ,г/г= 1 ,s}. Если индикатор равен нулю, то оценка x (u), xs (u) не может быть вычислена, т.е. при таких значениях компонент вектора u е Q(u) процесс протекать не может. Если индикатор Is (u) при любом значении u е Q(u) равен единице, то модель (4) совпадает с общеизвестными. В качестве оценки индикатора Is (u) можно принять следующее приближение: /J(«) = sgn(^r1 £ Ф(с71(^(«)-^/))П 0{c~l{uj-и{)), (7) где /=1 j=l xs (u) = t xi п о (c-1(uj - uj) / ;t П о (c-1(uj - uj) , (8) /=1 j=1 /=1 j=1 а параметр размытости cs и колоколообразная функция О (•) удовлетворяют условиям [5]. Об одной особенности моделирования «трубчатых» процессов Приведем следующий пример, имеющий отношение к идентификации безынерционной системы. Пусть объект описывается уравнением x(u) = f (u1, u2, u3), (9) где трехмерный вектор u = (u1, u2, u3) е R3 является входной переменной, а x е R1 - выходная переменная. Традиционный путь построения модели процесса, описываемого (9), состоит в определении класса параметрических зависимостей х(и) = f{ux, и2, иъ, а) и последующей оценки параметров а тем или иным способом по выборке наблюдений (ui,xi)J = \,s, где s - объем выборки. Проанализируем этот пример с разных точек зрения. Пусть компоненты вектора входных переменных u = (u1, u2, u3) стохастически никак не связаны, т.е. независимы. В этом случае естественно использовать обычный традиционный прием, описанный выше. Теперь предположим, что объективно компоненты вектора входных переменных функционально связаны, например, u2 = Ф1 (ui), u3 =92(u2) =92(9i(ui). (10) Естественно, исследователь не знает о существовании зависимостей (10). В противном случае можно было бы сделать подстановку (10) в (9) и получить следующую зависимость х уже от одной переменной u1 вида х(и) = д^ ф^) Ф^Ф^хО. (П) Таким образом зависимость (9) в приведенных выше условиях может быть сведена к одномерной зависимости х от u1. В случае, если зависимость u3 от u2 объективно отсутствует, то (9) легко приводится к виду х^) = f (u1,u3) (12) т.е. к двумерной зависимости х от u1, u3. Отсюда можно заключить, что при наличии функциональной зависимости между компонентами вектора u мы получаем зависимость х от u, в данном случае - одно-двух-трехмерные. Подчеркнем еще раз, что о наличии функциональных зависимостей между компонентами вектора входных переменных исследователю не известно. Просто мы проанализировали случай: «Если бы...». А теперь проанализируем наиболее интересный случай, имеющий непосредственное отношение к H-процессам. Пусть u3 и u2, хотя и неизвестным образом, но стохастически связаны. Подчеркнем - стохастически, а не функционально. Вернемся еще раз к анализу того, что произошло. Во-первых, если компоненты вектора u независимы, то исследуемый процесс описывается функцией трех переменных. Если две компоненты вектора входных переменных u связаны функциональной зависимостью, то процесс описывается функцией двух переменных. Наконец, если две переменные связаны стохастически, то процесс описывается функцией более чем двух переменных и менее чем трех?! Можно считать, что мы приходим к зависимости от дробного числа переменных и, следовательно, к пространству дробной размерности. Такой факт в математике был уже известен, правда, истоки его лежали в области геометрических исследований природных объектов и описаны в книге Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» [4]. Приведем небольшой фрагмент: «Жидкость, газ, твердое тело - три привычных физических состояния вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность клуба дыма, облака, точнее их границ, непрерывно размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех. Дробная величина! Аналогичным образом можно посчитать и размерность других реальных природных объектов - например, береговой линии, размываемой прибоем, или кроны дерева, шелестящей под ветром. Кровеносная система человека - пульсирующая, живая - имеет размерность 2.7». Ранее этот факт был известен как размерность пространства Хаусдорфа - Безиковича. Из опыта разработки некоторых компьютерных систем моделирования и управления дискретно-непрерывными процессами мы приходим к заключению о том, что многие реально существующие процессы могут быть отнесены к классу Н-процессов, а их модели - к классу Н-моделей. Моделирование динамических процессов. В общем виде модель линейной динамической системы может быть описана уравнением m k xt = £ аixt-i + £ biut-i+1, (13) i=1 i=1 где x и u - соответственно выходная и входная переменные объекта. Введём векторные обозначения: Z t = (xt-1,..., Xt - m , Ut-1,..., Ut-k ), a = am , bk ), тогда уравнение (13) перепишется в виде 6 xt = £ai zt, (14) i=1 где 6 = k + m. На рисунке 5 представлен аналог объекта (13) при k =1. Объект t xt-l -w xt-m w Рис. 5. Схема объекта Следует обратить внимание на тот факт, что мы, по существу, свели задачу идентификации линейной динамической системы к задаче идентификации многомерного линейного объекта без памяти. К сожалению, это не приводит к каким-либо упрощениям решения исходной задачи, а разве лишь к алгоритмической простоте. В случае, если процесс относится к классу нелинейных динамических, то Xt = ^(xt-1, Xt-2 ,..., Xt-m , Ut-1, Ut-2 ,..., Ut-k+1 ) , (15) где ^ () - некоторая функция. Для динамических объектов А. А. Фельд-баум использовал термин - объект с памятью. Мне представляется, что объект с памятью и динамический объект не всегда одно и то же, например, xf = ^ (xf -q, Uf -h), где 0 и n принимают некоторые целочисленные значения. В частности, xt = ^(xt-1, xt-3 , xt-7 , Ut-1, Ut-5 ). (16) Выражение (16) может не являться дискретным аналогом какого-либо дифференциального уравнения. О пространстве с изменяющейся размерностью. Рассмотрим следующую ситуацию [7]. Из простоты соображений, пусть интересующий нас процесс описывается уравнением (9). В случае стохастической зависимости между переменными u2(u7), u3(u1) по имеющимся в наличии обучающим выборкам можно вычислить квадратичную ошибку прогноза u2s (u1), u3s (u1). Здесь u2s (u1), u3s (u1) есть непараметрические оценки. где S21 и 831 - квадратичные ошибки, полученные при непараметрическом восстановлении принятых зависимостей. При наличии функции многих переменных могут быть приняты и другие варианты зависимостей одних компонент вектора входа от других. Возвращаясь к предыдущему примеру, «силу» стохастической связи X между двумя произвольными переменными можно, например, вычислить по формуле X = 1 -5, (18) где 5 может быть равно S21 либо 531. Отсюда видно, что самая сильная стохастическая связь (функциональная) равна 1, отсутствие связи при X =0, а при стохастической зависимости между входными переменными 0< X

Скачать электронную версию публикации