Changes in entropy and Renyi difference information at transitions between states of systems in extended parastatistics.pdf Введение В настоящее время статистическая механика и термодинамика систем с негауссовыми негиббсовыми распределениями быстро развивается в связи с новыми приложениями в различных направлениях науки. Основные методы и принципы, основанные на параметрических мерах энтропий и информаций различия, приводятся в [1-3]. Впервые параметрические меры (1) с действительным числом были получены в фундаментальной работе А. Реньи [4]. Они подробно изучены в монографии [5] и нашли широкое применение для фрактальных систем [6], где число связано с фрактальной размерностью. В пределе из (1) вытекает энтропия Больцмана - Гиббса - Шеннона и информация различия Кульбака - Лейблера [7, 8] . Энтропия и информация различия (или относительная информация) при переходе между состояниями и определяют соответственно статистические меры разупорядоченности и упорядоченности микросостояний системы, что является основой исследования процессов распада и самоорганизации [2]. Развитием квантовых статистик, приводящих к традиционным функционалам энтропии и информации различия, является парастатистика [9], в которой число частиц в i-состоянии меняется от 0 до , основанная на методе Бозе [10]. Представляется необходимым рассмотреть эволюцию мер Реньи в расширенной парастатистике, в которой число частиц в i-состоянии находится в произвольном диапазоне от до [11]. 1. Меры Реньи и полунормы в расширенной парастатистике Следуя методу квантовых состояний Бозе [10], рассмотрим квантовую неэкстенсивную систему в расширенной парастатистике, которая описывается статистикой состояний , где в -состоянии находится частиц ( и ). Для совокупности частиц имеют место квантовые состояния , где - число состояний. Согласно расширенной парастатистике, имеют место исходные равенства [11] , , (2) . Здесь для каждого -состояния усреднение производится ненормированным распределением и весом ; - дискретные значения произвольной величины; - среднее число частиц. Мерами Реньи в расширенной парастатистике являются функционалы , (3) зависящие от полунормы распределения и отношения распределений (4) Информация различия характеризует переход между состояниями и , для которых имеют место равенства , (5) где относится к состоянию . При из (3) с учетом (4) вытекают аддитивные квантовые аналоги энтропии Больцмана - Гиббса - Шеннона и информации различия Кульбака - Лейблера в рассматриваемой статистике (6) Рассмотрим равновесное состояние аддитивных систем из экстремума энтропии (6) при вариации с условиями сохранения общих значений энергии, числа частиц и числа состояний и получим следующее среднее число частиц в -состоянии [12] , (7) где - температура; - энергия частиц в -состоянии; - химический потенциал. При из (7) вытекает известное выражение в традиционной парастатистике [9] . (8) Пусть , тогда из (7) следует среднее число частиц , (9) где второе слагаемое относится к статистике Бозе - Эйнштейна. Если , имеем из (7) среднее число частиц [12] (10) при рассмотрении двух соседних состояний с и . Здесь второе слагаемое относится к статистике Ферми - Дирака. Функционалы (6) обладают свойствами аддитивности для независимых систем. Так, используем свойство мультипликативности для полунормы , где , , и , . В итоге из (3) получим для энтропии и аналогично для информации различия с , известные аддитивные законы композиции . (11) Групповые законы имеют свойство ассоциативности , наличие единичного элемента в и обратного элемента . Подставим в определение сопряженного элемента значение и получим . Это означает, что элементы группы являются самосопряженными. Используем закон композиции (11) и находим закон композиции квадратов элементов . (12) В общем случае получим , (13) где есть композиция энтропий . Введем асимметричный элемент (14) и получим следующие равенства для энтропии: (15) которые справедливы и для информации различия. Вкратце остановимся на алгебраическом и матричном представлениях безразмерной энтропии. Для чего рассмотрим дуальное число (16) с компонентами , и базисными элементами , . Здесь не выписан базисный элемент . Тогда законы композиций двух чисел запишутся так: (17) С сопряженным элементом получим равенство для модуля , т.е. имеет место нормированное дуальное число. Обратный элемент равен сопряженному . Характеристическую матрицу (18) находим из соотношений , (19) где есть структурные константы. Соответственно, получим обратную матрицу , (20) где - единичная матрица, а корень детерминанта матрицы равен модулю числа . (21) Произведение двух матриц представляется так: . (22) 2. Переход системы к термодинамическому равновесию Рассмотрим спонтанный переход от произвольного состояния замкнутой термодинамической системы к равновесному состоянию. Находим безусловный экстремум энтропии Реньи в расширенной парастатистике при заданных значениях полной энергии и сохранения числа состояния . (23) Используем в усреднении нормированное распределение , (24) которое является аналогом «сопровождающего распределения» (escort distribution) , используемого в теориях неэкстенсивных систем [1, 2], фракталов [6] и хаотических систем [13]. Варьируем функционал (25) по и при получим равенство безусловно для экстремума (26) и равновесное распределение (27) (28) Распределение (27) в методе Бозе для систем в расширенной парастатистике обобщает распределение в традиционной статистике [2, 14, 15] (29) (30) Воспользуемся равенством (31) и, подставляя (27) в (3), получим полную энтропию , (32) (33) где определена свободная энергия . Далее дифференцируем энтропию (32) и находим соотношения равновесной термодинамики (34) При из (27) и (28) вытекает распределение Бозе для расширенной парастатистики в аддитивной статистической модели Больцмана - Гиббса - Шеннона [10]: (35) Спонтанный переход между состояниями и описывается информацией различия Реньи (36) с равенством при . При из (32) и (36) следует энтропия и информация различия (37) статистической модели Больцмана - Гиббса - Шеннона (6) с распределением (35). Наконец, если выполняются условия Гиббса , то получим из (36) равенство (38) при . Таким образом, энтропия возрастает до ее экстремального значения совместно с уменьшением информаций различия для замкнутой системы. Информация различия является знакоопределенным функционалом Ляпунова. Чтобы состояние равновесия было устойчивым, необходимо выполнение следующего неравенства: . (39) Из (39) вытекает неравенство для энтропии , (40) которое формирует Н-теорему. Наконец рассмотрим замкнутую систему со значениями полной энтропии при и энергией . Распределения и относятся к двум независимым системам с энтропиями и , находящимся в термодинамическом равновесии. Согласно свойству аддитивности энтропий имеем равенство . (41) Для нахождения общей энергии воспользуемся распределением (27) и, умножая на , получим равенство . (42) В равенстве (42) принимаем условие аддитивности полных энергий , (43) поскольку при другом условии средние величины будут зависеть от микроскопических, что является противоречивым предположением. Тогда для микроскопической энергии получим равенство . (44) Усреднение величин в (44) приводит к условию аддитивности полных энергий (43). Из (44) следует, что имеет место неэкстенсивность для микроскопических энергий в статистической модели для энтропии Реньи. Заключение Рассматриваются изменения энтропии и информации различия Реньи при спонтанных переходах между состояниями систем в расширенной парастатистике. Изучено совместное увеличение энтропии и уменьшение информации различия в процессе эволюции к термодинамическому равновесию.

Скачать электронную версию публикации