Operator volume.pdf В своё время Дирак построил уравнение движения для массивного фермиона: . Известно также уравнение Вейля для безмассовой частицы, основывающееся на σ-мат¬рицах Паули: , где . Или . Однако, как считалось, в природе реализуется только одно уравнение для двухкомпонентного нейтрино, а именно уравнение с минусом: . По аналогии с использованием σ-матриц Паули можно построить четыре массивных уравнения: , , , . Однако эти уравнения нарушают релятивистскую инвариантность. Рассмотрим уравнение Дирака , дополненное релятивистски-инвариантным соотношением , где . Тогда в системе отсчёта, в которой , получим и при . Уравнение Дирака ковариантно и инвариантно относительно вращения в 4-пространстве, а записанное уравнение только ковариантно, так же как уравнение плоскости только ковариантно, а уравнение окружности ещё и инвариантно относительно вращения в 3-мерном пространстве [1]. При этом , т.е. векторы ортогональны, а это свойство инвариантно относительно вращений. Далее предполагалось на четырёх ортогональных векторах построить объём , также инвариантный относительно вращений в 4-мерном пространстве. Однако обнаружение нейтринных осцилляций и соответственно масс нейтрино отставило в сторону двухкомпонентную теорию. 1. Аналогия из электродинамики Любое векторное поле можно представить в виде , где поле - безвихревое (потенциальное), а поле - вихревое (соленоидальное). Тогда ; (1) ; (2) ; (3) . (4) Из (2): , так как . Отсюда . Из (3): , так как . Тогда . Но . Полагая , получаем . Полагать можно, так как задано с точностью до , где - произвольная функция [2]. Рассматривая соотношение (3) мы видим, что отсутствие «магнитного» заряда эквивалентно возможности представить как , и, как следствие, тождественное равенство нулю «объёма» , построенного на вектор-потенциале и двух одинаковых операторных векторах . Тогда из свойств смешанного произведения автоматически получается равенство нулю этого операторного объёма. 2. Операторный объём 2.1. Рассмотрим операторное выражение , где . Индекс i принимает значения 0, 1, 2, 3. В результате здесь релятивистски-инвариантным образом записаны все четыре компоненты 4-вектора . 2.2. Рассмотрим операторное выражение . После несложных преобразований получим , где . Так как , то . В результате имеем выражение . То есть конструкцию из тензора калибровочного поля. 2.3. Рассмотрим операторный объём , осуществим перестановку i и j и сложим. Получаем операторный объём, но теперь только с цикличной перестановкой i, j, k, без членов с минусом перед тензором Леви-Чевиты: . Так как , то . В результате имеем операторный объём . Таким образом, операторный объём выразился через производную только первого порядка. 2.4. Переставляя последние два и складывая с исходным выражением, получаем . Переставим теперь первые два в полученном выражении, сложим и получим . Здесь опять появляется конструкция п. 2.2, но теперь уже из двух тензоров калибровочного поля. Заключение Как мы видели в п. 2.1, в случае одного оператора в свёртке с символом Леви-Чевиты получаем релятивистски-инвариантное операторное выражение. Оно действует на функцию и таким образом реализует некоторое уравнение движения. Это же мы имеем в п. 2.3. В п. 2.2. и 2.4. дифференциального уравнения движения не получается. Несложно показать, что для случая группы не имеет значения, в каком порядке объединять удлинённые производные в тензор, в конечном случае всё сводится к уже представленным выражениям. Случай групп и т.д. подлежит рассмотрению. Для случая п. 2.4. следует отметить существование инварианта: , при этом заметим, что псевдоскаляр может быть представлен в виде 4-дивергенции [3].

Скачать электронную версию публикации